寒假作業(yè)14最值問題之將軍飲馬模型（19道經(jīng)典題型3道中考真題）-2024年八年級數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)14最值問題將軍飲馬模型將軍飲馬模型在各類考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，在各類考試中都以中高檔題為主.解決幾何最值問題的主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等.本節(jié)就將軍飲馬模型（兩定一動求和（差）模型、兩動一定求和模型、兩動兩定求和模型）進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，方便同學(xué)們熟練掌握.1．如圖，直線表示一條河，，表示兩個(gè)村莊，向兩個(gè)村莊供水，現(xiàn)有如圖所示的四種鋪設(shè)管道的方案，則所需管道最短的方案是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖，畫出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，此時(shí)，最小，故選．2．如圖，小明從處出發(fā)沿街道行走，先到處與小紅會合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（

）條．A．18 B．16 C．12 D．9【答案】A【解析】如圖所示，從到的最短路徑有（兩長兩短）：，共計(jì)6條；從到的最短路徑有（兩長一短）：，共計(jì)3條.小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為18，故選A．3．如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】∵ED是AC的垂直平分線，∴PC+PB=PA+PB，∵P運(yùn)動的過程中，P與E重合時(shí)有最小值，∴PB+PC的最小值=AB=5．故選A.4．如圖，點(diǎn)D是∠FAB內(nèi)的定點(diǎn)且AD=2，若點(diǎn)C，E分別是射線AF，AB上異于點(diǎn)A的動點(diǎn)，且周長的最小值是2，則∠FAB的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解析】如圖，作D點(diǎn)分別關(guān)于AF，AB的對稱點(diǎn)G，H，連接GH分別交AF、AB于C′、E′，連接DC′，DE′，此時(shí)的周長最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，∴AG=AH=GH=2，∴△AGH是等邊三角形，∴∠GAH=60°，∴∠FAB=∠GAH=30°，故選A．5．如圖，點(diǎn)A在y軸上，G，B兩點(diǎn)在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對稱，∠GAH＝60°，P，Q分別是AG，AH上的動點(diǎn)，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】如圖，分別作B，C關(guān)于AG和AH對稱的點(diǎn)，，連接BP，CQ，、，PQ，∵HC與GB關(guān)于y軸對稱，∴GO=HO,BO=CO,∵x軸⊥y軸，∴AG=AH，，關(guān)于y軸對稱，∴當(dāng)，，P，Q在同一條直線上時(shí)，最小，此時(shí)軸，∵∠GAH＝60°，∴△AGH為等邊三角形，∴∠AGO=60°，∵軸，B，關(guān)于AG對稱，∴,，∴△BPG為等邊三角形，過P作PM⊥GO交x軸于M，∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴，∴，同理可得,即．故選B．6．如圖，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C在直線MN上，∠BCN＝30°，點(diǎn)P為MN上一動點(diǎn)，連接AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，∠CBP的度數(shù)為_____．【答案】15°【解析】如圖，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，此時(shí)AP+BP最小，為AD.∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于MN對稱，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于MN對稱，且△BCD是等邊三角形，∴由等邊三角形的軸對稱性質(zhì)可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案為15°．7．如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，則的最小值為_________．【答案】6【解析】如圖，連接BE，與AD交于點(diǎn)M．∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴B、C關(guān)于AD對稱，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，AD是中線，∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．8．如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使周長最小，則的度數(shù)為_________．【答案】160°【解析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)，連接，交BC于M，交CD于N，，∴即為周長最小值，，，，，.故答案為：160°．9．如圖，在等邊中，E是邊的中點(diǎn)，P是的中線上的動點(diǎn)，且，則的最大值是________．【答案】3【解析】如圖，連接PC，∵在等邊中，，P是的中線上的動點(diǎn)，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CPPE，∵在中，CPPE＜CE，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CPPE=CE，∵E是邊的中點(diǎn)，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．10．如圖所示，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，求周長的最小值．【解析】如圖，作P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)，連接、、，分別交OA、OB于M、N，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，，此時(shí)周長最小，為，且，，，，為等邊三角形，，即周長的最小值為8.11．如圖，等邊三角形的邊長為5，A、B、三點(diǎn)在一條直線上，且．若D為線段上一動點(diǎn)，則的最小值是________．【答案】10【解析】如圖，連接CA1交BC1于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作直線l⊥AB，∵△ABC是等邊三角形，，∴是等邊三角形，AB=A1B=5，∵A，B，三點(diǎn)在一條直線上，∴△ABC與△A1BC1關(guān)于直線l對稱，∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，∴∠CBC1＝60°，∴∠C1BA1＝∠C1BC，∵BA1＝BC，∴BE⊥CA1，CE＝EA1，∴C，A1關(guān)于直線BC1對稱，∴當(dāng)點(diǎn)D與B重合時(shí)，AD+CD的值最小，最小值為線段AA1的長，為10，故答案為：10．12．如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動點(diǎn)，記，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的大小=_______（度）．【答案】50【解析】作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)，連接，交OB于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，連接MP，QN，如圖所示．根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知此時(shí)最小，即，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．故答案為：50．13．如圖，，為上一動點(diǎn)，，過A作交直線于，過作交直線于點(diǎn)，若，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，則________．【答案】123°【解析】如圖，當(dāng)DM與DP重合，AN與AB重合時(shí)，ANDM的值最大，此時(shí)ANDM=AB，∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°114°=66°，∴∠MCD=90°66°=24°，又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°114°）÷2=33°，∴∠ACE=180°∠ACB∠DCM=180°33°24°=123°，故答案為：123°．14．為貫徹國家城鄉(xiāng)建設(shè)一體化和要致富先修路的理念，某市決定修建道路和一座橋，方便張莊A和李莊B的群眾出行到河岸a．張莊A和李莊B位于一條河流的同一側(cè)，河的兩岸是平行的直線，經(jīng)測量，張莊A和李莊B到河岸b的距離分別為、，且，如圖所示．現(xiàn)要求：建造的橋長要最短，然后考慮兩村莊到河流另一側(cè)橋頭的路程之和最短，則這座橋建造的位置是．（河岸邊上的點(diǎn)到河對岸的距離都相等）【解析】如圖，作B點(diǎn)關(guān)于直線b的對稱點(diǎn)B'，連接AB'交b于點(diǎn)P，∴BP＝B'P，∴AP＋BP＝AP＋B'P=AB'，此時(shí)P點(diǎn)到A與B的距離和最短，過B'作B'M∥CD，延長AC與B'M交于點(diǎn)M，∴B'M＝CD，∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p＋q）m，∴AM＝（p＋q）m，∴∠CAP＝45°，∴AC＝CP，∴P點(diǎn)與C點(diǎn)的距離是p（m），∴這座橋建造的位置是：到AC的距離為p（m）處，故答案為：到AC的距離為p（m）處．15．如圖，等邊（三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都是的三角形）的邊長為，動點(diǎn)和動點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別以每秒的速度由A向和由向A運(yùn)動，其中一個(gè)動點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，，和交于點(diǎn)．（1）在運(yùn)動過程中，與始終相等嗎？請說明理由；（2）連接，求為何值時(shí)，；（3）若于點(diǎn)，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且使最短．當(dāng)時(shí)，的最小值為多少？請直接寫出這個(gè)最小值，無需說明理由．【解析】（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE=CD，∴CD與BE始終相等.（2）如圖1，∵DE∥BC，∴AD=AE，∵AB=AC=10，∴t=10t，∴t=5.圖1圖2（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，作D點(diǎn)關(guān)于BM的對稱點(diǎn)D'，位于BC上，連接D'E，交BM于點(diǎn)P，如圖2，∵DP=D'P，∴的最小值為DP+PE=D'P+PE=D'E，∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，CD′=7，又∠C=60°，∴△CD′E為等邊三角形，∴D'E=CD′=7，∴PD+PE的最小值為7．16．如圖，在中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P，Q分別為CE，CD上的動點(diǎn)．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【解析】（1）在中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，是等邊三角形.（2）如圖，連接，和都是等邊三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，故的最小值為4．17．小茗同學(xué)在公園的花圃里發(fā)現(xiàn)一只小螞蟻在搬食物，因?yàn)槭澄锉人螅运岬煤苄量啵撬环艞?，一直慢慢往回爬．一會它咬住食物使勁往后拖，一會又咬住食物來回轉(zhuǎn)圈，小茗同學(xué)急的想幫它．于是他連續(xù)幾天都在觀察，發(fā)現(xiàn)這個(gè)花圃的形狀，如圖，是一個(gè)銳角三角形，且∠ACB=50°，邊AB上一定點(diǎn)P是小螞蟻的家，小螞蟻從家出發(fā)，它沿直線尋找食物，線路是從P出發(fā)走到AC，再從AC走到BC，最后回到家．假設(shè)M、N分別是AC和BC邊上的動點(diǎn)，小茗同學(xué)想幫小螞蟻尋找最短的行走路線，所以他求出當(dāng)小螞蟻行走路線所構(gòu)成的PMN周長最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)為．【答案】80°【解析】作點(diǎn)P關(guān)于AC，BC的對稱點(diǎn)D，G，連接PD，PG分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DG交AC于M，交BC于N，連接PM，PN，如圖，PD⊥AC，PG⊥BC，則∠PEC=∠PFC=90°.由PM=DM，PN=NG，可得的周長最小為DG.∵∠C+∠EPF+∠PEC+∠PFC=360°，∴∠C+∠EPF=180°，∵∠C=50°，∴∠EPF=130°，又∵∠D+∠G+∠EPF=180°，∴∠D+∠G=180°－∠EPF=180°－130°=50°.由對稱可知∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，∴∠GPN+∠DPM=50°，∴∠MPN=∠EPF－（∠GPN+∠DPM）=130°50°=80°，故答案為：80°.18．（1）唐朝詩人李顧的詩古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：如圖所示，詩中大意是將軍從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，帶著馬走到河邊點(diǎn)飲水后，再回到點(diǎn)宿營，請問將軍怎樣走才能使總路程最短？請你通過畫圖，在圖中找出點(diǎn)，使的值最小，不說明理由；（2）實(shí)踐應(yīng)用，如圖，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，請?jiān)谏渚€、上分別找到兩點(diǎn)A、，使的周長最小，不說明理由；（3）實(shí)踐應(yīng)用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動點(diǎn)，求的最小值．【解析】（1）如圖1，作點(diǎn)關(guān)于直線小河的對稱點(diǎn)，連接，交于，則最小.理由：根據(jù)作法得：，∴，∴當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，最小.（2）如圖，分別作點(diǎn)關(guān)于，的對稱點(diǎn)和，連接，交于A，交于，連接，，則的周長最小.理由：根據(jù)作法得，，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，的周長最小.（3）如圖，過點(diǎn)C作，交于，交于，連接ME，，平分，，在和中，，≌，，，∵，OM=OM，∴△COM≌△EOM，，，∴當(dāng)點(diǎn)N，M，E共線時(shí)，CM+MN最小，最小值為EN，且當(dāng)EN⊥AC時(shí)，NE最小，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，∵，，，，∴，即，解得，∵，，∴的最小值為．19．探究（一），如圖①，為了支持山莊經(jīng)濟(jì)開發(fā)，政府派出免費(fèi)車為山莊A和山莊B向山外運(yùn)農(nóng)產(chǎn)品，免費(fèi)車只能在公路l上行駛，你認(rèn)為停在哪里，到兩村莊的距離相等？請通過尺規(guī)作圖表達(dá)你的觀點(diǎn)．探究（二），如圖②，為了支持山莊經(jīng)濟(jì)開發(fā)，政府派出免費(fèi)車為山莊A和山莊B向山外運(yùn)農(nóng)產(chǎn)品，免費(fèi)車只能在公路l上行駛，你認(rèn)為停在哪里，到兩村莊的距離和最短？請借助刻度尺、直角三角板或圓規(guī)等，通過畫圖表達(dá)你的觀點(diǎn)，也可以文字?jǐn)⑹瞿愕淖龇ǎ骄浚ㄈ?，如圖③，為了支持山莊經(jīng)濟(jì)開發(fā)，政府派出免費(fèi)車為山莊A和山莊B向山外運(yùn)農(nóng)產(chǎn)品，免費(fèi)車只能在公路l上行駛，你認(rèn)為停在哪里，最大？請借助刻度尺、直角三角板或圓規(guī)等，通過畫圖表達(dá)你的觀點(diǎn)，也可以文字?jǐn)⑹瞿愕淖龇ǎ卣箲?yīng)用：如圖④，中，，，，E是的中點(diǎn)，P是邊上的一動點(diǎn)，則的最小值為___________.【解析】探究（一）：如圖所示，線段的垂直平分線與直線l的交點(diǎn)P即為所求.

探究（二）：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，連接交直線l于Q，點(diǎn)Q即為所求.探索（三）：如圖所示，延長交直線l于P，點(diǎn)P即為所求.在直線l上任取不與點(diǎn)P重合的點(diǎn)，∵，∴，又∵，∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)，，∴直線l上任意一點(diǎn)一定滿足，∴點(diǎn)P即為所求.拓展應(yīng)用：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)F，連接交于G，連接，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，即最小，此時(shí)最小值為，點(diǎn)P與點(diǎn)G重合，∵中，，，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，，∴，又∵，∴，∴，∴的最小值為6，