2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2第2課時測量高度角度問題課時跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修5

PAGE測量高度、角度問題[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．某次測量中，甲在乙的北偏東55°，則乙在甲的()A．北偏西35° B．北偏東55°C．南偏西35° D．南偏西55°答案：D2．如圖，從地面上C，D兩點(diǎn)望山頂A，測得它們的仰角分別為45°和30°，已知CD＝100米，點(diǎn)C位于BD上，則山高AB等于()A．100米 B．50eq\r(3)米C．50eq\r(2)米 D．50(eq\r(3)＋1)米解析：設(shè)AB＝xm，則由題意，∠D＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABC中，BC＝AB＝x，在Rt△ADB中，DB＝CD＋BC＝100＋x，所以DB＝eq\r(3)AB，即100＋x＝eq\r(3)x，解得x＝50(eq\r(3)＋1)m.所以山AB的高度為50(eq\r(3)＋1)米．答案：D3.如圖，有一建筑物OP，為了測量它的高度，在地面上選一長度為40m的基線AB，若在點(diǎn)A處測得P點(diǎn)的仰角為30°，在B點(diǎn)處的仰角為45°，且∠AOB＝30°，則建筑物的高度為()A．20m B．20eq\r(2)mC．20eq\r(3)m D．40m解析：設(shè)高OP＝h，則OA＝htan60°＝eq\r(3)h，OB＝htan45°＝h.在△AOB中，由余弦定理得402＝(eq\r(3)h)2＋h2－2·eq\r(3)h·h·cos30°，解得h＝40.故選D.答案：D4．在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，假如船從岸邊A處動身，沿著與水流垂直的航線到達(dá)對岸，那么船前進(jìn)的方向指向河流的上游并與河岸垂直的方向所成的角為()A.eq\f(π,4) B．eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(5,12)π解析：設(shè)水流速度與船速的合速度為v，方向指向?qū)Π叮畡t由題意知，sinα＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＝eq\f(π,6).答案：C5.在地面上點(diǎn)D處測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20m，則建筑物的高度為()A．20m B．30mC．40m D．60m解析：如圖，設(shè)O為建筑物頂端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20m，∴OD＝20eq\r(3)m．在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60m，∴AB＝OA－OB＝40m，故選C.答案：C6．某人向正東方向走xkm后向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離動身點(diǎn)恰好eq\r(3)km，那么x的值為________．解析：如圖所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°.由余弦定理得(eq\r(3))2＝32＋x2－2×3·x·cos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x1＝eq\r(3)，x2＝2eq\r(3)，檢驗(yàn)均符合題意．答案：eq\r(3)或2eq\r(3)7．如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到，一輛汽車在一條水平的馬路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得馬路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽車從C點(diǎn)到B點(diǎn)歷時14s，則這輛汽車的速度為________m/s(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236)．解析：由題意，AB＝200m，AC＝100eq\r(2)m，由余弦定理可得BC＝eq\r(40000＋20000－2×200×100\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))))＝100eq\r(10)m這輛汽車的速度為100eq\r(10)÷14≈22.6m/s.答案：22.68.如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為α，沿傾斜角為β的斜坡走am到B，又測得山頂P的仰角為γ，則山高為________m.解析：在△PAB中，∠BAP＝α－β，∠APB＝γ－α，∠ABP＝180°－∠BAP－∠APB＝180°－(γ－β)，AB＝a，由正弦定理可得PA＝eq\f(asin∠ABP,sin∠APB)＝eq\f(asinγ－β,sinγ－α).在Rt△PAQ中，PQ＝PA·sinα＝eq\f(asinαsinγ－β,sinγ－α).答案：eq\f(asinαsinγ－β,sinγ－α)9．在某個位置測得某山峰仰角為θ，對著山峰在地面上前進(jìn)600m后測得仰角為2θ，接著在地面上前進(jìn)200eq\r(3)m以后測得山峰的仰角為4θ，求該山峰的高度．解析：如圖所示，△BED，△BDC為等腰三角形，BD＝ED＝600，BC＝DC＝200eq\r(3).在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋200\r(3)2－200\r(3)2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)．即山峰高度為300m.10.如圖，A，C兩島之間有一片暗礁，一艘小船于某日上午8時從A島動身，以10海里/小時的速度沿北偏東75°方向直線航行，下午1時到達(dá)B處，然后以同樣的速度沿北偏東15°方向直線航行，下午4時到達(dá)C島．(1)求A，C兩島之間的距離；(2)求∠BAC的正弦值．解析：(1)在△ABC中，由已知，得AB＝10×5＝50(海里)，BC＝10×3＝30(海里)，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理得AC2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4900，所以AC＝70(海里)．故A，C兩島之間的距離為70海里．(2)在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，所以sin∠BAC＝eq\f(BC·sin∠ABC,AC)＝eq\f(30sin120°,70)＝eq\f(3\r(3),14)，故∠BAC的正弦值是eq\f(3\r(3),14).[B組實(shí)力提升]11．一個大型噴水池的中心有一個強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A處測得水柱頂端的仰角為45°，從點(diǎn)A沿北偏東30°方向前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m解析：設(shè)水柱高度是h，水柱底端為C，則在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，依據(jù)余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50(負(fù)值舍去)，故水柱的高度是50m.答案：A12.如圖，為了測量河對岸電視塔CD的高度，小王在點(diǎn)A處測得塔頂D的仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角，小王向前走了1200m到達(dá)M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為()A．600eq\r(2)m B．600eq\r(3)mC．200eq\r(2)m D．200eq\r(3)m解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠MCA)＝eq\f(AC,sin∠AMC)，即eq\f(1200,\f(\r(2),2))＝eq\f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝600eq\r(6).在△ACD中，∵tan∠DAC＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(\r(3),3)，∴CD＝ACtan∠DAC＝600eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝600eq\r(2)，故選A.答案：A13.如圖所示，位于某島的雷達(dá)觀測站A，發(fā)覺其北偏東45°，與觀測站A距離20eq\r(2)nmile的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時后，又測得該貨船位于觀測站A東偏北θ(0°＜θ＜45°)的C處，且cosθ＝eq\f(4,5).已知A，C兩處的距離為10nmile，則該貨船的航速為______nmile/h.解析：因?yàn)閏osθ＝eq\f(4,5)，0°＜θ＜45°，所以sinθ＝eq\f(3,5)，所以cos(45°－θ)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＝eq\f(7\r(2),10).在△ABC中，BC2＝800＋100－2×20eq\r(2)×10×eq\f(7\r(2),10)＝340，所以BC＝2eq\r(85).故該貨船的航速為4eq\r(85)nmile/h.答案：4eq\r(85)14．我艦在島A南偏西50°相距12nmile的B處發(fā)覺敵艦正從島A沿北偏西10°的方向以10nmile/h的速度航行，若我艦要用2h追上敵艦，則速度為_____nmile/h.解析：如圖所示，設(shè)我艦在C處追上敵艦，速度為vnmile/h，則在△ABC中，AC＝10×2＝20(nmile)，AB＝12nmile，∠BAC＝120°，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，所以BC＝28nmile，則速度v＝eq\f(28,2)＝14(nmile/h)．答案：1415.如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，求建筑物的高度．解析：設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度為30eq\r(6)m.16.如圖，在海岸A處發(fā)覺北偏東45°方向，距A處(eq\r(3)－1)海里的B處有一艘走私船．在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10eq\r(3)海里/時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/時的速度，從B處向北偏東30°方向逃跑．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間．解析：設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船，則CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(eq\r(3)－1)2＋22－2(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝eq\r(6).又∵eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠CAB,BC)＝eq\f(2·sin120°,\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，又0°＜∠ABC＜60°，∴∠ABC＝45°，∴B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得eq\f(B