2019高三數學文北師大版一輪教師用書第7章第5節(jié)垂直關系

第五節(jié)垂直關系[考綱]1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題．(對應學生用書第104頁)[基礎知識填充]1．直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義 如果一條直線l與平面α內的任何直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直． (2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,aα,bα))?l⊥α性質定理兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直． (2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,lβ))?α⊥β性質定理如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,lβ))?l⊥α [知識拓展] 1．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面． 2．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直． 3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．[基本能力自測]1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)直線l與平面α內的無數條直線都垂直，則l⊥α.() (2)垂直于同一個平面的兩平面平行．() (3)若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行．() (4)若兩個平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改編)設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且lα，mβ.() A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥m C．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m A[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正確．]3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則() A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n C[∵α∩β＝l，∴l(xiāng)β. ∵n⊥β，∴n⊥l.]4．如圖7-5-1，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數為________.【導學號：00090253】圖7-5-1 4[∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 則△PAB，△PAC為直角三角形． 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC． 因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長為________． a[如圖所示，取BD的中點O，連接A′O，CO， 則∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角． 即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝eq\f(\r(2),2)a， ∴A′C＝eq\r(\f(a2,2)＋\f(a2,2))＝a，即折疊后AC的長(A′C)為A．](對應學生用書第105頁)線面垂直的判定與性質如圖7-5-2所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：圖7-5-2(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[證明](1)在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中點，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．又PD平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD．又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[規(guī)律方法]1．證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理．(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”．(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則與另一個也垂直”．(4)利用面面垂直的性質定理．2．證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關系．(2)利用等腰三角形底邊中線的性質．(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直線與平面垂直的性質．[變式訓練1]如圖7-5-3所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點，F是DC上的點，且DF＝eq\f(1,2)AB，PH為△PAD中AD邊上的高．圖7-5-3(1)證明：PH⊥平面ABCD；(2)證明：EF⊥平面PAB．[證明](1)因為AB⊥平面PAD，PH平面PAD，所以PH⊥AB．因為PH為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD．因為AB∩AD＝A，AB，AD平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD．(2)如圖所示，取PA的中點M，連接MD，ME.因為E是PB的中點，所以ME綊eq\f(1,2)AB．又因為DF綊eq\f(1,2)AB，所以ME綊DF，所以四邊形MEFD是平行四邊形，所以EF∥MD．因為PD＝AD，所以MD⊥PA．因為AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB．因為PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB．面面垂直的判定與性質(2017·鄭州調研)如圖7-5-4，三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點．圖7-5-4(1)求證：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH.[證明](1)如圖所示，連接DG，CD，設CD∩GF＝M，連接MH. 1分在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G為AC的中點，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形． 3分則M為CD的中點，又H為BC的中點，所以HM∥BD，由于HM平面FGH，BD平面FGH，故BD∥平面FGH. 5分(2)連接HE，GE，CD，因為G，H分別為AC，BC的中點，所以GH∥AB． 6分由AB⊥BC，得GH⊥BC．又H為BC的中點，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四邊形EFCH是平行四邊形，所以CF∥HE. 10分由于CF⊥BC，所以HE⊥BC．又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H.所以BC⊥平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH. 12分[規(guī)律方法]1.面面垂直的證明的兩種思路：(1)用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線；(2)用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問題轉化為證明平面角為直角的問題．2．垂直問題的轉化關系：[變式訓練2](2017·全國卷Ⅰ)如圖7-5-5，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。 (1)證明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(8,3)，求該四棱錐的側面積．圖7-5-5 [解](1)證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得AB⊥AP，CD⊥PD． 由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD． 2分又AB平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAD． 4分 (2)如圖，在平面PAD內作PE⊥AD，垂足為E. 由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD， 可得PE⊥平面ABCD． 6分 設AB＝x，則由已知可得 AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x. 故四棱錐P-ABCD的體積 VP-ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3. 8分 由題設得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2. 從而結合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝2eq\r(2). 10分 可得四棱錐P-ABCD的側面積為 eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3). 12分平行與垂直的綜合問題角度1多面體中平行與垂直關系的證明(2018·濰坊模擬)在如圖7-5-6所示的空間幾何體中，EC⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，CE∥BF，且CE＝2BF，G，H，P分別為AF，DE，AE的中點．求證：(1)GH∥平面BCEF；(2)FP⊥平面ACE.【導學號：00090254】圖7-5-6[證明](1)取EC中點M，FB中點N，連接HM，GN.則HM綊eq\f(1,2)DC，GN綊eq\f(1,2)AB， 2分∵AB∥CD，AB＝CD，∴HM綊GN，∴HMNG是平行四邊形，∴GH∥MN， 4分∵GH平面BCEF，MN平面BCEF，∴GH∥平面BCEF； 6分(2)連接BD，與AC交于O，連接OP，則OP綊FB，∴PFBO是平行四邊形， 8分∴PF∥BO，∵BO⊥AC，BO⊥EC，AC∩EC＝C，∴BO⊥平面ACE， 10分∴FP⊥平面ACE. 12分[規(guī)律方法]1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化． 2．垂直與平行結合問題，求解時應注意平行、垂直的性質及判定的綜合應用．角度2平行垂直中探索開放問題(2017·秦皇島調研)如圖7-5-7(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖7-5-7(2)所示．【導學號：00090255】(1)(2)圖7-5-7 (1)求證：A1F⊥BE (2)線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ [證明](1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC． 所以DE⊥AC，則DE⊥DC，DE⊥DA1， 因為DC∩DA1＝D， 所以DE⊥平面A1DC． 2分 由于A1F平面A1DC，所以DE⊥A1 又因為A1F⊥CD，CD∩DE＝D 所以A1F⊥平面BCDE 又BE平面BCDE， 所以A1F⊥BE. (2)線段A1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ. 理由如下： 如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，連接PQ 則PQ∥BC． 又因為DE∥BC，則DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEQP. 9分 由(1)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C 又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1 所以A1C⊥DP 又DP∩DE＝D， 所以A1C⊥平面DEQP.從而A1C⊥平面 故線段A1B上存在點Q，使得A1C⊥平面DEQ. 12 [規(guī)律方法]1.對命題條件探索性的主要途徑： (1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明； (2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性． 2．平行(垂直)中點的位置探索性問題：一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據相似知識建點．線面角的求法與應用(2016·浙江高考)如圖7-5-8，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.圖7-5-8 (1)求證：BF⊥平面ACFD； (2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值． [解](1)證明：延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖所示. 1分 因為平面BCFE⊥平面ABC， 且AC⊥BC， 所以AC⊥平面BCK， 3分 因此，BF⊥AC． 又因為EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BF⊥CK. 所以BF⊥平面ACFD． 5分 (2)因為BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直線BD與平面ACFD所成的角. 8分 在Rt△BFD中，BF＝eq\r(3)，DF＝eq\f(3,2)，得cos∠BDF＝eq\f(\r(21),7)，所以直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為eq\f(\r(21),7). 12分 [規(guī)律方法]1.利用綜合法求空間角的步驟： (1)找：根據圖形找出相關的線面角或二面角． (2)證：證明找出的角即為所求的角． (3)算：根據題目中的數據，通過解三角形求出所求角． 2．線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉化到一個三角形中求解．[變式訓練3]如圖7-5-9，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．圖7-5-9 (1)求PB和平面PAD所成的角的大?。?(2)證明：AE⊥平面PCD． [解](1)在四棱錐P-ABCD中， 因為PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD， 故PA⊥AB．又AB⊥A