數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：比較法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1。下列關(guān)系中對(duì)任意a〈b<0的實(shí)數(shù)都成立的是……()A.a2<b2B。lgb2〈lga2C?！?D。（）〉（）思路解析:∵a〈b〈0,∴—a〉—b>0.(-a）2>(—b)2〉0，即a2>b2〉0?！?lt;1。又lgb2-lga2=lg<lg1=0?！鄉(xiāng)gb2<lga2。答案:B2.已知a>0且a≠1,P=loga（a3+1),Q=loga(a2+1)，則P，Q的大小關(guān)系是（）A。P〉QB。P<QC。P=QD.大小不確定思路解析:P—Q=loga(a3+1）-loga（a2+1)=loga.當(dāng)0〈a〈1時(shí),0〈a3+1<a2+1,0〈〈1，∴l(xiāng)oga>0。即P-Q>0,∴P>Q。當(dāng)a〉1時(shí),a3+1〉a2+1>0,>1,∴l(xiāng)oga>0。即P—Q>0,∴P>Q。答案：A3。a，b都是正數(shù)，P=，Q=，則P,Q的大小關(guān)系是（）A。P〉QB。P〈QC。P≥QD.P≤Q思路解析：∵a,b都是正數(shù),∴P〉0，Q>0?！郟2-Q2=(）2—（)2=≤0?！郟2-Q2≤0.∴P≤Q。答案：D4。已知0<x<1，a=,b=1+x，c=，則其中最大的是（）A.aB.bC。cD。不能確定思路解析：因?yàn)?<x〈1，所以a〉0，b>0，c〉0,又a2—b2=(）2—（1+x)2=—(1—x）2〈0，所以a2—b2<0,a〈b。又c-b=-(1+x）=〉0,所以c〉b，所以c〉b>a。答案:C5。已知a,b，c，d∈{正實(shí)數(shù)｝且〈,則（）A。〈〈B。〈<C.〈<D.以上均可能思路解析:因?yàn)椤?。又因?yàn)閍,b,c，d∈｛正實(shí)數(shù)}且<,所以,<0.所以.又因?yàn)椤?,所以.答案：A6。若-1<a<b<0,則,,a2,b2中值最小的是____________.思路解析：依題意，知>，a2>b2,故只需比較與b2的大小.因?yàn)閎2>0,〈0,∴〈b2。答案：7.已知x∈R，求證:1+2x4≥x2+2x3.證法一:1+2x4—（x2+2x3）=2x3(x-1)-（x—1）(x+1）=（x—1)（2x3—x-1）=（x—1)2(2x2+2x+1）=(x-1)2［（x+1)2+x2］≥0,即1+2x4—（x2+2x3）≥0。所以1+2x4≥x2+2x3.證法二:1+2x4-(x2+2x3)=x4-2x3+x2+x4—2x2+1=x2(x-1)2+(x2-1）2≥0。即1+2x4-(x2+2x3）≥0。所以1+2x4≥x2+2x3。8。已知a〉b>c〉0，求證:a2ab2bc2c>ab+cba+cca+b.證明:由a>b〉c>0，得ab+cbc+aca+b〉0。作商=aa—baa—cbb—cbb—acc—acc—b=(）a-b(）a-c（）b—c.由a>b〉c>0，得a-b>0,a-c>0,b—c〉0，且>1，〉1,>1.∴（）a-b（)a-c(）b-c〉1.∴a2ab2bc2c〉ab+cbc+aca+b.9.已知x>0,x≠1,m>n>0，比較：xm+與xn+的大小。解：xm+-(xn+）=xm—xn+—=xm-xn+=（xm-xn)(1—)。當(dāng)0<x<1時(shí)，由m〉n>0,知xm<xn且xm+n〈1,則有1—〈0，所以（xm-xn)（1—)〉0.當(dāng)x〉1時(shí),由m>n〉0,知xm〉xn且xm+n>1，則有1—>0。所以（xm—xn）(1—）〉0.綜上所述：xm+>xn+.我綜合我發(fā)展10.已知a∈R,b∈R,且a≠b,在①a2+3ab〉2b2;②a5+b5〉a3b2+a2b3;③a2+b2≥2(a-b-1）；④+〉2。四個(gè)式子中恒成立的有（)A。4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D。1個(gè)思路解析：①④舉反例很容易排除，對(duì)②利用作差法a5+b5—a3b2-a2b3=a3(a2—b2)—b3（a2—b2）=(a2—b2)（a3—b3）=(a—b)2(a+b)(a2+ab+b2），因?yàn)?a-b)2>0，a2+ab+b2>0，而a+b的符號(hào)是不確定的，故差值符號(hào)不能確定,因此②不正確.對(duì)于③a2+b2-2a+2b+2=（a—1）2+(b+1）2≥0，故a2+b2≥2(a-b+1），故③正確.綜合以上分析,只有③正確。答案:D11.已知x=,y=a-b,其中a，b均為正數(shù),t∈R，則下列結(jié)論成立的是（）A.當(dāng)a≤b時(shí)，x≥yB.當(dāng)a≤b時(shí),x≤yC.x≥yD.x≤y。思路解析：x—y=—a+b—==（b2-a2+at-bt)=·(b-a）,故當(dāng)a≤b時(shí),x≥y.答案:A12.設(shè)二次函數(shù)f(x）=ax2+bx+c（a〉0),方程f(x）—x=0的兩個(gè)根x1,x2滿(mǎn)足0<x1〈x2<,當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，求證:x〈f（x）<x1.證明：令F(x）=f（x）—x=ax2+（b—1)x+c.由x1，x2是方程f（x)—x=0的兩根,則F（x）=a(x—x1）（x—x2).又∵x∈(0,x1)，由0<x1〈x2〈,a>0，∴F（x）=a(x-x1)（x—x2)>0,∴f(x）—x>0,∴f（x）>x。又∵x1—f(x）=x1—［x+F(x)］=x1-x-a(x—x1）(x-x2)=a（x1—x）［+x-x2］，又∵0〈x1<x2<，∴x1-x〉0，+x—x2〉0。∴x1—f(x）>0，∴x1>f(x）.故x〈f(x)<x1.13。求證:｜loga(1—tanx)|〉｜loga（1+tanx)｜,其中a〉0,a≠1，x∈（0，）.證明:由x∈(0,),∴tanx∈(0,1)。∴1—tanx∈（0,1），1+tanx∈(1，2).∵｜loga（1-tanx)|>0，｜loga(1+tanx）|〉0,=｜log(1+tanx）（1—tanx）|=—log（1+tanx）(1-tanx）=log（1+tanx）=log（1+tanx)=1+log（1+tanx）.∵1+tanx>1，0〈1—tan2x<1,∴>1?！?+log(1+tanx)>1?！啵黮oga（1-tanx）｜>｜loga(1+tanx)｜。14。設(shè)函數(shù)f(x)=-ax,其中a>0。若函數(shù)f（x）在［0,+∞)上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.解：設(shè)取x1,x2∈［0,+∞），且x1〈x2，f(x1)—f(x2）=—a(x1—x2)=-a（x1—x2）=（x1-x2）(—a）。（1）當(dāng)a≥1時(shí)，由<1，易知f(x1)〉f(x2），所以，當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x)在區(qū)間[0,+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù).（2)當(dāng)0<a<1時(shí)，在區(qū)間[0,+∞)上存在兩點(diǎn)x1=0,x2=，滿(mǎn)足f（x1）=f(x2)=1，從而f（x)在［0，+∞)不是單調(diào)函數(shù).∴所求a的取值范圍是a∈［1，+∞）.15。已知數(shù)列｛an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,a3=7,S4=24。(1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)p，q是正整數(shù),且p≠q,求證：Sp+q〈(S2p+S2q)。（1）解:設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差是d,依題意，得解