江蘇省蘇北縣2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

江蘇省蘇北縣2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．三等分角是“古希臘三大幾何問(wèn)題”之一，數(shù)學(xué)家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線(xiàn)解決了這個(gè)問(wèn)題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個(gè)三等分點(diǎn)，以A為左焦點(diǎn)，B，C為頂點(diǎn)作雙曲線(xiàn)T．設(shè)雙曲線(xiàn)T與弧的交點(diǎn)為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（）A. B.1C.2 D.2．在下列函數(shù)中，求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A.， B.，C.， D.，3．如圖，在直三棱柱中，，，E是的中點(diǎn)，則直線(xiàn)BC與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.4．拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x軸，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則拋物線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.5．已知點(diǎn)為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過(guò)定點(diǎn)外還過(guò)定點(diǎn)（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.8．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作互相垂直的弦，則的最小值為（）A.16 B.18C.32 D.649．若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A. B.，或C.，或 D.，或，或10．如圖，，是平面上兩點(diǎn)，且，圖中的一系列圓是圓心分別為，的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是1，2，3，…，A，B，C，D，E是圖中兩組同心圓的部分公共點(diǎn).若點(diǎn)A在以，為焦點(diǎn)的橢圓M上，則（）A.點(diǎn)B和C都在橢圓M上 B.點(diǎn)C和D都在橢圓M上C.點(diǎn)D和E都在橢圓M上 D.點(diǎn)E和B都在橢圓M上11．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長(zhǎng)為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為_(kāi)_________.14．在數(shù)列中，滿(mǎn)足，則________15．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則該拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍是___________.16．已知，在直線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使，則m的最大值是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，：方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，其中.（1）若“”為真命題，求的取值范圍：（2）若“”為假命題，“”為真命題，求的取值范圍.18．（12分）已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)P，若橢圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A，B使得的平分線(xiàn)垂直于坐標(biāo)軸，且點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為，求直線(xiàn)AP的方程.19．（12分）已知圓（1）若一直線(xiàn)被圓C所截得的弦的中點(diǎn)為，求該直線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，把的面積S表示為m的函數(shù)，并求S的最大值20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)為、，實(shí)軸長(zhǎng)為.（1）求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，且Q恰好為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，是等邊三角形.（1）證明：平面平面.（2）求點(diǎn)到平面的距離.22．（10分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識(shí)競(jìng)賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題（1）甲至少抽到1道填空題（2）甲答對(duì)的題數(shù)比乙多的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由題設(shè)寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的方程,對(duì)比系數(shù),求出即可獲解【詳解】由題知所以雙曲線(xiàn)的方程為又由題設(shè)的方程為,所以,即設(shè)AB的中點(diǎn)為,則由.所以,即圓的半徑為2故選：C2、B【解析】分別求得每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可判斷.詳解】；；；.故求導(dǎo)錯(cuò)誤的是B.故選：B.3、D【解析】以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出答案.【詳解】解：由題意知，CA，CB，CC1兩兩垂直，以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得.因?yàn)椋?，故直線(xiàn)BC與平面所成角的正弦值為.故選：D.4、B【解析】首先根據(jù)題意設(shè)出拋物線(xiàn)的方程，利用點(diǎn)在曲線(xiàn)上的條件為點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足曲線(xiàn)的方程，代入求得參數(shù)的值，最后得到答案.【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)出拋物線(xiàn)的方程，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以有，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程是：，故選：B.5、D【解析】設(shè)垂直于直線(xiàn)，可知圓恒過(guò)垂足；兩條直線(xiàn)方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)垂直于直線(xiàn)，垂足為，則直線(xiàn)方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，由得：，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).故選：D.6、C【解析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.【詳解】解：如果為常數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充分條件；等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列為，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的必要條件.所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充要條件.故選：C7、C【解析】根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】依題意，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：；；；……則其通項(xiàng)公式.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查歸納推理，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，分別設(shè)出，所在直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為，則直線(xiàn)的方程為.，，，.由，得，，同理可得..當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故選：B9、D【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得參數(shù)，再代入所求不等式，利用分式大于零，則分子分母同號(hào)，列不等式計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】不等式解集為，即的二根是1和2，利用根和系數(shù)的關(guān)系可知，故不等式即轉(zhuǎn)化成，即，等價(jià)于或者，解得或，或者.故解集為，或，或.故選：D.【點(diǎn)睛】分式不等式的解法：（1）先化簡(jiǎn)成右邊為零的形式（或），等價(jià)于一元二次不等式（或）再求解即可；（2）先化簡(jiǎn)成右邊為零的形式（或），再利用分子分母同號(hào)（或者異號(hào)），列不等式組求解即可.10、C【解析】根據(jù)橢圓的定義判斷即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以橢圓M中，因?yàn)椋?,,所以D，E在橢圓M上.故選：C11、B【解析】構(gòu)造，通過(guò)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，最值，畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，即，令，當(dāng)時(shí)，，，令得：或，結(jié)合，所以，令得：，結(jié)合得：，所以在處取得極大值，也是最大值，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，則恒成立，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出的圖象，如下圖：要想有3個(gè)零點(diǎn)，則故選：B12、A【解析】求得外接球的半徑，進(jìn)而計(jì)算出外接球體積.【詳解】設(shè)，正八面體的棱長(zhǎng)為，根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直線(xiàn)與橢圓相交，求交點(diǎn)，利用列式求解即可.【詳解】聯(lián)立方程得，因?yàn)椋?即，所以，.故答案為：.14、15【解析】根據(jù)遞推公式，依次代入即可求解.【詳解】數(shù)列滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，故答案為：15.15、【解析】根據(jù)題意，求得，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，得到，根據(jù)，求得，即可求解.【詳解】由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，解得，設(shè)拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)的定義可得，因?yàn)椋?，所以?huà)佄锞€(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍是.故答案為：.16、11【解析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件知，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得P點(diǎn)位于圓上，再根據(jù)P存在于直線(xiàn)上，可知直線(xiàn)和圓有交點(diǎn)，因此列出相應(yīng)的不等式，求得m范圍，可得m的最大值.【詳解】設(shè)P（x,y）,則，由題意可知,所以，即，即滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P在圓上，又根據(jù)題意P點(diǎn)存在于直線(xiàn)上，則直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)，故有圓心(1,0)到直線(xiàn)的距離小于等于圓的半徑，即，解得，則m的最大值為11，故答案為：11.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或（2）【解析】（1）先假設(shè)命題為真命題，求出的取值范圍，為真命題，取補(bǔ)集即可（2）假設(shè)命題為真命題，求出的取值范圍，根據(jù)題意，則命題假設(shè)和命題一真一假，分類(lèi)討論求的取值范圍【小問(wèn)1詳解】解：若為真命題，則，解得，若“”為真命題，則為假命題，或；【小問(wèn)2詳解】若為真命題，則解得，若“”為假命題，則“”為真命題，則與一真一假，①若真假，則解得，②若真假，則解得，綜上所述，，即的取值范圍為.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)之差為，可得直線(xiàn)方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線(xiàn)方程可得焦點(diǎn)為，則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即.由，解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）由題可知點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)AP的斜率為k，由題意知，直線(xiàn)BP的斜率為，設(shè)，，直線(xiàn)AP的方程為，即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P，A為直線(xiàn)AP與橢圓C的交點(diǎn)，∴，即.把換成，得.∴，解得，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)BP的方程為，經(jīng)驗(yàn)證與橢圓C相切，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)BP的方程為，符合題意.∴直線(xiàn)AP得方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：兩條直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，兩直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù).19、（1）（2），最大值為.【解析】（1）利用垂徑定理求出斜率，即可求出直線(xiàn)的方程；（2）利用幾何法表示出弦長(zhǎng)與d的關(guān)系，利用基本不等式求出的面積S的最大值【小問(wèn)1詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：.則.設(shè)所求的直線(xiàn)為m.由圓的幾何性質(zhì)可知：，所以，所以所求的直線(xiàn)為：，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓心C到直線(xiàn)l的距離為d，則，且，所以因?yàn)橹本€(xiàn)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以,解得：且.而的面積：因?yàn)樗裕ㄆ渲袝r(shí)等號(hào)成立）.所以S的最大值為.20、（1）（2）.【解析】（1）根據(jù)條件，結(jié)合雙曲線(xiàn)定義即可求得雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立雙曲線(xiàn)，變形后由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得斜率，即可求得直線(xiàn)方程.【詳解】（1）根據(jù)題意，焦點(diǎn)在軸上，且，所以，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為C：.（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，且Q恰好為線(xiàn)段的中點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為，則由雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性可知線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，所以不滿(mǎn)足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，設(shè)，則，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以化簡(jiǎn)可得恒成立，所以，因?yàn)榍『脼榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)可得，所以直線(xiàn)方程為，即.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線(xiàn)定義求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，由中點(diǎn)坐標(biāo)求直線(xiàn)方程，屬于中檔題.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）利用余弦定理，結(jié)合三棱錐的等積性進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)，因?yàn)槭堑冗吶切?，且，所以是的中點(diǎn)，則.又，所以，所以，即.又平面平面，所以.又，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，所?在中，，所以，則又平面，所以.如圖，連接，則，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.22、（1）；（2）.【解析】（1）把3道選擇題（2）設(shè)，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題的事件，，分別表示乙答對(duì)0道