廣西大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

廣西大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某公司有1000名員工，其中：高層管理人員為50名，屬于高收入者；中層管理人員為150名，屬于中等收入者；一般員工為800名，屬于低收入者．要對(duì)這個(gè)公司員工的收入情況進(jìn)行調(diào)查，欲抽取100名員工，應(yīng)當(dāng)抽取的一般員工人數(shù)為（）A.100 B.15C.80 D.502．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)取最大時(shí)的值為（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足．若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.， B.C.， D.4．已知函數(shù)滿(mǎn)足，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.5．已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，n的最大值是（）A.8 B.9C.10 D.116．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)B到直線(xiàn)的距離為（）A. B.C. D.7．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.8．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.9．設(shè)AB是橢圓（）的長(zhǎng)軸，若把AB一百等分，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)，交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P99，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則的值是（）A. B.C. D.10．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-311．已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則在處的切線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)，若的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，則此雙曲線(xiàn)的離心率是___________.14．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則_____________.15．如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中，則點(diǎn)D到平面ACE的距離為_(kāi)_______16．已知點(diǎn)，，，則外接圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)是圓與x軸的交點(diǎn)，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于圓O的直徑（1）求橢圓C的方程；（2）F為橢圓C的右焦點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B在線(xiàn)段FA上，直線(xiàn)BD，BE與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)分別是D，E，直線(xiàn)BD與直線(xiàn)BE的傾斜角互補(bǔ)，直線(xiàn)BD與圓O相切，設(shè)直線(xiàn)BD的斜率為．當(dāng)時(shí)，求k18．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，且E上一點(diǎn)P到F的最大距離3（1）求橢圓E的方程；（2）若A，B為橢圓E上的兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB過(guò)點(diǎn)F，且其垂直平分線(xiàn)交x軸于H點(diǎn)，，求19．（12分）如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.20．（12分）已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)足.（1）求角的大??；（2）若，，，求的長(zhǎng).21．（12分）某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語(yǔ)類(lèi)節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個(gè)城市，得到觀(guān)看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示：其中一個(gè)數(shù)字被污損.（1）求東部各城市觀(guān)看該節(jié)目觀(guān)眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀(guān)看該節(jié)目觀(guān)眾平均人數(shù)的概率.（2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀(guān)眾對(duì)成語(yǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)積累的熱情，從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀(guān)看該節(jié)目的觀(guān)眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀(guān)眾的周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間（單位：小時(shí)）與年齡（單位：歲），并制作了對(duì)照表（如下表所示）年齡（歲）20304050周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間（小時(shí)）2.5344.5由表中數(shù)據(jù)，試求線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)年齡為55歲觀(guān)眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間.參考公式：，.22．（10分）已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，m為實(shí)數(shù)（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)，求m的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限時(shí)，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】按照比例關(guān)系，分層抽取.【詳解】由題意可知，所以應(yīng)當(dāng)抽取的一般員工人數(shù)為.故選：C2、B【解析】由已知條件及等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求基本量，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷取最大時(shí)的值.【詳解】令公差為，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：B3、D【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，再結(jié)合題意得數(shù)列單調(diào)遞增，且滿(mǎn)足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，由于數(shù)列滿(mǎn)足，所以對(duì)任意的都成立，故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿(mǎn)足，，所以，解得故選：4、A【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的定義求解，然后求解切線(xiàn)的斜率即可【詳解】解：函數(shù)，可得，，可得，即，所以，可得，解得，所以，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為故選：A5、B【解析】先求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和求出，再對(duì)進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列所以因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以由得：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以n的最大值是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用分組求和求出，再通過(guò)賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.6、A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，取，，利用向量法，根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，取，，則，，則點(diǎn)B到直線(xiàn)AC1的距離為.故選：A7、B【解析】根據(jù)空間向量的基本定理及向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】連接,因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B8、D【解析】先求定義域，再求導(dǎo)數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榱?，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.9、D【解析】根據(jù)橢圓的定義，寫(xiě)出，可求出的和，又根據(jù)關(guān)于縱軸成對(duì)稱(chēng)分布，得到結(jié)果詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F2，由橢圓的定義知，2，，，由題意知，，，關(guān)于軸成對(duì)稱(chēng)分布，又，故所求的值為故選：D10、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出基本量，再由即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A11、A【解析】根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，再探討其單調(diào)性并借助單調(diào)性判斷作答.【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞減，而，則，即，所以，故選：A12、A【解析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得，可求出，求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值即為切線(xiàn)斜率，即可求出切線(xiàn)方程.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，，即，解得，，則，，且，切線(xiàn)方程為，整理得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】計(jì)算點(diǎn)漸近線(xiàn)的距離，從而得，由勾股定理計(jì)算，由雙曲線(xiàn)定義列式，從而計(jì)算得，即可計(jì)算出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)為，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，由可知，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，即垂直平分線(xiàn)段，所以到漸近線(xiàn)的距離為，可得，所以，由雙曲線(xiàn)定義可知，，即，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】雙曲線(xiàn)的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線(xiàn)的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)14、30【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得，，也成等比，即可求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，構(gòu)成首項(xiàng)為10，公比為1的等比數(shù)列，所以【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】建立合適空間直角坐標(biāo)系，分別表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解出平面的一個(gè)法向量，利用公式求解出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)E，OB所在的直線(xiàn)為x軸、y軸，過(guò)垂直于平面的方向?yàn)檩S，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面ACE的法向量，則，即，令，∴故點(diǎn)D到平面ACE的距離.故答案：.16、【解析】求得的垂直平分線(xiàn)的方程，在求得垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則問(wèn)題得解.【詳解】線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線(xiàn)段斜率為，所以線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的斜率為，故線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，即.線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線(xiàn)段斜率為，所以線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的斜率為，故線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，即.由.所以外接圓的圓心坐標(biāo)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)方程的求解，直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）-1【解析】（1）由題設(shè)可得，求出參數(shù)b，即可寫(xiě)出橢圓C的方程；（2）延長(zhǎng)線(xiàn)段DB交橢圓C于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性設(shè)B，為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合已知條件可得，直線(xiàn)與圓相切可得，進(jìn)而求參數(shù)t，即可求直線(xiàn)BD的斜率.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A與x軸的交點(diǎn)分別為，，所以橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，∴，根據(jù)條件得，∴，故橢圓C的方程為【小問(wèn)2詳解】延長(zhǎng)線(xiàn)段DB交橢圓C于點(diǎn)，因直線(xiàn)BD與直線(xiàn)BE的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得由條件可設(shè)B的坐標(biāo)為，設(shè)D，的縱坐標(biāo)分別為，，直線(xiàn)的方程為，由于，即，所以由得：∴，∴①，②，由①得：，代入②得，∴∵直線(xiàn)與圓相切，∴，即∴，解得，又，∴，故，即直線(xiàn)BD斜率【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將已知線(xiàn)段的長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化為D，的縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，設(shè)直線(xiàn)的含參方程，聯(lián)立橢圓方程及其與圓的相切求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求參數(shù)即可.18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)離心率和最大距離建立等式即可求解；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)，求出直線(xiàn)方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.【詳解】（1）橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，且E上一點(diǎn)P到F的最大距離3，所以，所以，所以橢圓E的方程；（2）A，B為橢圓E上的兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB過(guò)點(diǎn)F，且其垂直平分線(xiàn)交x軸于H點(diǎn)，所以線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)斜率一定存在，所以設(shè)該直線(xiàn)方程代入，整理得：，設(shè)，，，整理得：，當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)，中垂線(xiàn)方程：，；當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)，中垂線(xiàn)方程：，，綜上所述：.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)勾股定理先證明，然后證明，進(jìn)而通過(guò)線(xiàn)面垂直的判定定理證明問(wèn)題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過(guò)空間向量的夾角公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，，，∴平面.【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，有取，可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，有取，可得平面的一個(gè)法向量為，所以，故平面與平面的夾角的正弦值為.20、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理化邊為角后，結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得；（2）用表示出，然后平方由數(shù)量積的運(yùn)算求得向量的模（線(xiàn)段長(zhǎng)度）【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即，因?yàn)?，所以，，∵，故；?）由，得，所以，所以.21、（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】（1）先根據(jù)兩個(gè)平均值的大小得到的取值范圍，再利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解；（2）先利用最小二乘法求出線(xiàn)性回歸方程，再利用方程進(jìn)行預(yù)測(cè).試題解析：（1）設(shè)被污損的數(shù)字為，則的所有可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10種等可能結(jié)果，令，解得，則滿(mǎn)足“