2021年滬教版必修二數(shù)學期末復習-第9章 復數(shù)章節(jié)壓軸題解題思路分析

章節(jié)壓軸題解題思路分析

名師點睛

模塊一：復數(shù)及其四則運算

1.（2021?全國高二單元測試）（2）i為虛數(shù)單位，1+111

A.0B.2iC.-2iD.4i

【答案】A

【詳解】此題考查復數(shù)的運算

111

?+了+;7

答案A

點評：注意/=」

2.（2020?全國高三其他模擬）已知復數(shù)z滿足z（l+/）=i202',則復數(shù)z的共粗復數(shù)4=（）

A.L

B.iC.-iD-

22

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方運算和復數(shù)的除法運算求得z=?+1i,再由共扼復數(shù)的概念可得

22

選項.

.八505..,IZ(l-Z)1+Z11.

【詳解】解：因為I2021?4x505+1i4)xz=z,所以z=-----------------=----=—I—i

>1+Z(1+z)(l-0222

22

故選：D

【點睛】結論點睛：求解復數(shù)的運算問題時要牢記復數(shù)的相關運算技巧和結論：（l+i）221,

24n4fl+,?4/1+21?4/1+3

(1-/)=-2Z,(1+D-(1-D=2,i=1,z=1=—1=-i(〃￡N).

3.（2018?全國高二課時練習）在復數(shù)范圍內(nèi)解方程|z『+（z+5）i=—=（i為虛數(shù)單位）.

2+1

【答案】z=-《土立i

22

試題分析：設z=x+yi（x,yeR）,代入|z5+（z+2）i=3二，利用復數(shù)的四則運算，再山

2+1

復數(shù)相等的條件列式，即可求得x，y的值.

試題解析：

原方程化簡為|z『+(z+Z)i=l-i,

設2=*+丫i心、yGR),代入上述方程得xV+2xi=l-i,

...x'+y2=l目.2x=T,解得x=-,且y=±",

22

???原方程的解是z=-]±@i.

22

點睛：本題考查共軌復數(shù)及復數(shù)的模的概念和復數(shù)相等的概念，以及復數(shù)的四則運算能力，

對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如(a+初)(c+力)^(ac-hd)+

(ad+bc)i,(a,b,c,deR),其次要熟悉復數(shù)相關基本概念,如復數(shù)a+初(a,beR)的實部為

a、虛部為b、模為，/+收、對應點為(°,6)、共輒為a—初等知識點.

4.(2021?全國高二單元測試)已知虛數(shù)z滿足|2z+l-i|=|z+2—2,[.

(1)求忖的值；

(2)若加z+^eR,求實數(shù)，"的值.

Z

【答案】(1)應；(2)m=；.

【分析】⑴設虛數(shù)2=。+萬，。、bsR,由題意列方程求出/+/的值，即可得出忖；

(2)由mz+^eR,列方程求出實數(shù)機的值.

Z

【詳解】(1)設虛數(shù)z=a+4(。、人￡/?且力NO),

代入|2z+l-i|=|z+2-2?[得伙+1+(?-1川=|(a+2)+伍-2川，

(2a++(給-=g+2)2+(〃_，

即4片+4從+4a—4匕+2=/+力2+4。―48+8，可得/+/=2，因此，|z|=A/2：

(2)由(1)知，z=a+bi其中。、bGR,且6WO,a2+b2=2

又知77tz+—GR.

z

1/,.X1/7?、a-bi(a-hi

mz+—=mla+bi)-1------=m\a+bi]-\--------------=m\a+bi)-\------

z'7a+bii)(a+bi)(a-bi)(72

a

tna+—+，*L

2

v/7zz+—eR,mh--h=O,解得m=工.

z22

【點睛】關鍵點點睛：復數(shù)分類的關鍵：

(1)利用復數(shù)的代數(shù)形式，對復數(shù)進行分類，關鍵是根據(jù)分類標準列出實部、虛部應滿足的

關系式，求解參數(shù)時，注意考慮問題要全面，當條件不滿足代數(shù)形式2=。+沅(a/eR)時應

先轉化形式；

(2)注意分清復數(shù)分類中的條件：設復數(shù)z=a+4(a,0eR),則：

①z為實數(shù)o/?=0；②z為虛數(shù)o/?wO；③z為純虛數(shù)=。=0,Z?#0；④

z=O=a=/?=O.

模塊二：復數(shù)的幾何意義

一、單選題

1.(2019?全國高二專題練習(文))已知0<a<2,復數(shù)z的實部為a,虛部為1,則目的

取值范圍是

A.(1,5)B.(1,3)C.(1,75)D.(1,6)

【答案】C

【詳解】本題考查復數(shù)的基本概念及復數(shù)模的求法，同時考查利用函數(shù)思想求范圍.

由于0<a<2,故1</+1<5,\z\=>Ja2+1e(l,\/5j.

/■,

2.(2020?全國高三月考)已知復數(shù)z滿足z=」-+l,則同=()

1+/''

A.3B.V13C.4D.5

【答案】D

【分析】利用復數(shù)的四則運算法則，化簡得到復數(shù)z=4+3i,進而求得復數(shù)的模.

【詳解】因為2=回+1=&(1-')+1=4+3，,

1+z2

所以|z|=5.

故選:D.

【點睛】關鍵點點睛：該題考查的是有關復數(shù)的問題，解題的關鍵是熟練掌握復數(shù)的運算法

則，以及復數(shù)模的公式.

3.(2021?湖南長沙市?雅禮中學高一月考)復數(shù)ZI=l+icos6,z?=sin6-i,則歸-z21

的最大值為—

【答案】V2+1

【分析】利用復數(shù)的加減運算法則計算計算Z「Z2,然后計算歸-Z2I并利用三角函數(shù)的性質

分析其最值.

【詳解】因為馬=1+icos。，z2=sin^-i,

所以Zj-z2=(l-sin^)+(cos^-l)z,

故|z|-Z2I=J(l-sin61)2+(cos/-if=j3-2sin"2cos6=j3-2&sin(e+?),

所以當sin(e+?)=—l時，|z「Z2|有最大值，且最大值為弓-Zzk、=J3+20=&+l.

故答案為：V2+1.

【點睛】本題考查復數(shù)的模長計算，解答本題的關鍵在于先要表示出R-Zzl的表達式，然后

通過輔助角公式將|z「Z2|化簡，結合三角函數(shù)的性質求解最值.

4.(2021?全國高三專題練習)復數(shù)z=2l=______；其所確定的點Z位于復平面的第一

1+1

象限.

13

【答案】---i,四

22

【分析】利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共甄復數(shù)，化簡復數(shù)Z=4二，

1+/

從而可得結果.

【詳解】復數(shù)Z=-

1+Z

_(2-0(1-0

~(1+0(1-0

-l-3zZZ—1—■3■I.

222

復數(shù)z對應的坐標為復數(shù)位于第四象限.

故答案為丁1力3；四.

22

【點睛】復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算.要注意對實部、虛

部的理解，掌握純虛數(shù)、共輸復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母

實數(shù)化轉化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造

成不必要的失分.

5.(2021?浙江高三其他模擬)已知復數(shù)z滿足(z+i)(l+，)=2-i,其中i為虛數(shù)單位，則

忖=_

【答案】叵

222

【分析】由(z+i)(l+i)=2—i可得：z=2二-i,之后利用復數(shù)運算法則對其進行化簡，求

l+i

得z=進而求得其模.

22

由題意得“/=包羅一不3.15.

【詳解】—I---------1

222

所以目=

故答案為：①:-斗；②』工.

222

【點睛】關鍵點點睛：該題考查的是有關復數(shù)的運算，正確解題的關鍵是靈活運用復數(shù)四則

運算法則.

模塊三：實系數(shù)一元二次方程

1.(2021?全國高三專題練習)已知關于x的實系數(shù)方程/一2狽+/一4。+4=0兩個虛根

為無1，X2,且國+岡=3,則4=()

1717

A.—B.—C.彳或；D.不存在

2222

【答案】A

【分析】關于x的實系數(shù)方程V一2ax+/—4。+4=0兩個虛根為司，/，所以/<0,可

得a<l,

利用根與系數(shù)的關系可得4+W=2。,“|,工2="—4a+4=(a—2)一>(),設

X+Xf-2/7?=2a

'：22_24,根據(jù)㈤+|々|=3,可

{%*X?—in+〃—Cl—4。+4

得加92+〃.2=9可求得答案

4

【詳解】關于X的實系數(shù)方程2批+4一4〃+4=()兩個虛根為為，尢2,

△=4片-4,2_4Q+4)=16(Q-1)v(),所以Q<1

22

xx+x2=2a,x]-x2=tz-4tz+4=(?-2)>0

設％=m+ni,x2=m-ni(m,nsR)

x+x=2m=2a

所以}2

22

x}-x2=m+n=o2-4。+4

|%1|十|司=3,即%|+閆=2，疝+〃2=3,即>+〃2=(

o17

由凡?尤2=〃/+/=—4〃+4即/一4〃+4=(〃-29)=：，解得m=5或相=5.

又%+%=2機=2。，。<1,則〃z<1,所以〃?=’

2

所以

2

故選：A

【點睛】本題考查了實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理、判別式、根與系數(shù)的關系、復數(shù)

的模的計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題.

2.(2020?上海高二課時練習)已知虛數(shù)z滿足Z3=8,則Z3+Z?+2Z+2=().

A.20B.16C.10D.6

【答案】D

【分析】利用立方差公式化簡已知條件，根據(jù)z為虛數(shù)，得到Z2+2Z+4=0，由此求得

z，+z~+2z+2?

【詳解】由于Z3=8,所以z'—23=(z-2)(Z2+2Z+4)=0,所以z—2=0或Z2+2Z+4=0.

由于z為虛數(shù)，所以z—2=0舍去，得Z2+2Z+4=0.

所以Z3+Z2+2Z+2=Z3+(Z2+2Z+4)-2=8+0-2=6.

故選：D

【點睛】本小題主要考查復數(shù)運算，屬于中檔題.

3.(2020?上海高三專題練習)方程z2-5|z|+6=O在復數(shù)集中的解有

A.2個B.4個C.6個D.8個

【答案】C

【分析】設2=。+沅，代入方程，化簡后按。=0或人=0進行分類討論，由此求得方程的解,

進而得出正確選項.

【詳解】^z=a+bi,代入方程得(a+初『一5XV77F+6=0,

化筒得cr—b1—51a2+〃+6+2,血?=0①，

所以。=0或8=0,

當a=0時，由①得一6一5忖+6=0=>/+5同一6=0,

即(網(wǎng)+6乂網(wǎng)-1)=0=>網(wǎng)一1=0=b=±1,

對應的復數(shù)為z=±i

當人=0時，由①得〃-5問+6=0=(|a|-2)(|a|-3)=0,解得a=±2或a=±3,

對應的復數(shù)為z=±2、z=±3.

綜上所述，共有6個解.

故選：C

【點睛】本小題主要考查方程在復數(shù)范圍內(nèi)的解，屬于中檔題.

4.(2020?上海高二課時練習)若復數(shù)范圍內(nèi)將2x2-4x+3分解因式，所得的結果為

川一月］

A.[1+爭1等)B."+字2J

)⑸

C.2〔1+爭x-1----2--1JD.2x+1+iX+1----1

27

【答案】C

【分析】設z=a+A,z=a(a,beR)是方程2/一4x+3=0的兩個復數(shù)根，求得z,I,

進而求得分解因式的結果.

【詳解】方程2/一4x+3=0的判別式A=16—4x2x3=—8<o,所以方程

2

2%-4X+3=0,有兩個互為共葩復數(shù)的復數(shù)根，設2=。+初,z=a-初(a,beR)是方程

_-4

z+z=2a=----f-

2,解得=\,b=±也.所以方程

2/一4x+3=0的兩個復數(shù)根，則，a

z-z=a2+b2=—

2

2X2-4X+3=0的兩個復數(shù)根為1土也i.故復數(shù)范圍內(nèi)將2——4x+3分解因式得

2

r,⑸=2「一1+烏

2X-1----1烏、

I2)I2JI22)

故選：c

【點睛】本小題主要考查復數(shù)運算，屬于中檔題.

5.(2020?上海高三專題練習)方程—+(一2+，)》+1+，=0的根的情況是().

A.有兩個不等實根B.有一對共朝虛根

C.有一個實根，一個虛根D.有兩個不共輒虛根

【答案】D

【分析】設%、Z為方程/+(-2+i)x+l+i=0的兩個根，由韋達定理可排除A、B；若再為

x,2-2x,+1=0

實數(shù)，由復數(shù)相等的條件可得〈?,由該方程無解即可排除C；即可得解.

玉+1=0

【詳解】設王、/為方程/+(-2+，?+1+/=0的兩個根，

則由韋達定理可得XI+工2=2-i,x/2=l+i，

所以占、%不可能為兩個不等實根，也不可能是一對共軌虛根，故排除A、B；

若無1為實數(shù)，則x；+(—2+7居+l+i=M—2百+1+(%+l)i=O,

則可得-2"+1=0,此方程無解，所以原方程無實數(shù)根，故排除C.

玉+1=0

故該方程只有兩個不共軌虛根.

故選：D.

【點睛】本題考查了復數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的根的情況的討論，考查了復數(shù)相等的條件，

關鍵是掌握韋達定理的適用條件，屬于中檔題.

6.(2020?上海高二課時練習)若有兩個數(shù)，它們的和是4,積為5,則這兩個數(shù)是.

［答案】2±i

【分析】設=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d&R),利用z,+z2=4,z,-z2=5列方程組，解方程

組求得題目所求兩個數(shù).

【詳解】設4=。+瓦/2=c+di(a,0,c,deR),依題意有％+z2=4,z/Z2=5,

。+c=4

a+c+(0+d)i=4h+d=0

即ac-bd+(qd+Z?c)z=5'"以.將b=-d代入加+6c=0,得。=c；將。=c

ac-hd=5

ad+bc=()

代入〃+c=4,解得〃=c=2；將a=c=2代入ac-〃d=5,得bd=-1,結合匕=一〃解得

b=lh=—l

或《」，.所以對應的數(shù)為2+i、

'd=-\a-1

故答案為：2±i

【點睛】本小題主要考查復數(shù)運算，屬于中檔題.

7.（2020?上海高二課時練習）已知z為虛數(shù)，且有|z|=5,z2+25為實數(shù)，若z為實系數(shù)

一元二次方程x2+—+c=O的根，則此方程為.

【答案】x2—2x4-25=0

【分析】設2=工+同（犬,）￡1<,且ywO）,根據(jù)已知建立方程關系，求出z,利用韋達

定理得

z+z=-b,z?z=c，即可求出方程.

【詳解】設2=工+”（九,ywR,且ywO）,

則IZ|=yjx2+y2=5,尤2+y2=25,

z2+2z=x2-y2+21+（2xy-2y）iG/?,/.y（x-l）=0,x=l,

y=±2>/6,z=1±2n，所以方程V+法+0=0的根為1土2瓜,

z+z=2=—b,b=—2,z?z=25=c，

所以方程為2X+25=0.

故答案為：x2—2x+25=0.

【點睛】本題考查復數(shù)的運算以及實系數(shù)一元二次方程根的性質，注意根與系數(shù)關系的應用，

考查計算求解能力，屬于中檔題.

8.（2020?上海高二課時練習）若4,Z2是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根，N=a（G+，）F,

z2

且|。區(qū)2.

求：（1）實數(shù)〃的取值范圍：

（2）|（。-4）+也|的最大值.

【答案】（1）（2）V26

【分析】（1）根據(jù)實系數(shù)方程的兩個虛數(shù)根互為共輒復數(shù)得其模相等，利用模的性質可得。

的范圍；

（2）求出|（a-4）+勿|,結合二次函數(shù)性質可得結論.

【詳解】（I）Z1,Z2是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根，，％|=憶|,

,?a（G+》Z||如6+31憶|.......（I

131=-------------------------;~；------=21a|<2,所以|a區(qū)1；

Z2\Z2\

（2）|（a—4）+勿|=J（a—+片=J2（a—2>+8在一1VaW1上單調(diào)遞減，所以當。=一1

時取到最大值盤.

【點睛】本題考查復數(shù)的模的運算，考查模的性質，在復數(shù)乘除法運算中利用模的性質求模

可以更加簡便.上村二團閭，年二年.

9.（2020?上海高二課時練習）設看,々是方程2/+3數(shù)+/-a=O（aeR）的兩根，求

兇+國（用含。的解析式表示）.

y（?>1或。<-8）

“?。?<?<1）

小21廠-"）（-8<a<0）

【分析】根據(jù)判別式討論方程根的情況，若△NO,再對兩實根的符號討論，結合根與系數(shù)關

系，即可得出結論；I若/<0,方程兩根為共挽虛數(shù)，利用模的關系，結合根與系數(shù)關系，即

可求出結論.

【詳解】（1）當方程有實根時，△=9/一8（/-。）=a（a+8）N0,

得。20或?！匆?,若國工2=/一。20，得。之1或〃<（）.

**->P|Q21或a4—8時，X，W同號，［占|+上|=|，i+；

當0Wav1時,3,W異號，

㈤+"|=|否一3|=1(1+々)2-4中2=；8a.

(2)當方程有虛根時，/=a(a+8)<0,得—8<a<0.

/.|^|+|x2|=2|xJ=2,X］耳=2Jxz=不2(/-a).

—(a>1或a<-8)

綜上：歸|+闖=,受包(0<?<1)

小2(&--a)(—8<a<0)

【點睛】本題考查實系數(shù)一元二次方程根的判別式，以及根與系數(shù)關系的應用，考查分類討

論思想和計算求解能力，屬于中檔題.

10.（2020?上海高二課時練習）方程3/-6（m-1?+〃?2+1=0的兩個虛根的模之和為2,

求實數(shù)，"的值.

【答案】夜

【分析】設用，%是方程的兩個根，計算/＜。得到，5＜加＜士黃，計算㈤=1，代

入數(shù)據(jù)計算得到答案.

【詳解】設王，々是方程的兩個根，因為方程有兩個虛根，??./＜（），

即36（加-1）2-4X3（4+1）＜0,化簡得病一3加+1＜0,

解不等式得主妙＜m＜21,

22

'?1力+闖=2，且國=闖，㈤=1，而新［=1，,J"；?=1.

in2—2＞m=+V2＞檢驗取m=V2-

【點睛】本題考查了方程的虛根，意在考查學生的計算能力和應用能力.

11.（2020?上海高二課時練習）已知方程工2+4》+機=0的兩根為a,6且滿足1。-￡1=6,

求實數(shù)加的值.指出下面的解法是否有錯誤，若有請分析錯誤原因，并給出正確的解答；若沒

有，請說明理由.

\a-（3\=6,得|a-6『=36.（a+=產(chǎn)-4s=36.

由方程的根與系數(shù)的關系，得

（-4）2-4m=36.

解方程，得加=—5.

【答案】有錯誤，理由見解析，機=-5或機=13.

【分析】利用舉反例的方法，說明錯誤原因,按照ANO和/＜0進行分類討論，由此求得優(yōu)的

所有可能取值.

【詳解】上面解法有錯誤，原因是當xeC時，z2不一定等于|z『.如z=i,則z2=-l,|z『=l.

正確解法：

（1）當△=16—4m20,即加44時，有a,0wR,此時解答同上面解法；

（2）當/＜0,即加＞4時，方程有共枕虛根，兩根為於土巫三叵=一2土而4晨

2

依題意|a-J3\=\2dm-4i|=6.

解方程，得〃2=13.

綜上所述，機=-5或m=13.

【點睛】本小題主要考查在復數(shù)范圍內(nèi)求一元二次方程的根，屬于中檔題.

12.（2020?上海高二課時練習）方程/+2%+%=0的兩個虛根為Z1,Z2，且

|2Z1|<|Z2+1-2Z|,求實數(shù)加的范圍.

【答案】

a=-l

【分析】設4=。+萬3力€凡。/0）,則22="一瓦.根據(jù)韋達定理可得《，，2,再根

4

據(jù)模長公式化簡不等式可得0<。<§，山〃z=1+后可得答案.

【詳解】設Z]=4+4（。/€火）/0）,則Z2="一。i.

因為方程丁+2》+機=0有虛根，機eR,所以A=2?-4加<0,解得%>1,

z,+z,=-2（2a--2[a--\

根據(jù)韋達定理得《，受2,2,即1,,2，

ZjZ2=m[m=a+Z?\m=\+b

因為RzJvH+l-2i],所以4匕『<匕+1-2",

4

所以4|一1+從『<|-（。+2?/，所以4+4/<3+2）2,所以弘2_48<0，所以（）</?<§,

,16

所以0〈/〈二

??.1＜吁1+入”.

9

25

【點睛】本題考查了實系數(shù)一元二次方程的虛根成對定理，考查了韋達定理以及復數(shù)的模長

公式，屬于基礎題.

13.（2020?上海高二課時練習）已知復數(shù)4,Z2滿足條件,|<2,|Z21<2.是否存在非零

實數(shù)"Z，使得4+22=工和7三=,同時成立？若存在，求出〃7的取值范圍；若不存在，

mm

請說明理由.

31

【答案】存在，“;或根〉二

44

11

【分析】根據(jù)題意得到則4/2是方程f0一—x+—=o的兩個根，討論ANO和』<0兩種情

mm

況，計算得到答案.

【詳解】痣=’，則4Z2=L,Z1+Z2=^?，則馬/2是方程/一J_x+_L=o的兩個根,

mmmmm

當△=」一4i（）即且初WO時，geR,記/（幻=%2__1%+_1,憶|＜2,

mm4mm

/（-2）>0

/⑵>（）

3

㈤<2,解得m<—；

-2<—4

2m

A>0

當△=-L—百＜0即"?＞!時，Z-Z2為一對共施虛根，則閔＜2,則,＜4,

mm4m

即加〉工或加＜0（舍）,

4

311------1

綜上，存在實數(shù)團，當機＜一一或加,一，使得Z]+Z2=一和Z[立2=—同時成立.

44mm

【點睛】本題考查了復數(shù)的運算，復數(shù)的模，共加復數(shù)，意在考查學生的計算能力和應用能

11

力，確定4,Z2是方程X92-—X+—=0的兩個根是解題的關鍵.

mm

模塊四：復數(shù)的三角形式

1-z

1.（2020?上海高三專題練習）當z=/時、zioo+z5o+1=（）

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】D

【分析】根據(jù)Z^+zSO+l的結構特點，先山Z=/，得到z2=（l；）2=T，再代入

Z?X）+z50+l求解.

1—Z

【詳解】因為Z=g

所以z2=IhDl=T,

2

所以Z5°=（T）25=-i,2儂=（T）5°=（—if=T,

所zi°°+z5°+l=T，

故選：D

【點睛】本題主要考查了復數(shù)的基本運算，還考查了周期性的應用，運算求解的能力，屬于

基礎題.

2.（2021?上海市西南位育中學高二期末）復數(shù)z=g+i與它的共物復數(shù)N對應的兩個向

量的夾角為—.

【答案】60°

7

【分析】利用復數(shù)的運算法則計算二，再化成三角形式的復數(shù)，即可得出.

Z

2

_zV3+Z（A/3+Z）2+2囚1月,rno-

【詳解】解：—=—；=——=-3=----7=---=--------=—H----1-cos60+1sin60.

zV3-Z（6-，）（6+。422

?.?復數(shù)z=百+i與它的共輾復數(shù)Z對應的兩個向量的夾角為60°.

故答案為：60°.

3.（