2020-2021學(xué)年天津市和平區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2020-2021學(xué)年天津市和平區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算與虛部的概念求解即可．【詳解】解：∵，∴該復(fù)數(shù)的虛部為1，故選：A．2．已知向量，，，，∥，則的值為（）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示公式計(jì)算即可.【詳解】由∥，得，即.故選：C.3．用、表示兩條不同的直線，用、表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若∥，∥，則∥ B．若∥，，則∥C．若，∥，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面（面面）平行（垂直）的判定定理和性質(zhì)定理，分別判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由面面平行的判定定理可知，不一定平行于，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，不一定平行于，故B錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C，由面面垂直的判定定理可知，，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)線面垂直的判定定理知，不一定垂直于，故D錯(cuò).故選：C.4．給定一組數(shù)據(jù)：102，100，103，104，101，這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（）A．102 B．102.5 C．103 D．103.5【答案】B【分析】根據(jù)題意，把數(shù)據(jù)從小到大排列，由，故計(jì)算第三個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)即可.【詳解】由題意得，，這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：100，101，102，103，104，故這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為.故選：B.5．若向量，滿足：，，，，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義求出在上的投影，然后結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】在上的投影為，所以在上的投影為.故選：D.6．已知內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，，則形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理將化為，然后化簡(jiǎn)可得答案【詳解】，余弦定理可得，則，則，所以為直角三角形.故選：D7．從分別寫有“1，2，3，4，5”的5張卡片中，隨機(jī)抽取一張不放回，再隨機(jī)抽取一張，則抽得的兩張卡片上的數(shù)字一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，列出所有可能結(jié)果，結(jié)合古典概率計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意可知，所有抽取結(jié)果如下：（1，2），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，3），（2，3），（3，2），（4，2），（5，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，3），（5，3），（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，4），共20種結(jié)果，其中兩張卡片上的數(shù)字一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)有12種，故抽得的兩張卡片上的數(shù)字一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)的概率為.故選：B.8．在正三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面三角形的邊長(zhǎng)為1，則與側(cè)面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作的中點(diǎn)，連接，，，根據(jù)題意可知與側(cè)面所成角即為，根據(jù)已知條件求解即可.【詳解】作的中點(diǎn)，連接，，，根據(jù)題意，易得平面，故與側(cè)面所成角即為，因側(cè)棱長(zhǎng)為，底面三角形的邊長(zhǎng)為1，所以，，故，即與側(cè)面所成角的正弦值為.故選：D.9．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知，，，，由是線段上的點(diǎn)，設(shè)，且，因此，，故，因，所以當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：B.二、填空題10．已知復(fù)數(shù)z=（1+i）（1+2i）,其中i是虛數(shù)單位，則z的模是__________【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出．【詳解】解：復(fù)數(shù)z＝（1+i）（1+2i）＝1﹣2+3i＝﹣1+3i，∴|z|．故答案為．【點(diǎn)睛】對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如．其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛復(fù)數(shù)為．11．某?，F(xiàn)有高一學(xué)生210人，高二學(xué)生270人，高三學(xué)生300人，用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，如果已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7，那么從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為________________．【答案】【詳解】試題分析：分層抽樣是等比例抽樣，那么從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7可知，每一人被抽到的概率為7：210=1：30.由此得到高三學(xué)生中抽取的人數(shù)為300=10，故答案為10.【解析】本試題主要是考查了分層抽樣的方法的運(yùn)用．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于抽樣方法，?？疾榈氖欠謱映闃?，在整個(gè)抽樣過程中，每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率為n:N,即為樣本容量與總體的比值，這一點(diǎn)是解題的核心，屬于基礎(chǔ)題．12．如圖是某工廠對(duì)一批新產(chǎn)品長(zhǎng)度單位：檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)為______．【答案】22.5【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5，0.3+0.08×5=0.7>0.5；∴中位數(shù)應(yīng)在20～25內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.3+(x?20)×0.08=0.5，解得x=22.5；∴這批產(chǎn)品的中位數(shù)是22.5.故答案為22.5.點(diǎn)睛：用頻率分布直方圖估計(jì)總體特征數(shù)字的方法：①眾數(shù)：最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②中位數(shù)：平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.13．設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，若與互斥，與對(duì)立，且，，則_____________．【答案】【分析】由與對(duì)立可求出，再由與互斥，可得求解.【詳解】與對(duì)立，，與互斥，.故答案為：.14．已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為24，則這個(gè)球的體積為____________.【答案】【分析】根據(jù)正方體的表面積，可得正方體邊長(zhǎng)，然后計(jì)算外接球的半徑，利用球的體積的公式，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)，正方體外接球的半徑為R，由正方體的表面積為24，所以，則，又，所以，所以外接球的體積為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求多面體的外接球的表面積和體積問題關(guān)鍵是要求出外接球的半徑，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心.15．若點(diǎn)是的重心，點(diǎn)、分別在、上，且滿足，其中．若，則與的面積之比為_______．【答案】【分析】用表示出，求出，得到、的位置，從而可得答案【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為，則,因?yàn)?，所?所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以故答案為：三、解答題16．已知，，向量與的夾角為．（1）求；（2）若與垂直，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合，即可求解；(2)根據(jù)題意，可知，結(jié)合已知條件計(jì)算即可.【詳解】(1)由題意得，.(2)由與垂直，得，即，解得.17．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足．（1）求的值；（2）若，，求的面積．【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）先根據(jù)正弦定理將條件邊化角，然后借助于誘導(dǎo)公式進(jìn)一步化簡(jiǎn)成、的關(guān)系式，最后借助于正弦定理得解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，可求出三邊，利用余弦定理求出任意角，套用面積公式即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）由正弦定理，可化為：，也就是．由三角形內(nèi)角和定理得．即．由正弦定理可得，故．（2）由可知．而，由余弦定理可知．又，于是．．18．如圖，斜三棱柱中，側(cè)面是菱形，與交于點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）若，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）要證線面平行，需證線線平行，連結(jié)，證（2）要證線線垂直，需證線面垂直，證平面，即證證明：（1）連結(jié)．∵側(cè)面是菱形，與交于點(diǎn)∴為的中點(diǎn)∵是的中點(diǎn)∴；∵平面，平面∴平面（2）∵側(cè)面是菱形∴∵，，平面，平面∴平面∵平面∴．19．在一次猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，兩名同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)了15個(gè)，乙同學(xué)猜對(duì)了8個(gè)．假設(shè)猜對(duì)每道燈謎都是等可能的，設(shè)事件為“任選一燈謎，甲猜對(duì)”，事件為“任選一燈謎，乙猜對(duì)”．（1）任選一道燈謎，記事件為“恰有一個(gè)人猜對(duì)”，求事件發(fā)生的概率；（2）任選一道燈謎，記事件為“甲、乙至少有一個(gè)人猜對(duì)”，求事件發(fā)生的概率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題意可得，，再根據(jù)即可求出結(jié)果；（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對(duì)的概率為，根據(jù)即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）由題意可得，，；（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對(duì)的概率為：，∴．20．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，，，為的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成的角；（2）求證：平面平面；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）證明就是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，再解三角形得解；（2）先證明平面,平面平面