2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章變化率與導(dǎo)數(shù)2.5簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則學(xué)案含解析北師大版選修2-2

PAGE5簡(jiǎn)潔復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第21頁(yè)[自主梳理]一、復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b.給定x的一個(gè)值，就得到了u的值，進(jìn)而確定了y的值，這樣y可以表示成x的函數(shù)，我們稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝φ(x)的復(fù)合函數(shù)，記作________，其中________為中間變量．二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的導(dǎo)數(shù)為：y′(x)＝[f(φ(x))]′＝________.[雙基自測(cè)]1．函數(shù)y＝(3x－4)2的導(dǎo)數(shù)是()A．4(3x－2) B．6xC．6x(3x－4) D．6(3x－4)2．函數(shù)y＝e2x－4在x＝2處的切線方程為()A．2x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．ex－y－2e＋1＝0D．ex＋y＋2e－1＝03．已知函數(shù)f(x)＝(2x－1)2的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，則f′(1)＝()A．1 B．2C．3 D．44．函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______．5．函數(shù)f(x)＝(2x＋1)5，則f′(0)的值為_(kāi)_______．[自主梳理]一、y＝f(φ(x))u二、f′(u)φ′(x)[雙基自測(cè)]1．Dy′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．2．Ay′＝(e2x－4)′＝e2x－4·(2x－4)′＝2e2x－4，所以k＝2e2×2－4＝2.把x＝2代入y＝e2x－4，得y＝1，所以切點(diǎn)為(2,1)．所以函數(shù)y＝e2x－4在x＝2處的切線方程為y－1＝2(x－2)，所以2x－y－3＝0.3．Df′(x)＝2(2x－1)×2＝8x－4，則f′(1)＝8×1－4＝4.4．3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))))′＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))·(－3)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x)).5．10f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，∴f′(0)＝10.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第22頁(yè)探究一復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算[例1]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；(3)y＝e2x＋1；(4)y＝eq\r(2x－1)；(5)y＝sin(3x－eq\f(π,4))；(6)y＝cos2x.[解析](1)y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.(2)y′＝eq\f(1,6x＋4)·(6x＋4)′＝eq\f(3,3x＋2).(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1.(4)y′＝eq\f(1,2\r(2x－1))·(2x－1)′＝eq\f(1,\r(2x－1)).(5)y′＝cos(3x－eq\f(π,4))·(3x－eq\f(π,4))′＝3cos(3x－eq\f(π,4))．(6)設(shè)y＝u2，u＝cosx，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝2u·(－sinx)＝－2sinxcosx＝－sin2x.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是選擇中間變量，必需正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的依次復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系，要擅長(zhǎng)把一部重量或式子短暫當(dāng)作一個(gè)整體，這個(gè)短暫的整體就是中間變量，求導(dǎo)時(shí)須要記住中間變量，留意逐層求導(dǎo)，不遺漏．此外，還應(yīng)特殊留意求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)．1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\f(1,1－3x4)；(2)y＝sinx2；(3)y＝sin2(2x＋eq\f(π,3))；(4)y＝eq\r(1＋x2).解析：(1)令u＝1－3x，則y＝u－4，y′＝y(tǒng)′u·u′x＝－4u－5·(1－3x)′＝12u－5＝eq\f(12,1－3x5).(2)令u＝x2，則y＝sinu，所以y′＝cosu·u′＝cosx2·2x＝2xcosx2.(3)令y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋eq\f(π,3)，則y′＝y(tǒng)′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝2sin(2x＋eq\f(π,3))·cos(2x＋eq\f(π,3))·2＝2sin(4x＋eq\f(2π,3))．(4)令u＝1＋x2，則y＝eq\r(u)＝ueq\f(1,2)，∴y′＝eq\f(1,2)u－eq\f(1,2)·(1＋x2)′＝eq\f(x,\r(1＋x2)).探究二復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題[例2]某港口在一天24小時(shí)內(nèi)潮水的高度近似滿(mǎn)意關(guān)系s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數(shù)在t＝18時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并說(shuō)明它的實(shí)際意義．[解析]設(shè)f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6).由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cosx·eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6))).將t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq\f(π,4)coseq\f(7π,3)＝eq\f(π,8)(m/h)．它表示當(dāng)t＝18h時(shí)，潮水的高度上升的速度為eq\f(π,8)m/h.將復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義結(jié)合，旨在鞏固函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)改變率，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)揭示物體某時(shí)刻的改變狀況．2．放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷削減，這種現(xiàn)象稱(chēng)為衰變．假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過(guò)程中，其含量M(單位：太貝克)與時(shí)間t(單位：年)滿(mǎn)意函數(shù)關(guān)系：M(t)＝M02－eq\f(t,30)，其中M0為t＝0時(shí)銫137的含量．已知t＝30時(shí)，銫137含量的改變率是－10ln2(太貝克/年)，則M(60)＝()A．5太貝克 B．75ln2太貝克C．150ln2太貝克 D．150太貝克解析：∵M(jìn)′(t)＝－eq\f(1,30)M02－eq\f(t,30)·ln2，∴M′(30)＝－eq\f(1,30)×eq\f(1,2)M0ln2＝－10ln2，∴M0＝600.∴M(t)＝600×2－eq\f(t,30)，∴M(60)＝600×2－2＝150(太貝克)．答案：D對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)因?qū)哟尾磺宥抡`[例3]函數(shù)y＝sinnxcosnx的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______．[解析]y′＝(sinnx)′cosnx＋sinnx(cosnx)′＝nsinn－1x(sinx)′cosnx＋sinnx(－sinnx)·(nx)′＝nsinn－1xcosx·cosnx－sinnxsinnx·n＝nsinn－1x(cosxcosnx－sinxsin