第04講 三角函數(shù)與解三角形（2022-2024高考真題）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第04講三角函數(shù)與解三角形（2022-2024高考真題）（新高考專用）一、單項(xiàng)選擇題1．（2024·全國·高考真題）在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若B=π3，b2=9A．23913 B．3913 C．7【解題思路】利用正弦定理得sinAsinC=13【解答過程】因?yàn)锽=π3,由余弦定理可得:b2即:a2+c所以(sin因?yàn)锳,C為三角形內(nèi)角，則sinA+sinC>0故選：C.2．（2023·北京·高考真題）在△ABC中，(a+c)(sinA?sinC)=b(sinA．π6 B．π3 C．2π【解題思路】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【解答過程】因?yàn)?a+c)(sin所以由正弦定理得(a+c)(a?c)=b(a?b)，即a2則a2+b又0<C<π，所以C=故選：B.3．（2023·全國·高考真題）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若acosB?bcosA=c，且C=πA．π10 B．π5 C．3π10【解題思路】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得∠A的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A的值.【解答過程】由題意結(jié)合正弦定理可得sinA即sinA整理可得sinBcosA=0，由于B∈據(jù)此可得cosA=0,A=則B=π故選：C.4．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐P?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PC=PD=3,∠PCA=45°，則△PBC的面積為（

）A．22 B．32 C．42【解題思路】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得△PDO?△PCO，△PDB?△PCA，從而得到PA=PB，再在△PAC中利用余弦定理求得PA=17，從而求得PB=17，由此在法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA=17，cos∠PCB=13，從而求得PA?PC=?3【解答過程】法一：連結(jié)AC,BD交于O，連結(jié)PO，則O為AC,BD的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，AB=4，所以AC=BD=42，則DO=CO=2又PC=PD=3，PO=OP，所以△PDO?△PCO，則∠PDO=∠PCO，又PC=PD=3，AC=BD=42，所以△PDB?△PCA，則PA=PB在△PAC中，PC=3,AC=42則由余弦定理可得PA故PA=17，則PB=故在△PBC中，PC=3,PB=17所以cos∠PCB=又0<∠PCB<π，所以sin所以△PBC的面積為S=1法二：連結(jié)AC,BD交于O，連結(jié)PO，則O為AC,BD的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，AB=4，所以AC=BD=42在△PAC中，PC=3,∠PCA=45°，則由余弦定理可得PA2=A所以cos∠APC=PA不妨記PB=m,∠BPD=θ，因?yàn)镻O=12即PA2則17+9+2×?3=m又在△PBD中，BD2=PB2兩式相加得2m2?34=0故在△PBC中，PC=3,PB=17所以cos∠PCB=又0<∠PCB<π，所以sin所以△PBC的面積為S=1故選：C.5．（2023·全國·高考真題）已知△ABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，△ABD為等邊三角形，若二面角C?AB?D為150°，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A．15 B．25 C．35【解題思路】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【解答過程】取AB的中點(diǎn)E，連接CE,DE，因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，且AB為斜邊，則有CE⊥AB，又△ABD是等邊三角形，則DE⊥AB，從而∠CED為二面角C?AB?D的平面角，即∠CED=150

顯然CE∩DE=E,CE,DE?平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB?平面ABC，因此平面CDE⊥平面ABC，顯然平面CDE∩平面ABC=CE，直線CD?平面CDE，則直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE，從而∠DCE為直線CD與平面ABC所成的角，令A(yù)B=2，則CE=1,DE=3，在△CDECD=C由正弦定理得DEsin∠DCE=顯然∠DCE是銳角，cos∠DCE=所以直線CD與平面ABC所成的角的正切為35故選：C.二、填空題6．（2023·全國·高考真題）在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=6，∠BAC的角平分線交BC于D，則2．【解題思路】方法一：利用余弦定理求出AC，再根據(jù)等面積法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根據(jù)正弦定理求出B,C，即可根據(jù)三角形的特征求出．【解答過程】如圖所示：記AB=c,AC=b,BC=a，方法一：由余弦定理可得，22因?yàn)閎>0，解得：b=1+3由S△ABC12解得：AD=3故答案為：2．方法二：由余弦定理可得，22+b2?2×2×b×由正弦定理可得，6sin60°=b因?yàn)?+3>6>2又∠BAD=30°，所以∠ADB=75故答案為：2．7．（2022·浙江·高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是S=14c2a2?c2+a2?b22【解題思路】根據(jù)題中所給的公式代值解出．【解答過程】因?yàn)镾=14c故答案為：2348．（2022·全國·高考真題）已知△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．當(dāng)ACAB取得最小值時(shí)，BD=3?1【解題思路】設(shè)CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出AC【解答過程】[方法一]：余弦定理設(shè)CD=2BD=2m>0，則在△ABD中，AB在△ACD中，AC所以A≥4?12當(dāng)且僅當(dāng)m+1=3m+1即所以當(dāng)ACAB取最小值時(shí)，m=故答案為：3?1[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，3），B（-t,0），∴A當(dāng)且僅當(dāng)t+1=[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得{c2={c2=令A(yù)CAB=t，則∴t∴t當(dāng)且僅當(dāng)x+1=3x+1，即[方法四]：判別式法設(shè)BD=x，則CD=2x在△ABD中，AB在△ACD中，AC所以AC2A則(4?t)由方程有解得：Δ即t2?8t+4≤0所以tmin=4?2所以當(dāng)ACAB取最小值時(shí)，x=3?1故答案為：3?19．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，BC=CD,存在點(diǎn)A滿足∠BAC=16.5°,∠DAC=37°，則∠BCA=7.8°.【解題思路】設(shè)∠BCA=θ，在△DCA和△BCA中分別利用正弦定理得到CAsinD=【解答過程】設(shè)∠BCA=θ,∠ACD=90在△DCA中，由正弦定理得CAsin即CAsin即CAsin在△BCA中，由正弦定理得CAsin即CAsin180°因?yàn)镃D=CB，②①得sin利用計(jì)算器即可得θ≈7.8故答案為：7.8°10．（2023·全國·高考真題）已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA=2．【解題思路】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.【解答過程】如圖，將三棱錐S?ABC轉(zhuǎn)化為正三棱柱SMN?ABC，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，半徑為r則2r=ABsin∠ACB設(shè)三棱錐S?ABC的外接球球心為O，連接OA,OO1，則因?yàn)镺A2=OO1故答案為：2.三、解答題11．（2024·天津·高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知cosB=(1)求a；(2)求sinA(3)求cosB?2A【解題思路】（1）a=2t,c=3t，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sinB，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cosA，則得到（3）法一：根據(jù)大邊對(duì)大角確定A為銳角，則得到cosA【解答過程】（1）設(shè)a=2t,c=3t，t>0，則根據(jù)余弦定理得b2即25=4t2+9則a=4,c=6.（2）法一：因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以sinB=再根據(jù)正弦定理得asinA=bsin法二：由余弦定理得cosA=因?yàn)锳∈0,π（3）法一：因?yàn)閏osB=916>0，且由（2）法一知sinB=因?yàn)閍<b，則A<B，所以cosA=則sin2A=2sincosB?2A法二：sin2A=2則cos2A=2因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以sinB=所以cosB?2A12．（2024·全國·高考真題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+(1)求A．(2)若a=2，2bsinC=c【解題思路】（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件sinA+（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出B，然后根據(jù)正弦定理算出b,c即可得出周長(zhǎng).【解答過程】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由sinA+3cosA=2可得由于A∈(0,π)?A+π3方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由sinA+3cosA=2，又4cos2A?4又A∈(0,π)方法三：利用極值點(diǎn)求解設(shè)f(x)=sinx+3顯然x=π6時(shí)，f(x)f(x)max=f(A)，在開區(qū)間(0,即f′(A)=0=cos又A∈(0,π)方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)a=(1,3),根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則2cosa,b=2?根據(jù)向量共線條件，1?cos又A∈(0,π)方法五：利用萬能公式求解設(shè)t=tanA2整理可得，t2解得tanA2=t=2?又A∈(0,π)（2）由題設(shè)條件和正弦定理2b又B,C∈(0,π)，則sinBsinC≠0于是C=πsinC=由正弦定理可得，asinA=解得b=22故△ABC的周長(zhǎng)為2+613．（2024·全國·高考真題）記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinC=2(1)求B；(2)若△ABC的面積為3+3，求c【解題思路】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出cosC,sinC，最后結(jié)合已知sin（2）首先求出A,B,C，然后由正弦定理可將a,b均用含有c的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.【解答過程】（1）由余弦定理有a2+b可得cosC=因?yàn)镃∈0,π，所以從而sinC=又因?yàn)閟inC=2cos注意到B∈0,所以B=π（2）由（1）可得B=π3，cosC=22，C∈而sinA=由正弦定理有asin從而a=6由三角形面積公式可知，△ABC的面積可表示為S△ABC由已知△ABC的面積為3+3，可得3+所以c=2214．（2024·北京·高考真題）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，∠A為鈍角，a=7，sin2B=(1)求∠A；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在，求△ABC的面積．條件①：b=7；條件②：cosB=13注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解題思路】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）選擇①，利用正弦定理得B=π3，結(jié)合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出sinB=3314，再代入式子得b=3，再利用兩角和的正弦公式即可求出sinC【解答過程】（1）由題意得2sinBcos則cosB≠0，則2sinB=37因?yàn)锳為鈍角，則A=2（2）選擇①b=7，則sinB=314b=314×7=此時(shí)A+B=π選擇②cosB=1314，因?yàn)锽則代入2sinB=37bsin=3則S△ABC選擇③csinA=523則由正弦定理得asinA=csin因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，則cosC=則sin=3則S△ABC15．（2023·全國·高考真題）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知b2(1)求bc；(2)若acosB?bcos【解題思路】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sinA【解答過程】（1）因?yàn)閍2=b2+（2）由正弦定理可得a=sin變形可得：sinA?B?sin而0<sinB≤1，所以cosA=?12故△ABC的面積為S△ABC16．（2023·全國·高考真題）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.(1)求sin∠ABC(2)若D為BC上一點(diǎn)，且∠BAD=90°，求△ADC的面積.【解題思路】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)BC的值為BC=7，然后由余弦定理可得cosB=5(2)由題意可得S△ABDS△ACD=4，則【解答過程】（1）由余弦定理可得：B=4+1?2×2×1×cos則BC=7，cossin∠ABC=（2）由三角形面積公式可得S△ABD則S△ACD17．（2023·天津·高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c．已知a=39(1)求sinB(2)求c的值；(3)求sinB?C【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sinC，再由平方關(guān)系求出cos【解答過程】（1）由正弦定理可得，asinA=bsin（2）由余弦定理可得，a2=b解得：c=5或c=?7（舍去）．（3）由正弦定理可得，asinA=csinC，即所以B,C都為銳角，因此cosC=1?25sinB?C18．（2023·全國·高考真題）已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(1)求sinA(2)設(shè)AB=5，求AB邊上的高．【解題思路】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b【解答過程】（1）∵A+B=3C，∴π?C=3C，即又2sin∴2sin∴sin∴sin即tanA=3，所以0<A<∴sin（2）由（1）知，cosA=由sinB=sin(A+C)由正弦定理，csinC=∴1∴?=b?sin19．（2023·全國·高考真題）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知△ABC的面積為3，D為BC中點(diǎn)，且AD=1．(1)若∠ADC=π3，求(2)若b2+c【解題思路】（1）方法1，利用三角形面積公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出a，作出BC邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出∠ADC即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出∠ADC即可求解作答.【解答過程】（1）方法1：在△ABC中，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，∠ADC=π3，

則S△ADC=1在△ABD中，∠ADB=2π3即c2=4+1?2×2×1×(?12)=7sinB=所以tanB=方法2：在△ABC中，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，∠ADC=π3，則S△ADC=1在△ACD中，由余弦定理得b2即b2=4+1?2×2×1×12=3，解得b=C=π6，過A作AE⊥BC于E，于是CE=ACcos所以tanB=（2）方法1：在△ABD與△ACD中，由余弦定理得c2整理得12a2+2=b又S△ADC=12×3×1×所以b=c=A方法2：在△ABC中，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，則2AD=AB于是4AD2+CB2又S△ADC=12×3×1×所以b=c=A20．（2022·天津·高考真題）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a=6(1)求c的值；(2)求sinB(3)求sin(2A?B)【解題思路】（1）根據(jù)余弦定理a2=b（2）由（1）可求出b=2，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出sin2A,【解答過程】（1）因?yàn)閍2=b2+c2?2bccos（2）由（1）可求出b=2，而0<A<π，所以sinA=1?cos2（3）因?yàn)閏osA=?14，所以π2<A<π，故0<B<π2，又sinA=故sin(2A?B)=21．（2022·浙江·高考真題）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知4a=5(1)求sinA(2)若b=11，求△ABC的面積．【解題思路】（1）先由平方關(guān)系求出sinC（2）根據(jù)余弦定理的推論cosC=a2+b2?【解答過程】（1）由于cosC=35，0<C<π，則由正弦定理知4sinA=5（2）因?yàn)?a=5c，由余弦定理，得即a2+6a?55=0，解得a=5，而sinC=所以△ABC的面積S=122．（2022·全國·高考真題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為S1,S(1)求△ABC的面積；(2)若sinAsinC=