2.2 充分條件、必要條件、充要條件【導學案學生版】

高中數學精選資源2/2第2章 常用邏輯用語第02講充分條件、必要條件、充要條件目標導航目標導航課程標準重難點1、理解充分條件、必要條件、充要條件的定義．2、會求某些簡單問題成立的充分條件、必要條件、充要條件．3、能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要條件的證明．1．通過對典型數學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質定理與充分條件和必要條件的關系2．通過對典型數學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質定理與充要條件的關系3．熟練判斷命題間的關系4．根據命題關系求參數范圍或參數值知識精講知識精講充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關系p?qp?q條件關系p是q的條件q是p的條件p不是q的條件q不是p的條件定理關系判定定理給出了相應數學結論成立的充分條件性質定理給出了相應數學結論成立的必要條件【特別提醒】對充分條件和必要條件的理解：(1)對“推出”的正確理解：對于命題p：∠A＝30°，q：sinA＝.顯然p可以推出q，記為p?q，而q是不能推出p的．(2)若p?q，則p是q的充分條件．所謂充分，就是說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的．“有之必成立，無之未必不成立”．(3)若p?q，則q是p的必要條件．所謂必要，就是條件是必須有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，無之必不成立”．（4）以下五種表述形式是等價的：①p?q；②p是q的充分條件；③q的充分條件是p；④q是p的必要條件；⑤p的必要條件是q。充要條件(1)如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們就說p是q的充分必要條件，簡稱為條件．(2)如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．【特別提醒】（1）若p是q的充要條件，則p?q，即命題p和q是兩個相互等價的命題。（2）“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別是：若p是q的充要條件說明p是條件，q是結論；若p的充要條件是q說明q是條件，p是結論．一、充分必要充分必要二、充要能力拓展能力拓展考法01充分條件的判斷充分條件的判斷方法(1)判定p是q的充分條件要先分清什么是p，什么是q，即轉化成p?q問題．(2)除了用定義判斷充分條件還可以利用集合間的關系判斷，若p構成的集合為A，q構成的集合為B，A?B，則p是q的充分條件．例1下列命題中，p是q的充分條件的是________例1①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：兩個三角形面積相等，q：兩個三角形全等；③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0無實根．【跟蹤訓練】“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________條件．考法02必要條件的判定(1)判斷p是q的什么條件，主要判斷若p成立時，能否推出q成立，反過來，若q成立時，能否推出p成立；若p?q為真，則p是q的充分條件，若q?p為真，則p是q的必要條件．(2)也可利用集合的關系判斷，如條件甲“x∈A”，條件乙“x∈B”，若A?B，則甲是乙的必要條件．例2在以下各題中，分析p與q的關系：例2(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；(2)p：一個四邊形的四個角都相等，q：四邊形是正方形．【跟蹤訓練】下列p是q的必要條件的是()A．p：a＝1，q：|a|＝1B．p：－1<a<1，q：a<1C．p：a<b，q：a<b＋1D．p：a>b，q：a>b＋1考法03根據充分條件或必要條件求參數的范圍充分條件與必要條件的應用技巧(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．例3已知p：實數x滿足3a<x<a，其中a<0；q：實數x滿足－2≤x≤3.若p是q的充分條件，求實數a例3【跟蹤訓練】變式1.（變條件）將本例中條件p改為“實數x滿足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要條件，求實數a的取值范圍．變式2.（變條件）將例題中的條件“q：實數x滿足－2≤x≤3”改為“q：實數x滿足－3≤x≤0”其他條件不變，求實數a的取值范圍．考法04充分必要條件的判定定義法判斷充分條件、必要條件（1）確定誰是條件，誰是結論（2）嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件（3）嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件.例4指出下列各題中p是q例4(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等．(3)p：a＞b，q：ac＞bc.【跟蹤訓練】指出下列各組命題中，p是q的什么條件．(1)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是平行四邊形．(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.考法05充要條件的證明充要條件的證明策略（1）要證明一個條件p是否是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個方向進行，即證明兩個命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真.（2）在證明的過程中也可以轉化為集合的思想來證明，證明p與q的解集是相同的，證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結論.提醒：證明時一定要注意，分清充分性與必要性的證明方向.例5求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c例5【跟蹤訓練】求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac＜0.考法06充分條件與必要條件的應用充分條件與必要條件的應用技巧(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．(3)關鍵點：利用充分條件、必要條件求參數的取值范圍的關鍵就是找出集合間的包含關系，要注意范圍的臨界值．例6已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實數m例6【跟蹤訓練】變式1.（變條件）若本例中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”，其他條件不變，求實數m的取值范圍．變式2.（變設問）本例中p，q不變，是否存在實數m使p是q的充要條件？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．有以下說法，其中正確的個數為（）（1）“m是自然數”是“m是整數”的充分條件.（2）“兩個三角形對應角相等”是“這兩個三角形全等”的必要條件.（3）“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要條件.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．“”是二次函數經過原點”的（）A．充分條件B．必要條件C．既是充分條件也是必要條件D．既不是充分條件也不是必要條件3．對于實數，“”是“”的（）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要4．已知p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，下列命題正確的是（）A．r是q的充分不必要條件 B．p是q的充分不必要條件C．r是q的必要不充分條件 D．r是s的充分不必要條件5．“>1”的一個充分不必要條件是（）A．x>y B．x>y>0C．x<y D．y<x<06．若非空集合A，B，C滿足A∪B=C，且B不是A的子集，則（）A．“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件B．“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件C．“x∈C”是“x∈A”的充分條件也是“x∈A”的必要條件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是“x∈A”的必要條件7．是成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．有限集合中元素的個數記作，設都為有限集合，給出下列命題：①的充要條件是；②的必要條件是；③不是的子集的充分條件是④的充要條件是其中真命題的序號是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②③題組B能力提升練1．王昌齡《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知條件，條件關于x的一元二次方程有實數解．則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條3．已知，集合．若是的必要條件，則實數m的取值可以是（）A． B．1 C．3 D．54．設．若是的必要不充分條件，則實數可以是（）A． B． C． D．5．若不等式成立的充分不必要條件是，則實數的取值范圍是________．6．已知，，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是____________．7．設集合，（1）請寫出一個集合，使“”是“”的充分條件，但“”不是“”的必要條件；（2）請寫出一個集合，使“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件．8．設：實數滿足，：實數滿足.（1）若為真命題，求實數的取值范圍；（2）若是的充分條件，求實數的取值范圍.題組C培優(yōu)拔尖練1．已知，恒成立，則的一個充分不必要條件可以是（）A． B． C． D．2．下列四個條件中可以作為方程有實根的充分不必要條件是（）A．a=0 B． C． D．3．已知關于x的方程，則下列結論中正確的是（）A．方程有一個正根一個負根的充要條件是B．方