湖北省武漢市華中師大第一附中2023-2024學(xué)年度高二下學(xué)期四月月考數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)湖北省武漢市華中師大第一附中2023-2024學(xué)年度高二下學(xué)期四月月考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)方程為，則（

）A． B． C．0 D．12．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．3．已知直線(xiàn)：恒過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．4．若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．5．已知，，若成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．6．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A． B． C． D．7．武術(shù)是中國(guó)的四大國(guó)粹之一，某武校上午開(kāi)設(shè)文化課，下午開(kāi)設(shè)武術(shù)課，某年級(jí)武術(shù)課有太極拳、形意拳、長(zhǎng)拳、兵器四門(mén)，計(jì)劃從周一到周五每天下午排兩門(mén)課，每周太極拳和形意拳上課三次，長(zhǎng)拳和兵器上課兩次，同樣的課每天只上一次，則排課方式共有（

）A．19840種 B．16000種 C．31360種 D．9920種8．已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，其中.若在區(qū)間中存在唯一整數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．在數(shù)列中，如果對(duì)任意都有（為常數(shù)），則稱(chēng)為等差比數(shù)列，k稱(chēng)為公差比下列說(shuō)法正確的是（

）A．等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列B．等差比數(shù)列的公差比一定不為0C．若，則數(shù)列是等差比數(shù)列D．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線(xiàn)的斜率為 B．C． D．11．下列不等關(guān)系中，正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題12．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，若對(duì)任意，所有的正整數(shù)n都有成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.13．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F．圓與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn)P，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于點(diǎn)Q，且，則雙曲線(xiàn)C的離心率為．14．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，，則．四、解答題15．已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列的前六項(xiàng)和為60，且為和的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.16．（1）已知函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；（2）設(shè)為大于1的整數(shù)，證明：.17．如圖，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)BO上的點(diǎn)，且軸．(1)當(dāng)最小時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；(2)若直線(xiàn)PC，PD分別與拋物線(xiàn)相切，切點(diǎn)是C，D，求證：C，M，D三點(diǎn)共線(xiàn)．18．已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．19．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程；(2)設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，對(duì)任意，若在上恒成立，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“好點(diǎn)”，求函數(shù)在上所有“好點(diǎn)”的橫坐標(biāo)（結(jié)果用表示）.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．B2．C3．A4．A5．B6．B7．D8．C9．BCD10．ACD11．ACD12．13．14．15．(1)，(2)【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為()，則，解得，∴．；（2）由，∴,．當(dāng)時(shí)，也符合上式∴．∴．16．（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增證明：，∴則為上的偶函數(shù).，，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）（證法一）要證明，需證明即證明，即，由（1）可知即證.∵且在單調(diào)遞增，∴所以對(duì)，成立.（證法二）要證明,即證明，即證，即證，設(shè)函數(shù)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增又，∴，即成立，故原不等式成立.【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意如下幾方面：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；(2)不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫(xiě)成并集形式；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.17．(1)或(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小，此時(shí)．直線(xiàn)l的方程是：或（2）設(shè)，，，，∵A，M，B三點(diǎn)共線(xiàn)，得：，化簡(jiǎn)得：ab＝－4，又P，O，B三點(diǎn)共線(xiàn)，，化簡(jiǎn)得：t＝ab＝－4，∴，直線(xiàn)PC切拋物線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)PC的方程為聯(lián)立方程組，整理得：，因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，則，即，整理得：，所以，因?yàn)樵趻佄锞€(xiàn)上，所以，所以，代入直線(xiàn)方程，得又因?yàn)椋氲谩郟C方程為：，同理：PD方程為：，PC，PD相交于點(diǎn)，∴，，即：，兩點(diǎn)均在直線(xiàn)ay＝x－4上，直線(xiàn)CD方程為：ay＝x－4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，因此：C，M，D三點(diǎn)共線(xiàn)．18．(1)(2)證明見(jiàn)的解析【解析】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)椋瑒t令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握19．(1)(2)橫坐標(biāo)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線(xiàn)方程為：因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，代入原點(diǎn)坐標(biāo)可得：令，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時(shí)，，所以的解唯一，即，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線(xiàn)斜率為，切線(xiàn)方程為：.（2）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)上一點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，則令，所以，①當(dāng)，即時(shí)，，則時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，故，即：，不滿(mǎn)足，所以時(shí)，不是函數(shù)在上的好點(diǎn).②當(dāng)，即時(shí)，i）若，即，此時(shí)：當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，