石嘴山市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

石嘴山市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國古代數(shù)學(xué)典籍《四元玉鑒》中有如下一段話：“河有汛，預(yù)差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日轉(zhuǎn)多七人，今有三日連差三百人，問已差人幾天，差人幾何？”其大意為“官府陸續(xù)派遣1880人前往修筑堤壩，第一天派出65人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，則目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）A.6天495人 B.7天602人C.8天716人 D.9天795人2．如圖，、分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，則橢圓方程為（）A. B.C. D.3．已知橢圓方程為：，則其離心率為（）A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列的前項和為，首項為，公比為，則（）A. B.C. D.5．化學(xué)中，將構(gòu)成粒子（原子、離子或分子）在空間按一定規(guī)律呈周期性重復(fù)排列構(gòu)成的固體物質(zhì)稱為晶體.在結(jié)構(gòu)化學(xué)中，可將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個個包含等同內(nèi)容的基本單位，這個基本單位叫做晶胞.已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點(diǎn)位置，O原子位于棱的中點(diǎn)）.則圖中原子連線BF與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.6．已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.2C.或2 D.或7．已知，則條件“”是條件“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.8．已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切，求動圓圓心M的軌跡方程A. B.C. D.9．已知關(guān)于x的不等式的解集為空集，則的最小值為（）A. B.2C. D.410．若函數(shù)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.11．若某群體中成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.12．已知正數(shù)x，y滿足，則取得最小值時（）A. B.C.1 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若恒成立，則______.14．已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且.①求直線的方程；②求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.15．2021年7月，某市發(fā)生德爾塔新冠肺炎疫情，市衛(wèi)健委決定在全市設(shè)置多個核酸檢測點(diǎn)對全市人員進(jìn)行核酸檢測.已知組建一個小型核酸檢測點(diǎn)需要男醫(yī)生1名，女醫(yī)生3名，每小時可做200人次的核酸檢測，組建一個大型核酸檢測點(diǎn)需要男醫(yī)生3名，女醫(yī)生3名.每小時可做300人次的核酸檢測.某三甲醫(yī)院決定派出男醫(yī)生10名、女醫(yī)生18名去做核酸檢測工作，則這28名醫(yī)生需要組建________個小型核酸檢測點(diǎn)和________個大型核酸檢測點(diǎn)，才能更高效的完成本次核酸檢測工作.16．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題p：集合為空集，命題q：不等式恒成立（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．（12分）已知拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，過點(diǎn)作軸的垂線，為垂足，直線與拋物線交于兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與軸交點(diǎn)分別為，求的值；（3）若，求.19．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）求的最大值；（2）求證：對于任意x∈(1,7),e1-x+20．（12分）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），（），.（1）若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；（2）若方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.21．（12分）如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=.圖1圖2（1）求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；（2）在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.22．（10分）已知兩個定點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線，直線：（1）求曲線的軌跡方程；（2）若與曲線交于不同的、兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意，設(shè)每天派出的人數(shù)組成數(shù)列，可得數(shù)列是首項，公差數(shù)7的等差數(shù)列，解方程可得所求值【詳解】解：設(shè)第天派出的人數(shù)為，則是以65為首項、7為公差的等差數(shù)列，且，，∴，，∴天則目前派出的人數(shù)為人，故選：B2、A【解析】設(shè)橢圓方程為，設(shè)該橢圓的焦距為，則，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可得出，可得出，，結(jié)合已知條件求得的值，可得出、的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】設(shè)橢圓方程為，設(shè)該橢圓的焦距為，則，由圖可知，點(diǎn)第一象限，將代入橢圓方程得，得，所以，點(diǎn)，易知點(diǎn)、，，，因?yàn)?，則，得，可得，則，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為為，則，，因此，橢圓的方程為.故選：A.3、B【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定，計算離心率即可.【詳解】由知，，，，即，故選：B4、D【解析】根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，所以.故選：D5、C【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)立方體的棱長為，求出的值，即可得到答案；【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)立方體的棱長為，則，，，，連線與所成角的余弦值為故選：C.6、C【解析】根據(jù)成等比數(shù)列求得，再根據(jù)離心率計算公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)成等比數(shù)列，故可得，解得或；當(dāng)時，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時；當(dāng)時，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，此時.故選：C.7、A【解析】若命題，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A8、D【解析】由題意動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切∴動點(diǎn)M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C（0，-3）為焦點(diǎn)，直線y=3為準(zhǔn)線的拋物線故所求M的軌跡方程為考點(diǎn)：軌跡方程9、D【解析】根據(jù)一元二次不等式的解集的情況得出二次項系數(shù)大于零，根的判別式小于零，可得出，再將化為，由和均值不等式可求得最小值.【詳解】由題意可得：，，可以得到，而，可以令，則有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以的最小值為4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查均值不等式，關(guān)鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關(guān)系，再將所求的式子運(yùn)用不等式的性質(zhì)降低元的個數(shù)，運(yùn)用均值不等式，是中檔題.10、B【解析】函數(shù)既有極大值又有極小值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在定義域上有兩個不同的零點(diǎn).【詳解】因?yàn)榧扔袠O大值又有極小值，且，所以有兩個不等的正實(shí)數(shù)解，所以，且，解得，且.故選:B.11、A【解析】利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對立事件概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.12、B【解析】根據(jù)基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x，y，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時，取等號，而，所以解得，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值為，再構(gòu)造研究其最值，即可確定參數(shù)a的值.【詳解】令，則且，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增；所以，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減；所以，綜上，.故答案為：114、（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】（1）由可證得結(jié)論成立；（2）①設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程；②將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的等式，可求出的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，橢圓的方程為，即，當(dāng)在橢圓的內(nèi)部時，，可得.設(shè)點(diǎn)、，則，所以，，由已知可得，兩式作差得，所以，所以，直線方程為，即.所以，直線的方程為；②聯(lián)立，消去可得.，由韋達(dá)定理可得，，又，而，，，解得合乎題意，故，因此，橢圓的方程為.15、①.4②.2【解析】根據(jù)題意建立不等式組，進(jìn)而作出可行域，最后通過數(shù)形結(jié)合求得答案.【詳解】設(shè)需要組建個小型核酸檢測點(diǎn)和個大型核酸檢測點(diǎn)，則每小時做核酸檢測的最高人次，作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可見當(dāng)直線過點(diǎn)A時，z取得最大值，由得恰為整數(shù)點(diǎn)，所以組建4個小型核酸檢測點(diǎn)和2個大型核酸檢測點(diǎn)，才能更高效的完成本次核酸檢測工作.故答案為：4；2.16、【解析】應(yīng)用余弦定理有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)及同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，根據(jù)基本不等式求得，注意等號成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.【詳解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)判別式小于0可得；（2）根據(jù)復(fù)合命題的真假可知，p和q有且只有一個真命題，然后根據(jù)相應(yīng)范圍通過集合運(yùn)算可得.【小問1詳解】因?yàn)榧蠟榭占詿o實(shí)數(shù)根，即，解得，所以p為真命題時，實(shí)數(shù)a取值范圍為.【小問2詳解】由解得：，即命題q為真時，實(shí)數(shù)a的取值范圍為，易知p為假時，a的取值范圍為，q為假時，a的取值范圍為.因?yàn)闉檎婷}，為假命題，則p和q有且只有一個真命題，當(dāng)p為假q為真時，實(shí)數(shù)a的取值范圍為；當(dāng)p為真q為假時，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）運(yùn)用拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可求得點(diǎn)和的縱坐標(biāo)，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；（3）利用弦長公式求得，由兩點(diǎn)間距離公式求得和，再解方程即可.【小問1詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，所以有；小問2詳解】由題意知，，，設(shè)，則，，，，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，解得，設(shè)，，，，不妨取，，直線的斜率為，其方程為，令，則，同理可得，所以，而，所以；【小問3詳解】，其中，，，因?yàn)椋?，化簡得，解得（舍?fù)），即，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用拋物線的定義、弦長公式進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）求出，討論其導(dǎo)數(shù)后可得原函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最大值.（2）先證明任意的，總有，再利用放縮法和換元法將不等式成立問題轉(zhuǎn)化為任意恒成立，后者可利用導(dǎo)數(shù)證明.【小問1詳解】，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故.【小問2詳解】因?yàn)?，故?dāng)時，，即，而在為減函數(shù)，故在上有，故任意的，總有.要證任意恒成立，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，由（1）可得，任意，有即，故即證：任意恒成立，設(shè)，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，設(shè)，則，而在為增函數(shù)，，故存在，使得，且時，，時，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故任意，總有，故任意恒成立，所以任意恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式的恒成立，可結(jié)合不等式的形式將其轉(zhuǎn)化為若干段上的不等式的恒成立，在每段上可采用不同的方式（導(dǎo)數(shù)、放縮法等）進(jìn)行處理.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）利用常變量分離法，通過構(gòu)造新函數(shù)，由方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解問題，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，所以過該切點(diǎn)的切線的斜率為，因此該切線方程為：，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，所以，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，且函數(shù)過原點(diǎn)，所以曲線的切點(diǎn)為，于是有，即；【小問2詳解】由可得：，當(dāng)時，顯然不成立，當(dāng)時，由，設(shè)函數(shù)，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為，而，當(dāng)時，，函數(shù)圖象如下圖所示：方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象，在當(dāng)時，有兩個不同的交點(diǎn)，由圖象可知：，故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用常變量分離法，結(jié)合轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.21、（1）（2）不存在，理由見解析【解析】（1）利用垂直關(guān)系，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若滿足條件，，利用向量的坐標(biāo)表示，判斷是否存在點(diǎn)滿足.【小問1詳解】∵，E為BD的中點(diǎn)∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如圖以E原