數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標(biāo)1.函數(shù)y=的定義域是()A.［0，1］B.x∈RC.[kπ,kπ+］（k∈Z)D.[2kπ,2kπ+]（k∈Z）思路解析:要使函數(shù)有意義，則sin(cosx）≥0.∴0≤cosx≤1.∴x∈［2kπ,2kπ+］（k∈Z).故選D。答案：D2.已知f(x)是定義在（-3,3）上的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<3時，f（x）的圖象如圖1—3—10所示，那么不等式f（x)cosx〈0的解集為(）圖1—3—10A.(-3，)∪（0,1)∪(，3)B。(，—1）∪（0,1）∪(,3)C.（—3，）∪（0，1)∪(1，3)D.（—3,—1)∪(0,1）∪(1，3)思路解析:利用奇函數(shù)性質(zhì)，將圖象補充完整,同時在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出余弦函數(shù)圖象,如圖1-3-11所示，由于f(x)cosx<0,則只需f（x）與cosx在同一x取值時，異號即可.圖1-3—11答案：B3.圖1-3—12是周期為2π的三角函數(shù)y=f(x）的圖象，那么f（x）可以寫成(）圖1-3-12A。sin（1+x）B.sin(—1-x)C.sin（x-1）D.sin（1-x)思路解析:由圖可以看出f（1)=0,f（0)〉0，從給出的四個選項中，同時滿足這兩個條件的函數(shù)不是sin（1+x)，因為sin（1+1）≠0；也不是sin(—1-x)，因為sin（-1—1）≠0；也不是sin（x—1），因為sin（0—1）=sin（—1）=-sin1≠0.而sin(1-x）同時滿足sin（1-1)=sin0=0和sin(1—0)=sin1>0.答案:D4。（2004遼寧高考卷，11）若f（x)=sin（ωx+φ）的一部分圖象如圖1—3-13所示,則ω和φ的取值是(）圖1-3—13A。ω=1,φ=B。ω=1,φ==—C.ω=,φ=D。ω=，φ=—思路解析：=—（-)=π，∴T=4π。又T=，∴ω=。又A=1，∴y=sin(x+φ）?！鄐in(—+φ)=0.∴—+φ=kπ.由圖知k=0,∴φ=.答案:C5。已知函數(shù)y=tan（2x+φ)的圖象過點（,0)，則φ可以是(）A.-B。C。D。思路解析：將點(,0）代入y=tan（2x+φ),得tan(+φ)=0.∴φ可以是-。答案:A6。（2005天津高考卷，文7)函數(shù)y=Asin(ωx+φ）(ω〉0，｜φ|<,x∈R）的部分圖象如圖1-3—14所示，則函數(shù)表達式是（）圖1—3-14A。y=-4sin(x+）B.y=4sin(x-)C。y=—4sin（x-)D.y=4sin（x+）思路解析：特殊點法。把(—2,0)、(2,—4)分別代入A、B、C、D四個選項中的函數(shù)表達式檢驗可知。答案：A7。圖1—3-15是一彈簧振子做簡諧運動的圖象，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振動的位移,則這個振子振動的函數(shù)解析式是________.圖1-3—15思路解析:設(shè)函數(shù)解析式為y=Asin（ωx+φ)，則A=2，由圖象可知T=2×（0。5-0。1)=,∴ω==.∴×0。1+φ=.∴φ=.∴函數(shù)的解析式為y=2sin(x+).答案：y=2sin(x+)8。甲、乙兩樓相距60米，從乙樓望甲樓頂?shù)难鼋菫?5°,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°,則甲、乙兩樓的高度分別為____________.思路解析：如圖1—3-16，甲樓的高度AC=AB=60(米)，圖1-3—16在Rt△CDE中,DE=CE·tan30°=60×=.∴乙樓的高度為BD=BE-DE=60-（米).答案：60米，（60-)米9.一樹干被臺風(fēng)攔腰折斷，兩樹干折成60°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，樹干原來的高度為______________。思路解析：如圖1-3-17，BC=20tan30°=，AB==,所以樹干原來的高度為AB+BC=（米）.圖1-3-17答案：米10.欲使函數(shù)y=Asinωx(A〉0,ω〉0）在閉區(qū)間上至少出現(xiàn)50個最小值,則ω的最小值是______.思路解析：要使y=Asinωx在［0,1］上至少含個周期,即，解得ω≥.答案：我綜合我發(fā)展11。已知函數(shù)f(x)=+1。(1)討論函數(shù)的奇偶性；（2)判斷函數(shù)的最小正周期，并證明你的結(jié)論（用反證法).思路分析:（1)利用函數(shù)奇偶性的定義;（2)周期函數(shù)的周期不止一個，一般存在一個最小正周期，證明T是最小正周期時，往往用反證法比較容易.解:f（x)=|sinx|+｜cosx｜+1的定義域為R.（1）∵f（-x)=f（x）,∴f(x）為偶函數(shù)。(2）∵f(x+)=｜sin(x+）｜+|cos(x+）｜+1=f(x)，∴T=.假設(shè)f（x)的最小正周期為T′，且0<T′〈，則f(x+T′）=f（x)，即|sin（x+T′)｜+｜cos（x+T′)|=｜sinx|+|cosx｜對x∈R恒成立.x=0，得｜sinT′｜+|cosT′|=1?！遱inT′+cosT′=1（sinT′+cosT′）2=11+2sinT′cosT′=1，∴sinT′cosT′=0sinT′=0或cosT′=0，與T′∈（0,)矛盾?！鄁（x)的最小正周期為T=.12.已知函數(shù)f(x)=tanx，x∈（0，），若x1、x2∈(0，)且x1≠x2，試比較［f（x1）+f(x2）］與f(）的大小。思路分析：數(shù)形結(jié)合法.圖1—3—18解：f（x）=tanx,x∈（0,)的圖象如圖1—3-18所示，則f（x1)=AA1,f（x2)=BB1,f()=CC1,C1D是直角梯形AA1B1B的中位線，所以[f(x1)+f(x2）］=（AA1+BB1)=DC1>CC1=f（），即［f(x1)+f(x2)]>f()。13。單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的距離s（cm）和時間t(s)的函數(shù)關(guān)系為s=6sin(2πt+）．請完成（1）-（4）題．(1）作出它的圖象；（2)單擺開始擺動(t=0）時,離開平衡位置多少厘米?（3）單擺擺動到最右邊時,離開平衡位置多少厘米？（4）單擺來回擺動一次需要多少時間？解：（1)找出曲線上的五個特殊點，列表如下：t……2πt+…0π2π…S…060-60…用光滑的曲線連接這些點,得函數(shù)s=6sin(2πt+）的圖象(如圖1—3—19所示）。圖1-3—19（2）當(dāng)t=0時，s=6sin=3（cm），即單擺開始擺動時,離開平衡位置3cm.(3）s=6sin（2πt+)的振幅為6，所以單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置6cm.（4）s=6sin(2πt+）周期T==1，所以單擺來回擺動一次需要的時間為1s。14.已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位:小時）的函數(shù)，記作y=f（t）。下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù):t(小時）03691215182124y（米）1。51.00.51.01.51.00。50.991。5經(jīng)長期觀測，y=f(t)的曲線可近似地看成函數(shù)y=Acosωt+B。(1)你能否根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acosωt+B的最小正周期T,振幅A及函數(shù)表達式？（2）依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請你依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)上午8時至晚上20時之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？思路分析:此題是一個關(guān)于三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的應(yīng)用題,其中對圖象的分析以及對題意的理解是關(guān)鍵.數(shù)學(xué)應(yīng)用題形式多樣，解法靈活,在應(yīng)用題的各種題型中，有這樣一類題目:信息以表格數(shù)據(jù)的形式給出,要求對數(shù)據(jù)進行合理的轉(zhuǎn)化處理，建立數(shù)學(xué)模型，解答有關(guān)的實際問題。解答此類題型常有以下三種方法：(1)直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學(xué)模型或題中給出了需要用的數(shù)學(xué)模型,則可直接代入表中的數(shù)據(jù)，問題即可獲解.（2)列式比較法：若問題所涉及的是最優(yōu)化方案問題，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)先列式,然后進行比較.（3)描點觀察法:若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定要用哪種數(shù)學(xué)模型，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系