2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3第1課時(shí)平面與平面垂直的判定教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE8.6.3平面與平面垂直第1課時(shí)平面與平面垂直的判定素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．通過直觀感知，歸納出平面與平面的判定定理.(直觀想象)2．會(huì)用平面與平面的判定定理證明平面與平面垂直.(邏輯推理)1．平面與平面垂直是平面與平面相交的特別狀況，對(duì)這種特別關(guān)系的相識(shí)，既可以從二面角的平面角為直角的角度探討，又可以從已有的線面垂直關(guān)系動(dòng)身進(jìn)行推理論證.2．面面垂直源自線線垂直，這種轉(zhuǎn)化為“低維”垂直的思想方法在解題時(shí)特別重要，一方面從條件入手，分析已有的垂直關(guān)系，另一方面從結(jié)論入手，分析所要證明的垂直關(guān)系，從而找到解決問題的途徑.必備學(xué)問·探新知學(xué)問點(diǎn)1二面角的概念定義從一條直線動(dòng)身的__兩個(gè)半平面__所組成的圖形相關(guān)概念①這條直線叫做二面角的__棱__；②這兩個(gè)半平面叫做二面角的__面__畫法記法二面角__α－l－β__或__α－AB－β__或__P－l－Q__或P－AB－Q二面角的平面角在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作__垂直于__棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的__∠AOB__叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范圍是__0°≤α≤180°__學(xué)問點(diǎn)2面面垂直的定義定義一般地，兩個(gè)平面相交，假如它們所成的二面角是__直二面角__，就說(shuō)這兩個(gè)平面相互垂直.平面α與β垂直，記作：__α⊥β__畫法畫兩個(gè)相互垂直的平面時(shí)，通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫成__垂直__[學(xué)問解讀]1．二面角與平面幾何中的角的對(duì)比平面幾何中的角二面角圖形定義從平面內(nèi)一點(diǎn)動(dòng)身的兩條射線組成的圖形從一條直線動(dòng)身的兩個(gè)半平面組成的圖形表示法由射線—點(diǎn)(頂點(diǎn))—射線構(gòu)成，即為∠AOB由半平面—線(棱)—半平面構(gòu)成，記為二面角α－l－β意義定量的反映兩條直線的位置關(guān)系定量的反映兩個(gè)平面的位置關(guān)系2．剖析平面與平面垂直(1)兩個(gè)平面垂直是兩個(gè)平面相交的特別狀況.例如正方體中隨意相鄰兩個(gè)面都是相互垂直的.(2)兩個(gè)平面垂直和兩條直線相互垂直的共同點(diǎn)：都是通過所成的角是直角定義的.3．詳解平面與平面垂直的判定定理(1)本質(zhì)：通過直線與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直，即線面垂直?面面垂直.(2)證題思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來(lái)解決.關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一二面角及其平面角的概念的理解典例1下列命題中：①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a，b所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)動(dòng)身，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成的角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系.其中正確的是(B)A．①③ B．②④C．③④ D．①②[解析]由二面角的定義：從一條直線動(dòng)身的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，所以①不對(duì)，實(shí)質(zhì)上它共有四個(gè)二面角；由a，b分別垂直于兩個(gè)面，則a，b都垂直于二面角的棱，故②正確；③中所作的射線不肯定垂直于二面角的棱，故③不對(duì)；由定義知④正確.故選B．[歸納提升]1．要留意區(qū)分二面角與兩相交平面所成的角并不一樣.2．要留意二面角的平面角與頂點(diǎn)在棱上且角兩邊分別在二面角面內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)分.3．可利用實(shí)物模型，作圖幫助推斷.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，那么這兩個(gè)二面角(D)A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．關(guān)系無(wú)法確定[解析]如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以兩個(gè)二面角的大小關(guān)系不確定，因?yàn)槎娼荋－DG－F的大小不確定.題型二求二面角的大小典例2四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)；(2)求二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)；(3)求二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度數(shù).[分析]求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解.[解析](1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.所以二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)為90°.(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD為二面角B－PA－D的平面角.又由題意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)為90°.(3)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC為二面角B－PA－C的平面角.又四邊形ABCD為正方形，所以∠BAC＝45°.所以二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)為45°.(4)作BE⊥PC于E，連接DE、BD，且BD與AC交于點(diǎn)O，連接EO，如圖.由題意知△PBC≌△PDC，則∠BPE＝∠DPE，從而△PBE≌△PDE.所以∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.所以∠BED為二面角B－PC－D的平面角.又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.設(shè)AB＝a，則PA＝AB＝BC＝a，所以PB＝eq\r(2)a，PC＝eq\r(3)a，所以BE＝eq\f(PB·BC,PC)＝eq\f(\r(6),3)a，BD＝eq\r(2)a.所以sin∠BEO＝eq\f(BO,BE)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),3)a)＝eq\f(\r(3),2).因?yàn)椤螧EO∈(0°，90°)，所以∠BEO＝60°.所以∠BED＝120°.所以二面角B－PC－D的平面角的度數(shù)為120°.[歸納提升]1．求二面角大小的步驟：簡(jiǎn)稱為“一作二證三求”.作平面角時(shí)，肯定要留意頂點(diǎn)的選擇.2．作二面角的平面角的方法：方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個(gè)特別點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖所示，∠AOB為二面角α－a－β的平面角.方法二：(垂線法)過二面的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖所示，∠AFE為二面角A－BC－D的平面角.方法三：(垂面法)過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角.如圖所示，∠AOB為二面角α－l－β的平面角.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B[解析]取A1C1的中點(diǎn)O，連接B1O、BO.由題意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O為A1所以BO⊥A1C1所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則OB1＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，所以二面角B－A1C1－B1的正切值為eq\r(2).題型三平面與平面垂直的證明典例3如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，(1)求證：平面PAD⊥平面ABCD.(2)求證：平面PAC⊥平面PBD.[分析](1)依據(jù)已知的線段長(zhǎng)度，證明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理證得結(jié)論.(2)依據(jù)(1)問得到PD⊥平面ABCD，從而有PD⊥AC，然后結(jié)合底面ABCD為正方形得到AC⊥BD，從而找出平面PDB的垂線AC，最終利用判定定理證得結(jié)論.[證明](1)因?yàn)镻D＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.同理可證PD⊥AD，又AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABC.因?yàn)镻D?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，而四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDB.同時(shí)，AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.[歸納提升]證明平面與平面垂直的方法：(1)定義法：依據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直實(shí)質(zhì)上是把問題轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角為直角.(2)判定定理：判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直就要轉(zhuǎn)化為證線面垂直，其關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)找尋一條直線與另一個(gè)平面垂直.(3)利用“兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面”.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.(2)如圖，在四面體ABCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.[解析](1)由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.(2)證明：取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE.因?yàn)椤鰽BD與△BCD是全等的等腰三角形，所以AE⊥BD，CE⊥BD，即∠AEC為二面角A－BD－C的平面角，在△ABD中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\f(\r(2),2)a，同理，CE＝eq\f(\r(2),2)a.在△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a，故AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，即∠AEC＝90°，所以二面角A－BD－C的平面角為90°，所以平面ABD⊥平面BCD.易錯(cuò)警示推斷面面位置關(guān)系時(shí)主觀臆斷典例4如圖所示，已知在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，試問截面ACB1與對(duì)角面BB1D1D垂直嗎？試說(shuō)明理由.[錯(cuò)解]由題意可知，D1B1與AB1不垂直，D1B1與B1C不垂直，所以D1B1與平面ACB1不垂直，故平面BB1D1D與平面ACB1[錯(cuò)因分析]推斷兩個(gè)平面垂直，只需說(shuō)明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線即可，推斷線面、面面位置關(guān)系時(shí)，必需給出嚴(yán)格的推理過程，不能只憑圖形直觀妄加推斷，要全面理解垂直關(guān)系的實(shí)質(zhì).[正解]因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD，因?yàn)锽B1⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，又AC?截面ACB1，所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.【對(duì)點(diǎn)練