19.5.1 角的平分線 同步練習(xí)

19.5角的平分線（第1課時）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2020·上海市澧溪中學(xué)八年級階段練習(xí)）在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點是（

）A．三條中線的交點 B．三條高線交點 C．三邊垂直平分線交點 D．三個內(nèi)角平分線交點2．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）三角形中，到三邊距離相等的點是（

）A．三條高線所在直線的交點 B．三條中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點3．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（

）A．的三條中線的交點B．三邊的垂直平分線的交點C．三條角平分線的交點D．三條高所在直線的交點4．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，若PR＝PS，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）（1）PQ＝PB；（2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC（4）∠C＝∠SPCA．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2022·上?！ぐ四昙夐_學(xué)考試）下列命題中，其逆命題是假命題的是（

）A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等B．對頂角相等C．在一個三角形中，相等的角所對的邊也相等D．到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上6．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，過D作DE∥AB交BC于點E，若點F在AB上，且滿足DF＝DE，則∠DFB的度數(shù)為（）A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°7．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，則AC長是(

)A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題8．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=84°，三條角平分線交于點O，D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，則∠BCA的度數(shù)為____________．9．（2021·上海·八年級期中）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC與∠ACD互補(bǔ)，CD=8，則BC的長為_____________．10．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的_____．11．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作，分別交AB、AC于點E、F．若AB＝5，AC＝4，那么△AEF的周長為__．12．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知在中，CD是AB邊上的高線，BE平分，交CD于點E，，，則的面積等于___________．13．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖，已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，則有___________；反之如果PM=PN，且___________，那么OP平分∠AOB．14．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）已知點是的角平分線上的點，，如果，那么點到的距離是_______．三、解答題15．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，平分，且，求證：為等腰三角形.16．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）已知：如圖，，、分別平分、，、交于點．求證：．17．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知：、相交于，、分別平分、．求證：．18．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點P，連接AP．（1）求證：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）過點C作CE⊥AP，E是垂足，并延長CE交BM于點D．求證：CE=ED．19．（2022·上海·八年級單元測試）尺規(guī)作圖．如圖，已知∠AOB和C、D兩點，求作一點P，使PC=PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等．（不寫畫圖過程，保留作圖痕跡）【能力提升】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，BM是∠ABC的平分線，點D是BM上一點，點P為直線BC上的一個動點．若△ABD的面積為9，AB＝6，則線段DP的長不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5.52．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┫铝忻}中，是假命題的是（

）A．兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；B．每個命題都有逆命題；C．每個定理都有逆定理；D．在一個角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上．3．（2020·上海市金山區(qū)教育局八年級期末）已知△ABC內(nèi)一點M，如果點M到兩邊AB、BC的距離相等，那么點M(

)A．在AC邊的高上 B．在AC邊的中線上C．在∠ABC的平分線上 D．在AC邊的垂直平分線上4．（2020·上海市曹楊第二中學(xué)附屬學(xué)校八年級期中）如圖，為的外角平分線上一點，過作于，交的延長線于，且滿足，則下列結(jié)論：①≌；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題5．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，AD是ABC的角平分線，若ABC的面積是48，且AC＝16，AB＝8，則點D到AB的距離是______．6．（2022·上海浦東新·八年級期末）如圖，在中，，三角形的兩個外角和的平分線交于點E．則______．7．（2021·上海市建平實驗中學(xué)八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝_____．8．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）在Rt中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點D，且BC=8，BD=5，那么點D到AB的距離是_____三、解答題9．（2019·上海市風(fēng)華初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠CBE=180°，求證：2AE=AB+AD．10．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在△ABC中，AC=6，BC=10．(1)用尺規(guī)在AB邊上求作點P，使點P到∠ACB兩邊的距離相等；（不要求寫出作法和證明，但要求保留作圖痕跡，并寫出結(jié)論）(2)如果△ACP的面積為15，那么△BCP的面積是多少．11．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AB中點，ED∥BC，且與∠ABC的平分線BD交于點D，聯(lián)結(jié)AD．(1)求證：AD⊥BD；(2)記BD與AC的交點為F，求證：BF＝2AD．12．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖：已知BAC=30°，AT平分BAC，TE∥AC．（1）求證：是等腰三角形；（2）若，垂足為點D，AE=4cm，求TD的長．13．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.求證：AB=AC+CD．14．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）已知，如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，點E是CD的中點.（1）求證：AB=AD＋BC（2）求證：AE⊥BE

15．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．

（1）求證：AD為∠BDC的平分線；（2）若∠DAE=∠BAC，且點E在BD上，直接寫出BE、DE、DC三條線段之間的等量關(guān)系_______．

19.5角的平分線（第1課時）（解析版）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2020·上海市澧溪中學(xué)八年級階段練習(xí)）在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點是（

）A．三條中線的交點 B．三條高線交點 C．三邊垂直平分線交點 D．三個內(nèi)角平分線交點【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，即可求解．【詳解】解：在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點是三個內(nèi)角平分線交點，故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）三角形中，到三邊距離相等的點是（

）A．三條高線所在直線的交點 B．三條中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點【答案】C【分析】利用角平分線的性質(zhì)可確定三角形中到三邊距離相等的點滿足的條件．【詳解】解：三角形三個內(nèi)角的平分線的交點到三角形三邊的距離相等．故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（

）A．的三條中線的交點B．三邊的垂直平分線的交點C．三條角平分線的交點D．三條高所在直線的交點【答案】C【分析】根據(jù)題意，想到角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以要選角平分線的交點．【詳解】∵要使涼亭到草坪三邊的距離相等，∴涼亭應(yīng)在三條角平分線的交點處．故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，需要注意區(qū)分三角形中線的交點、高的交點、垂直平分線的交點以及角平分線的交點之間的區(qū)別．4．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，若PR＝PS，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）（1）PQ＝PB；（2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC（4）∠C＝∠SPCA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上可得AP平分∠BAC，由直角三角形全等的判定方法得出Rt△ARP≌Rt△ASP，從而判斷出（2）正確；根據(jù)由一組邊相等和一組角相等無法判斷△BRP≌△PSC，從而判斷出（3）錯誤；同（3）也無法判斷△BRP≌△PSQ，所以PQ≠PB，從而判斷出（1）錯誤；△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以∠C與∠SPC不一定相等，從而判斷出（4）錯誤.【詳解】連接AP，∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴點P在∠A的平分線上，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴∠SAP＝∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，，∴Rt△ARP≌Rt△ASP，（HL），∴AR＝AS，∴（2）正確；∵PR＝PS，∠PRB＝∠PSC＝90°，∴無法判斷△BRP≌△PSC，故（3）錯誤；∵∠PRB＝∠PSQ＝90°，PR＝PS，無法判斷△BRP≌△PSQ，∴PQ≠PB，故（1）錯誤；∵△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，∴∠C與∠SPC不一定相等，故（4）錯誤；故選A．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì).5．（2022·上?！ぐ四昙夐_學(xué)考試）下列命題中，其逆命題是假命題的是（

）A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等B．對頂角相等C．在一個三角形中，相等的角所對的邊也相等D．到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上【答案】B【分析】根據(jù)平行線、對頂角、等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定定理逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、兩直線平行，內(nèi)錯角相等的逆命題是內(nèi)錯角相等，兩直線平行，逆命題是真命題，不符合題意；B、對頂角相等的逆命題是相等的兩個角是對頂角，逆命題是假命題，符合題意；C、在一個三角形中，相等的角所對的邊也相等的逆命題是在一個三角形中，相等的邊所對的角也相等，逆命題是真命題，不符合題意；D、到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上的逆命題是角的平分線上的點到角的兩邊距離相等，逆命題是真命題，不符合題意；故選：B【點睛】本題主要考查了平行線、對頂角、等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定定理，真假命題，命題的逆定理，熟練掌握平行線、對頂角、等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定定理，真假命題，命題的逆定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，過D作DE∥AB交BC于點E，若點F在AB上，且滿足DF＝DE，則∠DFB的度數(shù)為（）A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°【答案】C【分析】如圖，證明∠DFB=∠DEB，此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；求出∠DEB=130°，即可解決問題．【詳解】過點作，如圖，DF=DF′=DE；∵BD平分∠ABC，，，△BDE≌△BDF，∴∠DFB=∠DEB；∵DE∥AB，∠ABC=40°，∴∠DEB=180°?40°=140°；∴∠DFB=140°；當(dāng)點F位于點F′處時，∵DF=DF′，∴∠DF′B=∠DFF′=40°.故選：C【點睛】本題考查的知識點是等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)．7．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，則AC長是(

)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得AC邊上的高，再由S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．【詳解】解：作DF⊥AC于F，如圖：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴，∴AC=4．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．二、填空題8．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=84°，三條角平分線交于點O，D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，則∠BCA的度數(shù)為____________．【答案】54°【分析】由角平分線的定義得∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，邊角邊證明△BCO≌△DCO，其性質(zhì)求得∠CBO＝∠D；等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理求得∠BCA的度數(shù)為54°．【詳解】解：∵AO、BO、CO是△ABC三個內(nèi)角的平分線，∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，在△BCO和△DCO中，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO＝∠D，又∵∠BAC＝84°，∴∠CAO＝∠BAC＝×84°＝42°，又∵AD＝AO，∴∠D＝∠AOD，又∵∠CAO＝∠D＋∠AOD，∴∠D＝∠CAO＝×42°＝21°，∴∠CBO＝21°，∴∠CBA＝42°，又∵∠BAC＋∠ABC＋∠BCA＝180°，∴∠BCA＝180°?84°?42°＝54°，故答案為：54°．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理等相關(guān)知識點，重點掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．9．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┤鐖D，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC與∠ACD互補(bǔ)，CD=8，則BC的長為_____________．【答案】16【分析】延長AB交CD的延長線于點E，由題意易得CD=DE，進(jìn)而可證CE=CB，然后進(jìn)行求解即可．【詳解】解：延長AB交CD的延長線于點E，如圖所示：∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，∴∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC，∴∠E=∠ACD，ED=DC，又∵∠ABC+∠ACD=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠E=∠ACD=∠EBC，∴BC=EC=2DC，∵DC=8，∴BC=EC=16；故答案為16．【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的_____．【答案】角平分線【分析】根據(jù)角平分線的判定可知．【詳解】解：根據(jù)角平分線的判定可知：平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的角平分線，故答案為：角平分線．【點睛】本題考查了角平分線的判定，解題關(guān)鍵是明確在角的內(nèi)部（包括頂點）到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．11．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作，分別交AB、AC于點E、F．若AB＝5，AC＝4，那么△AEF的周長為__．【答案】9【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，進(jìn)而可知∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，由等角對等邊得EO＝BE，OF＝FC，然后計算三角形的周長即可．【詳解】解：∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，∴EO＝BE，OF＝FC，∴的周長為，故答案為：9．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角對等邊．解題的關(guān)鍵在于明確EO＝BE，OF＝FC．12．（2021·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，已知在中，CD是AB邊上的高線，BE平分，交CD于點E，，，則的面積等于___________．【答案】5【分析】過作于點，由角平分線的性質(zhì)可求得，則可求得的面積．【詳解】解：過作于點，是邊上的高，平分，，，故答案為：5．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．13．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖，已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，則有___________；反之如果PM=PN，且___________，那么OP平分∠AOB．【答案】

PM=PN

PM⊥OA，PN⊥OB【分析】依據(jù)角平分線的定理和逆定理可知．【詳解】解：OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，反之PM=PN，且PM⊥OA，PN⊥OB，OP平分∠AOB故答案為：PM=PN；PM⊥OA，PN⊥OB【點睛】本題考查角平分線性質(zhì)及其逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．14．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）已知點是的角平分線上的點，，如果，那么點到的距離是_______．【答案】5【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)計算即可；【詳解】解析：依據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等這個定理就可知那么點到的距離是5；故答案是5．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，平分，且，求證：為等腰三角形.【答案】證明見解析【分析】首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，然后根據(jù)平行的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出，即可得證.【詳解】∵平分，∴，∵∴，．∴．∴為等腰三角形．【點睛】此題主要考查平行線和角平分線的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.16．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知：如圖，，、分別平分、，、交于點．求證：．【答案】證明見解析【分析】首先根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得出，，即可得證.【詳解】∵，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵、分別是平分、，∴．∴．∴．∴．【點睛】此題主要考查平行線以及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.17．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知：、相交于，、分別平分、．求證：．【答案】證明見解析【分析】首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出，，然后根據(jù)平角的性質(zhì)列出等式，即可得證.【詳解】∵平分，∴．∵平分，∴．∵，∴．∴．【點睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握，即可解題.18．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點P，連接AP．（1）求證：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）過點C作CE⊥AP，E是垂足，并延長CE交BM于點D．求證：CE=ED．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）過P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出PQ=PS=PT，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)ASA求出△AED≌△AEC即可．【詳解】解：證明：（1）過P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如圖，∵在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點P，∴PQ=PT，PS=PT，∴PQ=PS，∴AP平分∠DAC，即PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED和△AEC中，，∴△AED≌△AEC（ASA），∴CE=ED．【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線并進(jìn)一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．19．（2022·上海·八年級單元測試）尺規(guī)作圖．如圖，已知∠AOB和C、D兩點，求作一點P，使PC=PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等．（不寫畫圖過程，保留作圖痕跡）【答案】作圖詳見解析.【分析】因為點P滿足PC=PD所以點P在線段CD的垂直平分線上，又P到∠AOB兩邊的距離相等，所以點P在∠AOB或∠AOB補(bǔ)角的角平分線上.【詳解】解：根據(jù)題意作圖，得其中，點P和點P’即為所求【能力提升】一、單選題1．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，BM是∠ABC的平分線，點D是BM上一點，點P為直線BC上的一個動點．若△ABD的面積為9，AB＝6，則線段DP的長不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5.5【答案】A【分析】根據(jù)三角形的面積得出DE的長，進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)解答即可．【詳解】過點D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵△ABD的面積為9，AB=6，∴DE=＝3，∵BM是∠ABC的平分線，∴DE=3，∴DP≥3，故選A．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與三角形的面積計算公式．作出輔助線是正確解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┫铝忻}中，是假命題的是（

）A．兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；B．每個命題都有逆命題；C．每個定理都有逆定理；D．在一個角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上．【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定，命題與定理及角平分線的判定等知識一一判斷即可．【詳解】解：A．兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形，符合兩三角形的判定定理“SAS”；故本選項是正確；B、每個命題都有逆命題，所以B選項正確；C、每個定理不一定有逆定理，所以C選項錯誤；D、在一個角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上，正確．故選C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，命題與定理以及角平分線的判定方法，熟練利用這些判定定理是解題關(guān)鍵．3．（2020·上海市金山區(qū)教育局八年級期末）已知△ABC內(nèi)一點M，如果點M到兩邊AB、BC的距離相等，那么點M(

)A．在AC邊的高上 B．在AC邊的中線上C．在∠ABC的平分線上 D．在AC邊的垂直平分線上【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)推出M在∠ABC的角平分線上，即可得到答案．【詳解】∵由角平分線上點到角兩邊距離相等的性質(zhì)，∴點M應(yīng)在∠ABC的平分線上．故選C．【點睛】本題主要考查對角平分線的性質(zhì)的理解和掌握，能熟練地利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．4．（2020·上海市曹楊第二中學(xué)附屬學(xué)校八年級期中）如圖，為的外角平分線上一點，過作于，交的延長線于，且滿足，則下列結(jié)論：①≌；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再證明，即可證明Rt△CDE和Rt△BDF全等；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=BF，利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；∠FDE與∠BAC都與∠FAE互補(bǔ)，可得∠FDE=∠BAC，于是可證；利用外角定理得2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB，由Rt△CDE≌Rt△BDF可得∠ABD=∠DCE，BD=DC，故∠DBC=∠DCB，于是可證明∠DAF=∠CBD．【詳解】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，=∵，∴，在Rt△CDE和Rt△BDF中，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，故①正確；∴CE=BF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正確；∵=，∴∠EDF+∠FAE=，∵∠BAC+∠FAE=，∴∠FDE=∠BAC，∵∠FDE=∠BDC，∴∠BDC=∠BAC，故③正確；∵∠FAE是△ABC的外角，∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB，∵Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠ABD=∠DCE，BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴2∠DAF=∠DCE+∠DBC+∠ACB=∠DBC+∠DCB=2∠DBC，∴∠DAF=∠CBD，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④共4個．故選：D．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖判斷出全等的三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于需要二次證明三角形全等．二、填空題5．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，AD是ABC的角平分線，若ABC的面積是48，且AC＝16，AB＝8，則點D到AB的距離是______．【答案】4【分析】過點作于，于，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再利用三角形面積公式得到，然后求出即可．【詳解】解：過點作于，于，如圖，是的角平分線，，，，即，，即點到的距離為4．故答案為：4．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，也考查了三角形面積．6．（2022·上海浦東新·八年級期末）如圖，在中，，三角形的兩個外角和的平分線交于點E．則______．【答案】26°##26度【分析】根據(jù)題意過點作三邊的垂線段，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而判定是的角平分線，根據(jù)角平分線的定義即可求得【詳解】解：如圖，過點作三邊的垂線段，三角形的兩個外角和的平分線交于點E在的角平分線上，即是的角平分線故答案為：【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，證明是的角平分線是解題的關(guān)鍵．7．（2021·上海市建平實驗中學(xué)八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝_____．【答案】【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE＝CD，再求出△BDE是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍解答．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝1，∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE＝．故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系．8．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）在Rt中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點D，且BC=8，BD=5，那么點D到AB的距離是_____【答案】3【分析】作DE⊥AB于E點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可證得DE=CD，即可求解．【詳解】解：如圖，作DE⊥AB于E點．∵∠A的平分線交BC于點D，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3．即點D到AB的距離等于3．故答案為：3．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，正確證得DE=CD以及找到點D到AB的距離是關(guān)鍵．三、解答題9．（2019·上海市風(fēng)華初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠CBE=180°，求證：2AE=AB+AD．【答案】見解析【分析】過C作CF⊥AD于F，由條件可證△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再由條件∠ADC+∠CBE=180°，證△CDF≌△CEB，由全等的性質(zhì)可得DF=EB，再由線段和差可得.【詳解】證明：過C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=∠CEA=90°，∵AC=AC∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠CBE=180°，∠ADC+∠FDC=180°∴∠FDC=∠CBE，∴△FDC≌△EBC，∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE，∴2AE=AB+AD.【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，利用全等知識是解答此題的關(guān)鍵.10．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在△ABC中，AC=6，BC=10．(1)用尺規(guī)在AB邊上求作點P，使點P到∠ACB兩邊的距離相等；（不要求寫出作法和證明，但要求保留作圖痕跡，并寫出結(jié)論）(2)如果△ACP的面積為15，那么△BCP的面積是多少．【答案】(1)見解析(2)25【分析】（1）作∠ACB的角平分線與AB的交點即為點P；（2）如圖：過點P作PE⊥CA延長線于點E，PF⊥BC于點F，然后證得，最后代入計算即可．（1）解：如圖：點P即為所求；（2）解：如圖：過點P作PE⊥CA延長線于點E，PF⊥BC于點F∵CP平分∠ACB，∴PE=PF，∴∵=15∴∴=25．【點睛】本題主要考查了作角平分線、角平分線的性質(zhì)定理等知識點，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)．11．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AB中點，ED∥BC，且與∠ABC的平分線BD交于點D，聯(lián)結(jié)AD．(1)求證：AD⊥BD；(2)記BD與AC的交點為F，求證：BF＝2AD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，可證；（2）由“”可證，可得，由“”可證，可得．（1）解：證明：為中點，，平分，，，，，，，，，，，；（2）解：延長，交于點，在和中，，，，，，，，在和中，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形．12．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖：已知BAC=30°，AT平分BAC，TE∥AC．（1）求證：是等腰三角形；（2）若，垂足為點D，AE=4cm，求TD的長．【答案】（1）見解析；（2）2cm【分析】（1）根據(jù)角平分線可得∠EAT=∠TAD，利用平行可得∠TAD=∠ETA，再利用等量代換即可得到∠EAT=∠ETA，進(jìn)而證得是等腰三角形．（2）AT平分BAC，依據(jù)角平分線定理可得DT=TF在RT△TFE中，ET=4cm，∠FET=30°，則TF=2cm，則TD=2cm．【詳解】解：（1）∵AT平分BAC．∴∠EAT=∠TAD．∵TE∥AC．∴∠TAD=∠ETA．∴∠EAT=∠ETA．∴是等腰三角形．（2）過點T作TFAB，垂足點F，∵AT平分BAC，TFAB，．∴據(jù)角平分線定理可得DT=TF．∵在RT△TFE中，ET=4cm，∠FET=30°，則TF=2cm，∴TD=2cm．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，如何利用角平分線性質(zhì)作出輔助線是解決此問題的關(guān)鍵．13．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.求證：AB=AC+CD．【答案】見解析【分析】根據(jù)已知AC=BC，∠C=90，可得出DE=EB，再利用AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，可證明△ACD≌△AED，然后利用全等三角形的對應(yīng)邊相等和等量代換即可證明AB=AC+CD．【詳解】證明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90