16利用三角函數(shù)測高（分層練習(xí)）

第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.6利用三角函數(shù)測高精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的點(diǎn)C處安裝水平遮陽板CD=1米，當(dāng)太陽光線與水平線成α=60°角時(shí)，光線剛好不能直接射人室內(nèi)，則m的值是（

）A．m=+0.8 B．m=+0.2 C．m=0.2 D．m=0.8【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)求出BC的長度，BCAC即可得出m的值．【詳解】CD=1米，CDB=a=60°，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練應(yīng)用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度，在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為，在點(diǎn)B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函數(shù)值即可求解．【詳解】設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴，即：，解得，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)，根據(jù)直角三角形的邊的關(guān)系，建立三角函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．3．（2022·吉林·長春經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)洋浦學(xué)校九年級期中）如圖是凈月潭國家森林公園一段索道的示意圖．已知A、B兩點(diǎn)之間的距離為35米，，則纜車從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，上升的高度（BC的長）為（

）A．35sin米 B．米 C．35cos米 D．米【答案】A【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜邊AB，求∠BAC的對邊，選擇∠BAC的正弦，列出等式即可表示出來．【詳解】在Rt△ABC中，,即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，根據(jù)解三角函數(shù)的定義，列出方程是解題關(guān)鍵．4．（2022·浙江金華·中考真題）一配電房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對稱圖形，已知，，則房頂A離地面的高度為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)軸對稱圖形得性質(zhì)即可得BD=CD，從而利用銳角三角函數(shù)正切值即可求得答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，如圖所示：∵它是一個(gè)軸對稱圖形，∴m，，即，房頂A離地面的高度為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握利用正切值及一條直角邊求另一條直角邊是解題的關(guān)鍵．5．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)、點(diǎn)是同一幢樓上的兩個(gè)不同位置，從點(diǎn)觀測標(biāo)志物的俯角是65°，從點(diǎn)觀測標(biāo)志物的俯角是35°，則的度數(shù)為（

）A．25° B．30° C．35° D．65°【答案】B【分析】如圖，標(biāo)注字母，由題意得：證明再利用從而可得答案．【詳解】解：如圖，標(biāo)注字母，由題意得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6．（2021·上海·九年級專題練習(xí)）為擴(kuò)大網(wǎng)絡(luò)信號的輻射范圍，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的網(wǎng)絡(luò)信號發(fā)射塔．如圖，在高為12米的建筑物DE的頂部測得信號發(fā)射塔AB頂端的仰角∠FEA＝56°，建筑物DE的底部D到山腳底部C的距離DC＝16米，小山坡面BC的坡度（或坡比）i＝1：0.75，坡長BC＝40米（建筑物DE、小山坡BC和網(wǎng)絡(luò)信號發(fā)射塔AB的剖面圖在同一平面內(nèi)，信號發(fā)射塔AB與水平線DC垂直），則信號發(fā)射塔AB的高約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）A．71.4米 B．59.2米 C．48.2米 D．39.2米【答案】D【分析】延長EF交AB于點(diǎn)H，DC⊥AB于點(diǎn)G，可得四邊形EDGH是矩形，根據(jù)小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即，求得BG＝32，CG＝24，再根據(jù)三角函數(shù)即可求出信號發(fā)射塔AB的高．【詳解】解：如圖，延長EF交AB于點(diǎn)H，DC⊥AB于點(diǎn)G，∵ED⊥DG，∴四邊形EDGH是矩形，∴GH＝ED＝12，∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即，設(shè)BG＝4x，CG＝3x，則BC＝5x，∵BC＝40，∴5x＝40，解得x＝8，∴BG＝32，CG＝24，∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，∴AH＝EH?tan56°≈40×1.48≈59.2，∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．答：信號發(fā)射塔AB的高約為39.2米．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2021·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，航模小組用無人機(jī)來測量建筑物BC的高度，無人機(jī)從A處測得建筑物頂部B的仰角為45°，測得底部C的俯角為60°，若此時(shí)無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為30m，則該建筑物的高度BC為_____m．（結(jié)果保留根號）【答案】（30+30）．【分析】在Rt△ABD中，根據(jù)正切函數(shù)求得BD=AD?tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD?tan∠CAD，再根據(jù)BC=BD+CD，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝30（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD?tan60°＝30×＝30（m），∴BC＝BD+CD＝30+30（m）答：該建筑物的高度BC約為（30+30）米．故答案為：（30+30）．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題．注意能借助仰角或俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2021·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，小亮為了測量校園里教學(xué)樓AB的高度，將測角儀CD豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為18m的地面上，若測角儀的高度為I.5m，測得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30°，則教學(xué)樓的高度是____．【答案】19.5m．【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)tan∠ADE＝求出AE，故可求解．【詳解】解：作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，∴AE＝DE?tan∠ADE＝18×＝18，∴AB＝AE+EB＝18+1.5＝19.5（m），故答案為：19.5m．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是熟知正切的定義．9．（2021·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，小麗的房間內(nèi)有一張長高的床靠墻擺放，在上方安裝空調(diào)，空調(diào)下沿與墻垂直，出風(fēng)口離墻，空調(diào)開啟后，擋風(fēng)板與夾角成，風(fēng)沿方向吹出，為了讓空調(diào)風(fēng)不直接吹到床上，空調(diào)安裝的高度(的長)至少為__________(精確到個(gè)位)(參考數(shù)據(jù)：)【答案】【分析】連接AF,作FH⊥AD構(gòu)造直角三角形運(yùn)用三角函數(shù)解出FH,再將床高加上即可求出EC的值．【詳解】當(dāng)A、F在一條直線時(shí),就正好不會(huì)吹到床上,連接AF,過點(diǎn)F作FH⊥AD,∵AD=200,HD=20,∴AH=180,∵∠EFA=136°,∴∠FAD=46°,∴FH=．∴ED=FH=187.2,∴EC=187.2+50=237.2≈237．故答案為237．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用,關(guān)鍵在于理解題意,作出合理的輔助線結(jié)合三角函數(shù)的知識．10．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，一輛小車沿著坡度為的斜坡從點(diǎn)A向上行駛了50米到點(diǎn)B處，則此時(shí)該小車離水平面的垂直高度為_____________.【答案】25【分析】設(shè)出垂直高度，表示出水平距離，利用勾股定理求解即可．【詳解】設(shè)此時(shí)該小車離水平面的垂直高度為x米，則水平前進(jìn)了x米．根據(jù)勾股定理可得：x2＋（x）2＝502．解得x＝25．即此時(shí)該小車離水平面的垂直高度為25米．故答案為：25.【點(diǎn)睛】考查了解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問題，此題的關(guān)鍵是熟悉且會(huì)靈活應(yīng)用公式：tan（坡度）＝垂直高度÷水平寬度，綜合利用了勾股定理．三、解答題11．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）某學(xué)校九年級的學(xué)生去參加社會(huì)實(shí)踐，在風(fēng)景區(qū)看到一棵古松，不知這棵古松有多高，下面是他們的一段對話：甲：我站在此處看樹頂仰角為45°.乙：我站在此處看樹頂仰角為30°.甲：我們的身高都是1.5m．乙：我們倆相距20m．請你根據(jù)兩位同學(xué)的對話，計(jì)算這棵古松DE的高度．（結(jié)果保留根號）．【答案】（m）【分析】先在Rt△DBC中，∠DBC=45°，可得，再在Rt△ADC中，∠DAC=30°，可得，即有，再根據(jù)，即可求解．【詳解】根據(jù)題意有：∠DCA=90°，∠DAC=30°，∠DBC=45°，AB=20m，CE=1.5m，∵在Rt△DBC中，∠DBC=45°，∴，∵在Rt△ADC中，∠DAC=30°，∴，∴，∵AB=20，∴，∴，∵CE=1.5m，∴（m），即古松的高度DE為m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角的含義是解答本題的基礎(chǔ)．12．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，甲?乙兩樓相距，甲樓高，自甲樓樓頂看乙樓樓頂，仰角為，乙樓有多高？（結(jié)果精確到）【答案】【分析】先根據(jù)題意作出示意圖，然后在RT△ACE中，可得出CE的長度，繼而可得出乙樓的高度．【詳解】解：由題意得：∠CAE＝30°，AE＝BD＝30m，在Rt△ACE中，CE＝AE?tan∠CAE＝10m，故可得乙樓的高度＝CE＋ED＝CE＋AB＝（40＋10）m≈．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，求出CE的長度，難度一般．提升篇提升篇一、填空題1．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，為了測量某風(fēng)景區(qū)內(nèi)一座古塔CD的高度，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)分別在古塔對面的高樓AB的底部B和頂部A處分別測得古塔項(xiàng)部C的仰角分別為45°和30°，已知高樓AB的高為24m，則古塔CD的高度為是______m（，，結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】56.8【分析】在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠30°=AH=BD，在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠45°=BD，根據(jù)DH=CDCH=BDBD，可得BDBD=24，即可求出BD，則問題得解．【詳解】如圖，根據(jù)題意可知四邊形ABDH是矩形，AB=DH=24m，AH=BD，∠AHC=∠BDC=90°，在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠CAH=AH×tan∠30°=AH=BD，在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠CBD=BD×tan∠45°=BD，∵DH=CDCH=BDBD，∴BDBD=24，∴BD=，∴CD=（m），故答案為：56.8．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解仰角的含義．2．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，從地面上的點(diǎn)看一山坡上的電線桿，測得桿頂端點(diǎn)的仰角是，向前走到達(dá)點(diǎn)，測得桿頂端點(diǎn)和桿底端點(diǎn)的仰角分別是和．則該電線桿的高度是__________（結(jié)果可保留根號）．【答案】【分析】延長交直線于點(diǎn)，設(shè)米，在和中，根據(jù)三角函數(shù)利用表示出和，根據(jù)即可列出方程求得的值，再在中，利用三角函數(shù)求得的長，則的長度即可求解．【詳解】延長交直線于點(diǎn)，設(shè)米，在中，∵，∴米，在中，∵，米，∴米．∵米，∴，∴米，∴米．在中，∵，，∴米，∴米．【點(diǎn)睛】本題考查了仰角的定義，以及三角函數(shù)，正確求得的長度是解本題的關(guān)鍵．3．（2021·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，航拍無人機(jī)從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為45°，測得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為100m，那么該建筑物的高度BC約為__m．【答案】【分析】在Rt△ABD中，根據(jù)正切函數(shù)求得BD=AD?tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD?tan∠CAD，再根據(jù)BC=BD+CD，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，∵在Rt△ABD中，AD=90，∠BAD=45°，∴BD=AD=100（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD?tan60°=100×,∴BC=BD+CD=；故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題．此題難度適中，注意能借助仰角或俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．4．（2021·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）某無人機(jī)興趣小組在操場上開展活動(dòng)（如圖），此時(shí)無人機(jī)在離地面30米的D處，無人機(jī)測得操控者A的俯角為37°，測得點(diǎn)C處的俯角為45°．又經(jīng)過人工測得操控者A和教學(xué)樓BC距離為57米，則教學(xué)樓BC的高度為______米．（注：點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面上．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】13【分析】作DE⊥AB于點(diǎn)E，作CF⊥DE于點(diǎn)F，由tan37°=≈0.75求得AE=40，由AB=57知BE=17，再根據(jù)四邊形BCFE是矩形知CF=BE=17．由∠CDF=∠DCF=45°知DF=CF=17，從而得BC=EF=3017=13．【詳解】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F．由題意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴tan37°=≈0.75．∴AE=40，∵AB=57，∴BE=17∵四邊形BCFE是矩形，∴CF=BE=17．在Rt△DCF中，∠DFC=90°，∴∠CDF=∠DCF=45°．∴DF=CF=17，∴BC=EF=3017=13．故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及銳角三角函數(shù)關(guān)系求解是解題關(guān)鍵．5．（2021·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，某測量小組為了測量山BC的高度，在地面A處測得山頂B的仰角45°，然后沿著坡度為1：的坡面AD走了200米達(dá)到D處，此時(shí)在D處測得山頂B的仰角為60°，則山高BC＝___米（結(jié)果保留根號）．【答案】．【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分別求出BE、EC即可解決問題．【詳解】解：作DF⊥AC于F．∵DF：AF＝1：，AD＝200米，∴tan∠DAF＝，∴∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝×200＝100（米），∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四邊形DECF是矩形，∴EC＝DF＝100（米），∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°，∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝200（米），在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，∴BE＝BD?sin∠BDE＝200×＝100（米），∴BC＝BE+EC＝100+100（米）；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，坡度坡角問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．二、解答題6．如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）．【答案】攔截點(diǎn)D處到公路的距離是（500+500）米．【分析】過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)F，則∠E＝∠F＝90，攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA＝BE+CF．解Rt△BCE，求出BE＝BC＝×1000＝500米；解，求出CF＝CD＝500米，則DA＝BE+CF＝（500+500）米．【詳解】解：如圖，過B作AB的垂線，兩線交于點(diǎn)E，過D作AB的平行線，則∠E＝∠F＝90．∵在中，∠E＝90，∴∠BCE＝30，∴BE＝BC＝500；∵在中，∠F＝90，∠DCF=45，CD＝BC＝1000米，∴CF＝CD＝500米，∴DA＝BE+CF＝（500+500）米，故攔截點(diǎn)D處到公路的距離是（500+500）米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，銳角三角函數(shù)的定義，正確理解方向角的定義，進(jìn)而作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2022·吉林·長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，－樓房AB后有一－假山CD，CD的坡度為，測得B與C的距離為24米，山坡坡面上E點(diǎn)處有一休息亭，與山腳C的距離米，小麗從樓房房頂A處測得E的俯角為45°．(1)求點(diǎn)E到水平地面的距離；(2)求樓房AB的高．【答案】(1)8米(2)48米【分析】（1）過點(diǎn)E作EF⊥BC的延長線于F，根據(jù)CD的坡度為i=1：2得CF=2EF，再由勾股定理可得：EF∶CF∶CE＝1∶2∶，可得EF=8米，CF