數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：任意角和弧度制

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達(dá)標(biāo)1.集合A={α｜α=k·90°-36°,k∈Z}，B=｛β｜-180°＜β＜180°｝，則A∩B等于（)A.｛-36°，54°}B.{-126°,144°｝C.｛-126°，-36°,54°,144°}D。｛-126°，54°}思路解析：在集合A中，令k取不同的整數(shù),找出既屬于A又屬于B的角度即可。k=—1，0,1，2驗(yàn)證可知A∩B=｛-126°，—36°,54°，144°｝.答案：C2。如果α與x+45°具有同一條終邊，角β與x-45°具有同一條終邊，那么α與β間的關(guān)系是(）A.α+β=0B。α—β=0C。α+β=k·360°,k∈ZD。α-β=k·360°+90°，k∈Z思路解析：利用終邊相同的角的關(guān)系，分別寫出α、β,找出它們的關(guān)系即可。由題意，得α=k·360°+x+45°，k∈Z；β=n·360°+x—45°，n∈Z.兩式相減，得α-β=（k-n）·360°+90°,(k-n)∈Z。答案：D3。α=-2rad，則α的終邊在（）A。第一象限B.第二象限C。第三象限D(zhuǎn)。第四象限思路解析：—2∈（-π,)，所以-2rad是第三象限角。答案：C4。若扇形的面積是1cm2，它的周長是4cm，則扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A。1B。2C思路解析：確定扇形的條件有兩個(gè)，最直接的條件是給出扇形的半徑、弧長和圓心角中的兩個(gè)。設(shè)扇形的半徑為R、弧長為l，由已知條件可知解得所以扇形的圓心角度數(shù)為=2。答案：B5.角α小于180°而大于-180°，它的7倍角的終邊又與自身終邊重合，則滿足條件的角α的集合為___________________。思路解析：與角α終邊相同的角連同角α在內(nèi)可表示為{β|β=α+k·360°，k∈Z}∵它的7倍角的終邊與其終邊相同,∴7α=α+k·360°。解得α=k·60°，k∈Z。∴滿足α的集合為{—120°,—60°,0°，60°,120°}。答案：｛-120°,—60°，0°,60°，120°｝6。圓的一段弧長等于這個(gè)圓內(nèi)接正三角形的一條邊長，那么這段弧所對(duì)的圓心角是_______________弧度。思路解析：先求圓內(nèi)接正三角形的邊長，即得到圓弧長，再利用公式|α|=求得這段弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù).設(shè)圓的半徑為r，則圓內(nèi)接正三角形的邊長為r,即弧長為r，所以所求圓心角的弧度數(shù)為|α|==.答案:7.已知A={銳角｝，B={0°到90°的角}，C=｛第一象限角}，D=｛小于90°的角}。求A∩B，A∪C,C∩D，A∪D.思路解析：搞清各集合的范圍，是解題的關(guān)鍵。A={α｜0°＜α＜90°｝;B={α｜0°≤α＜90°};C={α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z｝;D=｛α｜α＜90°｝?！郃∩B=｛α|0°＜α＜90°};A∪C={a｜k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z｝C∩D={α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k為非正整數(shù)｝；A∪D=｛α｜α＜90°}。8.在直徑為10cm的輪子上有一長為6cm的弦，P為弦的中點(diǎn)，輪子以每秒5弧度的角速度旋轉(zhuǎn)，求經(jīng)過5秒鐘后,點(diǎn)P轉(zhuǎn)過的弧長。思路分析:P點(diǎn)在一新圓上，所以要求點(diǎn)P轉(zhuǎn)過的弧長需先求新圓的半徑。畫出草圖，根據(jù)位置關(guān)系求出P點(diǎn)到圓心的距離，即為新圓的半徑。解：P到圓心O的距離PO==4（cm)，即為點(diǎn)P所在新圓的半徑。又點(diǎn)P轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)α=5×5=25，所以P點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧長為α·OP=25×4=100(cm）。我綜合我發(fā)展9。如圖1-1—3在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧AB的長為l,求此扇形的內(nèi)切圓的面積.圖1-1—3思路分析：因?yàn)閳A內(nèi)切于扇形，所以可以建立圓的半徑與扇形的半徑的關(guān)系式，再由弧長公式代入解出圓的半徑，即可解決問題.解：設(shè)扇形AOB所在圓面的半徑為R，此扇形內(nèi)切圓的半徑為r,則有R=r+r，=l=·R，故r=。則扇形的內(nèi)切圓的面積為S=πr2=。10.集合A=｛α|α=,n∈Z}∪｛α｜α=2nπ±，n∈Z}，B=｛β|β=，n∈Z}∪{β|β=nπ+，n∈Z｝,則A與B的關(guān)系如何？思路分析:將三角函數(shù)的問題放在集合里，要求用集合的方法求解,來找出兩集合中元素之間的關(guān)系是三角函數(shù)常見的變形之一。這類題型只需要根據(jù)三角函數(shù)的規(guī)律找出集合的特征即可順利求解.解:在集合A里對(duì)n分奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論有：｛α|α=,n∈Z｝=｛α|α=kπ,k∈Z}∪{α｜α=kπ+，k∈Z｝。在集合B里對(duì)n分成3的倍數(shù)進(jìn)行討論，有{β|β=,n∈Z}={β｜β=2kπ,k∈Z}∪｛β｜β=2kπ±,k∈Z｝。由此可以看出:B中的元素都是A中的元素,而A中的元素α=(2k+1）π,（k∈Z)不是集合B中的元素，即B是A的真子集.11.有人說，鐘的時(shí)針和分針一天內(nèi)會(huì)重合24次,你認(rèn)為這種說法是否正確？請(qǐng)說明理由.思路分析:鐘的時(shí)針與分針重合，實(shí)質(zhì)是角的終邊相同的問題.解：設(shè)經(jīng)過tmin分針就與時(shí)針重合，n為兩針重合的次數(shù)。因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)的角速度為（rad/min)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度為(rad/min)，所以（)t=2nπ,即t=.用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器作出函數(shù)t=的圖象或表格,從中可清楚地看到時(shí)針與分針每次重合所需的時(shí)間。因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一天所需的時(shí)間為24×60=1440（min）,所以≤1440.于是n≤22.故時(shí)針與分針一天內(nèi)只會(huì)重合22次。12.在炎炎夏日，用紙扇驅(qū)走悶熱，無疑是很好的辦法。紙扇在美觀的設(shè)計(jì)上，可考慮用料、圖案和形狀。若從數(shù)學(xué)角度看，能否利用黃金比例（0.618）去設(shè)計(jì)一把有美感的白紙扇呢，此時(shí)