數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：基本不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1。logab+logba≥2成立的必要條件是（）Aa〉1，b>1Ba〉0,0〈b〈1C(a-1)（b—1)〉0D以上都不對(duì)思路解析：因?yàn)閘ogab與logba互為倒數(shù)，符合基本不等式的結(jié)構(gòu).但兩個(gè)數(shù)應(yīng)是正數(shù)，所以a，b同時(shí)大于1或a，b都屬于區(qū)間（0，1).答案:C2。下列命題中：①x+最小值是2;②的最小值是2；③的最小值是2;④2-3x-的最小值是2.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)思路解析:當(dāng)x<0時(shí)，x+無最小值,故①錯(cuò)誤;當(dāng)x=0時(shí)，的最小值是2，②正確;當(dāng)時(shí),取得最小值2。但此時(shí)x2=-3,所以取不到最小值2，故③錯(cuò)誤;當(dāng)x>0時(shí),2-3x—〈0,故④錯(cuò)誤。答案:A3.設(shè)x,y∈R+，且滿足x+4y=40，則lgx+lgy的最大值是（）A40B10C思路解析：因?yàn)閤，y∈R+,∴.∴=10。∴xy≤100.∴l(xiāng)gx+lgy=lgxy≤lg100=2.答案：D4.設(shè)x,y∈R+,且xy—(x+y）=1,則（）Ax+y≥2(+1)Bx·y≤+1Cx+y≤(+1)2Dx·y≥2(+1)思路解析：因?yàn)閤y—（x+y)=1,∴x+y+1=xy≤（）2所以（x+y)2—4(x+y)—4≥0。所以x+y≥=2+，或x+y≤2—(舍去)。答案：A5。若a>b>1，P=，Q=（lga+lgb），R=lg(）,則（)AR〈P<QBP<Q〈RCQ<P<RDP<R〈Q思路解析：∵a>b>1lga>0,lgb〉0，∴Q=12（lga+lgb）〉=P，R>=(lga+lgb）=QR〉Q>P.答案：B6。設(shè)x，y∈R，且x+y=5,則3x+3y的最小值是……（）A10B6CD18思路解析：3x+3y≥.答案：D7。已知lgx+lgy=2,則+的最小值為__________。思路解析:∵lgx+lgy=2,∴l(xiāng)gxy=2，xy=102.∴.答案：158。某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x=__________噸。思路解析：設(shè)一年總費(fèi)用為y萬元,則y=4×+4x=+4x≥=160.當(dāng)且僅當(dāng)=4x,即x=20時(shí)，等號(hào)成立。答案：209。(1）求函數(shù)y=+x(x〉3)的最小值；(2）設(shè)x>-1，求函數(shù)y=的最小值.解:(1）∵x〉3,∴y=1x—3+x=1x—3+（x-3)+3≥5（當(dāng)且僅當(dāng)x-3=1x—3，即x=4時(shí),即“=”號(hào)).∴ymin=5.(2）因?yàn)閤>-1,所以x+1〉0，設(shè)x+1=t〉0,則x=t—1,把x=t—1代入y=。=5+(t+）≥5+=5+4=9.當(dāng)且僅當(dāng)t=2即x=1時(shí)上式等號(hào)成立。所以當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)y有最小值9。我綜合我發(fā)展10.若關(guān)于x的不等式（1+k2）x≤k4+4的解集是M,則對(duì)任意常數(shù)k，總有（）A2∈M，0∈MB2M，0MC2∈M,0MD2M,0∈M思路解析:由(1+k2)x≤k4+4,得x≤，令f（k）=，再令k2+1=t(t≥1)，則k2=t—1,f（k)==t+-2≥—2>4-2=2.（當(dāng)且僅當(dāng)t=5t，即t=時(shí)“=”成立)。所以2∈M，0∈M。答案:A11.已知不等式（x+y)（+)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為（）A2B4C思路解析：（x+y）()=1+a+≥1+a+=(+1)2(當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào)).∵(x+y）（+）≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立.∴需（+1）2≥9。∴a≥4。答案:B12.若a，b，c>0且a(a+b+c）+bc=4-2,則2a+b+c的最小值為（）A—1B+1C2+2D2—2思路解析:由a（a+b+c)+bc=4—，得（a+b）(a+c)=4—.∵a,b,c>0，∴(a+c)（a+b）≤（）2（當(dāng)且僅當(dāng)a+c=b+a，即b=c時(shí)取“=”號(hào))?！?a+b+c≥=2（—1)=-2。答案：D13.已知a>0,b〉0，a，b的等差中項(xiàng)是,且α=a+,β=b+,則α+β的最小值是(）A3B4C思路解析：由題意，知a+b=1，則α+β=a++b+=1+≥1+=5.答案：C14。a>0，b>0，給出下列四個(gè)不等式：①a+b+≥2;②（a+b)(+)≥4；③≥a+b;④a+≥—2.其中正確的不等式有__________（只填序號(hào)）.思路解析:①正確.∵a>0,b〉0，∴a+b+≥+≥2··=;②正確.(a+b)(+)≥×=4;③正確?！撸郺2+b2≥2（）2=（a+b)≥（a+b),∴≥a+b；④a+=（a+4）+—4≥—4=2-4=—2。當(dāng)且僅當(dāng)a+4=，即（a+4）2=1時(shí)等號(hào)成立。而a〉0，∴（a+4）2≠1,∴等號(hào)不能取得。綜上可知①②③正確.答案：①②③15。某生產(chǎn)飲料的企業(yè)擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)，預(yù)計(jì)年產(chǎn)量Q（萬件）與廣告費(fèi)x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系式為Q=（x≥0)。已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品需再投入32萬元，若每件售價(jià)為“年平均每件成本的150％”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和.(1）試將利潤(rùn)y（萬元）表示為年廣告費(fèi)x(萬元)的函數(shù).如果年廣告費(fèi)投入100萬元，企業(yè)是虧損還是盈利？（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？(注:①“年平均每件成本”中不計(jì)廣告費(fèi)支出；②假定每年生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年全部售出)解：（1）利潤(rùn)=年收入-年成本-年廣告費(fèi)，售價(jià)=×150%+×50%,收入=（3+32Q）×150%+50％x,∴y=（3+32Q)×150％+50%x—（3+32Q)—x=(32Q+3-x）=（32×+3—x)