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山西省山大附中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)()A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天2.定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)恒滿足,且時(shí),,則()A. B.C.1 D.3.=(
)A. B.C. D.4.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.5.繆天榮,浙江人,著名眼科專家、我國(guó)眼視光學(xué)的開拓者.上世紀(jì)年代,我國(guó)使用“國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力表”檢測(cè)視力,采用“小數(shù)記錄法”記錄視力數(shù)據(jù),繆天榮發(fā)現(xiàn)其中存在不少缺陷.經(jīng)過年苦心研究,年,他成功研制出“對(duì)數(shù)視力表”及“分記錄法”.這是一種既符合視力生理又便于統(tǒng)計(jì)和計(jì)算的視力檢測(cè)系統(tǒng),使中國(guó)的眼視光學(xué)研究站在了世界的巔峰.“分記錄法”將視力和視角(單位:)設(shè)定為對(duì)數(shù)關(guān)系:.如圖,標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表中最大視標(biāo)的視角為,則對(duì)應(yīng)的視力為.若小明能看清的某行視標(biāo)的大小是最大視標(biāo)的(相應(yīng)的視角為),取,則其視力用“分記錄法”記錄()A. B.C. D.6.已知向量,,若,則實(shí)數(shù)的值為()A.或 B.C. D.或37.是定義在上的函數(shù),,且在上遞減,下列不等式一定成立的是A. B.C. D.8.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界,5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式:.它表示:在受噪聲干擾的信道中,最大信息傳遞速度取決于信道帶寬,信道內(nèi)信號(hào)的平均功率,信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小,其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí),公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式,若不改變帶寬,而將信噪比從1000提升至4000,則大約增加了()附:A.10% B.20%C.50% D.100%9.直線的傾斜角為A.30° B.60°C.120° D.150°10.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.函數(shù)的定義域是___________,若在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________12.函數(shù)的圖象一定過定點(diǎn)P,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是______13.已知某扇形的周長(zhǎng)是,面積為,則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是______.14.已知,,則的值為__________15.若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1,則半徑R的取值范圍是_____16.若,且,則上的最小值是_________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設(shè)兩個(gè)向量,,滿足,.(1)若,求、的夾角;(2)若、夾角為,向量與夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.已知直線經(jīng)過兩條直線:和:的交點(diǎn),直線:;(1)若,求的直線方程;(2)若,求的直線方程19.已知,求值:(1);(2)2.20.化簡(jiǎn)求值:(1)(2).21.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在x0∈D,使得fx0=x0,則稱x0為f(x)的一階不動(dòng)點(diǎn);如果存在x0∈D(1)分別判斷函數(shù)y=2x與(2)求fx=x(3)求fx
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】根據(jù)題意可得,設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天,根據(jù),解得即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,,,所以,所以,設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天,則,所以,所以,所以天.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用,考查了指數(shù)式化對(duì)數(shù)式,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和等量關(guān)系,求出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù),利用函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】解:奇函數(shù)恒滿足,,即,則,即,即是周期為4的周期函數(shù),所以,故選:B3、A【解析】由題意可得:.本題選擇A選項(xiàng)4、C【解析】由奇偶性定義判斷的奇偶性,結(jié)合對(duì)數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷趨向于0時(shí)的變化趨勢(shì),應(yīng)用排除法即可得正確答案.【詳解】由且定義域,所以為偶函數(shù),排除B、D.又在趨向于0時(shí)趨向負(fù)無窮,在趨向于0時(shí)趨向1,所以在趨向于0時(shí)函數(shù)值趨向負(fù)無窮,排除A.故選:C5、C【解析】將代入,求出的值,即可得解.【詳解】將代入函數(shù)解析式可得.故選:C.6、A【解析】先求的坐標(biāo),再由向量垂直數(shù)量積為0,利用坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】由向量,,知.若,則,解得或-3.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】對(duì)于A,由為偶函數(shù)可得,又,由及在上為減函數(shù)得,故A錯(cuò);對(duì)于B,因同理可得,故B對(duì);對(duì)于C,因無法比較大小,故C錯(cuò);對(duì)于D,取,則;取,則,故與大小關(guān)系不確定,故D錯(cuò),綜上,選B點(diǎn)睛:對(duì)于奇函數(shù)或偶函數(shù),如果我們知道其一側(cè)的單調(diào)性,那么我們可以知道另一側(cè)的單調(diào)性,解題時(shí)注意轉(zhuǎn)化8、B【解析】根據(jù)題意,計(jì)算出值即可;【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因?yàn)樗詫⑿旁氡葟?000提升至4000,則大約增加了20%,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的運(yùn)用.9、A【解析】直線的斜率為,所以傾斜角為30°.故選A.10、A【解析】令,則有或,在上的減區(qū)間為,故在上的減區(qū)間為,選A二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、①.##②.【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求出x的取值范圍即可;結(jié)合對(duì)數(shù)復(fù)合型函數(shù)的單調(diào)性與一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知,,得,即函數(shù)的定義域?yàn)?;又函?shù)在定義域上單調(diào)增函數(shù),而函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)為減函數(shù),故.故答案為:;12、(1,4)【解析】已知過定點(diǎn),由向右平移個(gè)單位,向上平移個(gè)單位即可得,故根據(jù)平移可得到定點(diǎn).【詳解】由向右平移個(gè)單位,向上平移個(gè)單位得到,過定點(diǎn),則過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)以及函數(shù)圖象的平移問題.圖象平移,定點(diǎn)也隨之平移,平移后仍是定點(diǎn).13、2【解析】由扇形的周長(zhǎng)和面積,可求出扇形的半徑及弧長(zhǎng),進(jìn)而可求出該扇形的圓心角.【詳解】設(shè)扇形的半徑為,所對(duì)弧長(zhǎng)為,則有,解得,故.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式、弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】由題意可知,因?yàn)椋?,所以,則故答案為:.15、【解析】根據(jù)題意分析出直線與圓的位置關(guān)系,再求半徑的范圍.【詳解】圓心到直線的距離為2,又圓(x﹣1)2+(y+1)2=R2上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x+3y=11的距離等于1,滿足,即:|R﹣2|<1,解得1<R<3故半徑R的取值范圍是1<R<3(畫圖)故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.16、【解析】將的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值,然后展開后利用基本不等式求得其最小值【詳解】解:因?yàn)?,且,,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),即,時(shí)等號(hào)成立;故答案為:三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)且.【解析】(1)根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算以及結(jié)果,結(jié)合模長(zhǎng),即可求得,再根據(jù)數(shù)量積求得夾角;(2)根據(jù)夾角為鈍角則數(shù)量積為負(fù)數(shù),求得的范圍;再排除向量與不為反向向量對(duì)應(yīng)參數(shù)的范圍,則問題得解.【詳解】(1)因,所以,即,又,,所以,所以,又,所以向量、的夾角是.(2)因?yàn)橄蛄颗c的夾角為鈍角,所以,且向量與不反向共線,即,又、夾角為,所以,所以,解得,又向量與不反向共線,所以,解得,所以的取值范圍是且.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)量積求向量夾角,以及由夾角范圍求參數(shù)范圍,屬綜合基礎(chǔ)題.18、(1);(2)【解析】(1)先求出與的交點(diǎn),再利用兩直線平行斜率相等求直線l(2)利用兩直線垂直斜率乘積等于-1求直線l【詳解】(1)由,得,∴與的交點(diǎn)為.設(shè)與直線平行的直線為,則,∴.∴所求直線方程為.(2)設(shè)與直線垂直的直線為,則,解得∴所求直線方程為.【點(diǎn)睛】?jī)芍本€平行斜率相等,兩直線垂直斜率乘積等于-119、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)已知可求出,將所求的式子化弦為切,即可求解;(2)引進(jìn)分式,利用“1”的變化,將所求式子化為的齊次分式,化弦為切,即可求解.【詳解】.(1);(2)2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:解決問題二的關(guān)鍵在于利用“1”的變化,將所求式子化為的齊次分式,化弦為切.20、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算公式計(jì)算即可;(2)根據(jù)指數(shù)運(yùn)算公式和根式的性質(zhì)運(yùn)算化簡(jiǎn).【小問1詳解】原式【小問2詳解】原式.21、(1)y=2x不存在一階不動(dòng)點(diǎn),(2)0,±1(3)3【解析】(1)根據(jù)一階不動(dòng)點(diǎn)的定義直接分別判斷即可;(2)根據(jù)一階不動(dòng)點(diǎn)的定義直接計(jì)算;(3)根據(jù)分段函數(shù)寫出ffx【小問1詳解】設(shè)函數(shù)gx=2x-x,x∈R所以g'x=又g'0=所以?x0∈0,1,時(shí)所以gx在-∞,所以gx≥x所以y=2設(shè)函數(shù)y=x存在一階不動(dòng)點(diǎn),即存在x0
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