2025屆廣東省部分學(xué)校高三大聯(lián)考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題（含答案解析版）

第1頁/共19頁高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.5 D.13【答案】B【解析】【分析】先化簡的表達(dá)式，然后求得的模.【詳解】，所以.故選：B2.已知拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程求出，由拋物線定義可得解.【詳解】由拋物線可得，所以，，故拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.故選：B3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，，，，成等比數(shù)列求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，設(shè)，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)的運(yùn)用，難度一般，利用性質(zhì)結(jié)論計(jì)算即可.4.現(xiàn)有一個(gè)正四棱臺(tái)形水庫，該水庫的下底面邊長為2km，上底面邊長為4km，側(cè)棱長為，則該水庫的最大蓄水量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，水庫的最大蓄水量等于正四棱臺(tái)的體積，進(jìn)而用臺(tái)體的面積公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，其中且.由，可得，又且，可得是長方形，則，所以，，則，正四棱臺(tái)的高，下底面的面積，上底面的面積.于是正四棱臺(tái)的體積.故該水庫的最大蓄水量為.故選：A.5.已知雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的焦距是（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】求出圓心到漸近線的距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)建立弦心距、半弦長、半徑的方程即可求解【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，即，則圓心到漸近線的距離，由圓的半徑及圓的幾何性質(zhì)可得，化簡得，解得，所以，故選：D6.若函數(shù)是偶函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義可求得，進(jìn)而求得在處的導(dǎo)數(shù)，可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，又易得函數(shù)的定義域是，即，所以，所以，又，所以解得，所以，所以，所以，所以曲線在處的切線斜率為.故選：B.7.對(duì)于非空數(shù)集，定義，將稱為“與的笛卡爾積”．記非空數(shù)集的元素個(gè)數(shù)為，若是兩個(gè)非空數(shù)集，則的最小值是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)、的定義對(duì)進(jìn)行分析，利用基本不等式確定正確答案.【詳解】設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：B8.已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（為圓的圓心）面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出兩圓的半徑，從而可得，因?yàn)闉殇J角，所以要使的面積最大，只要取得最大值即可，此時(shí)，解出的面積，即可得解.【詳解】由題意得：，所以圓心，半徑，由兩圓相交于兩點(diǎn)可知：，所以的面積，因?yàn)槭前霃綖?的圓，所以，當(dāng)時(shí)，，又，此時(shí)由，解得，，故AB可以取最大值2；所以當(dāng)時(shí)，最大，且是銳角，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，最大，在中由余弦定理可得：，所以，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角形的面積公式表示面積之后，關(guān)鍵點(diǎn)在于利用圓的幾何性質(zhì)尋找AB的最大值，從而確定面積的的最大值.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失，而在水平面上積聚的水層深度，一般以毫米為單位．降雨量可以直觀地反映一個(gè)地區(qū)某一時(shí)間段內(nèi)降水的多少，它對(duì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、水利工程、城市排水等有著重要的影響．如圖，這是兩地某年上半年每月降雨量的折線統(tǒng)計(jì)圖．下列結(jié)論正確的是（）A.這年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大B.這年上半年A地月降雨量的中位數(shù)比B地月降雨量的中位數(shù)大C.這年上半年A地月降雨量極差比B地月降雨量的極差大D.這年上半年A地月降雨量的分位數(shù)比B地月平均降雨量的分位數(shù)大【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意將A、B地月降雨量按升序排列，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、極差以及百分位數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：A地月降雨量按升序排列可得：，B地月降雨量按升序排列可得：，對(duì)于選項(xiàng)A：可知A地月平均降雨量為，B地月平均降雨量為，因，所以這年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：A地月降雨量的中位數(shù)為，B地月降雨量的中位數(shù)為，因?yàn)?，所以A地月降雨量的中位數(shù)比B地月降雨量的中位數(shù)小，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：A地月降雨量的極差為，B地月降雨量的極差為，因?yàn)?，A地月降雨量的極差比B地月降雨量的極差大，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知A地月降雨量的分位數(shù)為42，B地月降雨量的分位數(shù)為40，且，所以A地月降雨量的分位數(shù)比B地月平均降雨量的分位數(shù)大，故D正確；故選：ACD.10.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.若直線是圖象的對(duì)稱軸，則C.在上的值域?yàn)镈.若，且，則【答案】ACD【解析】【分析】應(yīng)用輔助角公式化簡且，不妨令，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、倍角余弦公式判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由且，不妨令，由化簡后的解析式，易知其最小正周期為，A對(duì)；若直線是圖象的對(duì)稱軸，則且，即，所以，B錯(cuò)；由，則，且，所以，，故值域，C對(duì)；由題設(shè)，令，則或，且，所以或，又，不妨令，則，D對(duì).故選：ACD11.在長方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)，則（）A.異面直線與所成角的余弦值是B.點(diǎn)到平面的距離是C.三棱錐的體積為D.四面體外接球的表面積是【答案】ACD【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出與利用夾角的余弦公式計(jì)算后可判斷A的正誤，利用向量法可求點(diǎn)到平面的距離后可判斷B的正誤，求出的坐標(biāo)后可計(jì)算三棱錐的體積，從而可判斷C的正誤，求出球心的坐標(biāo)后可求外接球的半徑，計(jì)算表面積后可判斷D的正誤.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，故，故異面直線所成角余弦值為，故A正確；因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，而，故點(diǎn)到平面的距離是，故B錯(cuò)誤；又，設(shè)，則因?yàn)楣簿€，所以，故，即，故，且在軸上，故，故C正確；設(shè)四面體外接球的球心為，則，即；；，整理得到：，故，故外接球半徑為，故外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：空間幾何體的外接球的計(jì)算問題，首先確定球心的位置，如果球心的位置不易求得，則可以通過空間向量的方法求出球心坐標(biāo)，從而解決與球有關(guān)的計(jì)算問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知單位向量滿足，則與的夾角為______________．【答案】##【解析】【分析】將等式兩邊平方即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，．故答案為?13.一場籃球比賽需要3名裁判員（1名主裁判、2名助理裁判），現(xiàn)從9名（5男4女）裁判員中任意選取3人擔(dān)任某場籃球比賽的裁判，則這3名裁判員中既有男裁判員，又有女裁判員，且男裁判員擔(dān)任主裁判的概率是______．【答案】【解析】【分析】求解計(jì)劃是先計(jì)算出既有男裁判員又有女裁判員且男裁判員擔(dān)任主裁判的情況數(shù)，再計(jì)算從名裁判員中選人的總情況數(shù)，最后用前者除以后者得到概率.【詳解】先計(jì)算既有男裁判員又有女裁判員且男裁判員擔(dān)任主裁判的情況數(shù).因?yàn)槟胁门袉T擔(dān)任主裁判，所以先從名男裁判員中選名作為主裁判，有種選法.后有兩種情況.從名女裁判員中選名作為助理裁判，有種選法.從名女裁判員中選1名作為助理裁判，和從名男裁判員中選1名作為助理裁判，有種選法.根據(jù)乘法原理，既有男裁判員又有女裁判員且男裁判員擔(dān)任主裁判的情況數(shù)為種.再計(jì)算從名裁判員中選人的總情況數(shù).從名裁判員中選人作為裁判，總數(shù)為種.所求概率.故答案為：.14.已知滿足，則_______．【答案】3【解析】【分析】原方程可化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，故可求目標(biāo)代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)?，故，所以，設(shè)則，故在0,+∞上為增函數(shù)，故，故，且，故，故答案為：3.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于與指數(shù)、對(duì)數(shù)都出現(xiàn)的代數(shù)式，注意利用同構(gòu)結(jié)合新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）討論的單調(diào)性．【答案】（1）極大值為，極小值為（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的極值.（2）先求得f'x，對(duì)進(jìn)行分類討論，從而求得的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的極大值是，極小值為.【小問2詳解】，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上：當(dāng)時(shí)，fx在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.16.在中，角的對(duì)邊分別是，且．（1）證明：．（2）若是銳角三角形，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系及和差角正弦公式得到，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)即可證結(jié)論；（2）由題設(shè)得，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、倍角正弦公式有，即可求范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，所以，則，即，又，則，且，所以，得證.【小問2詳解】由題設(shè)，即，得，由，而，故.17.如圖，在四棱錐中，平面，底面為等腰梯形，其中，．（1）證明：平面平面．（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）過作，垂足為，建系標(biāo)點(diǎn)，利用空間向量可得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，即可證線面垂直；（2）根據(jù)題意分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.【小問1詳解】過作，垂足為，則，因?yàn)?，則，且平面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，因?yàn)?，則，又因?yàn)槠矫妫矫?，則，且，平面，可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】若，由（1）可知：，可得，設(shè)平面的法向量為m=x1,令，則，可得，設(shè)平面的法向量為n=x2,令，則，可得，則，由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.18.已知，直線交于點(diǎn)，且直線的斜率之積為，點(diǎn)的軌跡記為曲線．（1）求的方程．（2）不過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率之和為，試問直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）直線過定點(diǎn)，理由見詳解.【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，利用建立等量關(guān)系，求的軌跡方程.（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出兩根之和和兩根之積，根據(jù)直線與的斜率之和為得到參數(shù)的關(guān)系，可得直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得直線過定點(diǎn).【小問1詳解】設(shè)，則，，由題意得，，整理得，∴曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，由得，，∴，即，∴，∵直線與的斜率之和為，∴，∴，∴，整理得，∵，∴，∴直線方程為，恒過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，∵直線與的斜率之和為，∴，∴，此時(shí)直線，恒過定點(diǎn).綜上得，直線過定點(diǎn).19.某項(xiàng)測試共有道多項(xiàng)選擇題，每道題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：全部選對(duì)得5分；部分選對(duì)得2分；有選錯(cuò)或不答得0分．記道題的總得分為的取值個(gè)數(shù)為．（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，若某人參加這項(xiàng)測試，每道題得5分、2分、0分的概率相等，且每道題答對(duì)與否相互獨(dú)立，求的概率；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）通過列舉分析的方式確定的值.（2）確定時(shí)分兩種情況，分別計(jì)算相加即可.（3）分情況討論每種情況下總得分的取值個(gè)數(shù)，相加計(jì)算，表示，用裂項(xiàng)相消法計(jì)算前項(xiàng)和.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，總得分的取值為，，當(dāng)時(shí)，情況如下：①兩題都得5分；兩題都得2分；兩題都得0分；②一題得5分，一題得2分；③一題得5分，一題得0分；④一題得2分，一題得0分..當(dāng)時(shí)，情況如下：①三題都得5分；三題都得2分；三題都得0分；②一題得5分，兩題得2分；兩題得5分，一題得2分；③一題得5分，兩題得0分；兩題得5分，一題得0分；.④一題得2分，兩題得0分；兩題得5分，一題得0分；⑤一題得5分，一題得2分，一題得0分，總得分與②重復(fù)，.綜上得，.【小問2詳解】由題意得，每道題得5分、2分、0分的概率均為.當(dāng)兩題得5分，三題得0分時(shí)，，概率為，當(dāng)5個(gè)題得分均為2分時(shí)，，概率為，∴的概率為.【小問3詳解】當(dāng)題目個(gè)數(shù)為時(shí)，①全部得5分，全部得2分，全部得0分，總得分的取值個(gè)數(shù)為3，②當(dāng)每個(gè)題目得分為5分和2分的一種時(shí)，總得分的取值個(gè)數(shù)為