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文檔簡介
2025屆湖北省宜昌市一中、恩施高中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖所示,為了測量A,B處島嶼的距離,小張?jiān)贒處觀測,測得A,B分別在D處的北偏西、北偏東方向,再往正東方向行駛10海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西方向,則A,B兩處島嶼間的距離為()海里.A. B.C. D.102.已知是定義在上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,且,且,則不等式的解集為()A. B.C. D.3.已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()A. B.C. D.4.已知函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)在,上均為增函數(shù),則的取值范圍是A. B.C. D.5.在流行病學(xué)中,基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入,同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下,一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù),平均感染周期為4天,那么感染人數(shù)超過1000人大約需要()(初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染,這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染)A.20天 B.24天C.28天 D.32天6.已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn),則的最小值為()A. B.2C. D.37.已知函數(shù),則下列判斷正確的是()A.直線與曲線相切B.函數(shù)只有極大值,無極小值C.若與互為相反數(shù),則的極值與的極值互為相反數(shù)D.若與互為倒數(shù),則的極值與的極值互為倒數(shù)8.已知圓的圓心在x軸上,半徑為1,且過點(diǎn),圓:,則圓,的公共弦長為A. B.C. D.29.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且對(duì)任意正整數(shù)n都有,若,則()A.2019 B.2020C.2021 D.202210.如圖,雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,,過作直線與C及其漸近線分別交于Q,P兩點(diǎn),且Q為的中點(diǎn).若等腰三角形的底邊的長等于C的半焦距.則C的離心率為()A. B.C. D.11.復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若,則()A.19 B.21C.23 D.38二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,則x0=________14.已知滿足的雙曲線(a,b>0,c為半焦距)為黃金雙曲線,則黃金雙曲線的離心率為______15.拋物線的準(zhǔn)線方程是___________.16.寫出同時(shí)滿足以下三個(gè)條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式______.①不是等差數(shù)列,②是等比數(shù)列,③是遞增數(shù)列三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線l過定點(diǎn)(1)若直線l與直線垂直,求直線l的方程;(2)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的方程18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合(1)求橢圓的離心率;(2)求拋物線的方程;(3)設(shè)是拋物線上一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo)19.(12分)某校高二年級(jí)全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測試,學(xué)校利用簡單隨機(jī)抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績(單位:分)得到如下莖葉圖,若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.(1)求出莖葉圖中m和n的值:(2)若從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名,求此兩人都來自甲班的概率.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的極值;(2)當(dāng)時(shí),,求a的取值范圍.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),橢圓E:過點(diǎn),離心率為(1)求E的方程;(2)設(shè)直線(k∈R)與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)M,使得對(duì)任意實(shí)數(shù)k,直線AM,BM的斜率乘積為定值?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由22.(10分)已知橢圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn),且長軸長為4(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線,分別經(jīng)過點(diǎn)與C相切,切點(diǎn)分別為A,B,證明:
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分別在和中,求得的長度,再在中,利用余弦定理,即可求解.【詳解】如圖所示,可得,所以,在中,可得,在直角中,因?yàn)椋?,在中,由余弦定理可得,所?故選:C.2、B【解析】令,再結(jié)合,和已知條件將問題轉(zhuǎn)化為,最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解:令,則,因?yàn)?,所以,即函?shù)為上的增函數(shù),因?yàn)?,不等式可化為,所以,故不等式的解集為故選:B3、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程得a和b的關(guān)系,根據(jù)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上得c的值,結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程是,∴,∵準(zhǔn)線方程是,∴,∵,∴,,∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為:.故選:A.4、A【解析】由,函數(shù)在上均為增函數(shù),恒成立,,設(shè),則,又設(shè),則滿足線性約束條件,畫出可行域如圖所示,由圖象可知在點(diǎn)取最大值為,在點(diǎn)取最小值.則的取值范圍是,故答案選A考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),簡單的線性規(guī)劃5、B【解析】根據(jù)題意列出方程,利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù),得到指數(shù)方程,求得近似解,然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為,經(jīng)過n輪傳染,總共感染人數(shù)為:即,解得,所以感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要24天,故選:B【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用,尤其需要注意的是,在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),應(yīng)該要分類討論,有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程6、D【解析】求出拋物線C的準(zhǔn)線l的方程,過A作l的垂線段,結(jié)合幾何意義及拋物線定義即可得解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線l:,顯然點(diǎn)A在拋物線C內(nèi),過A作AM⊥l于M,交拋物線C于P,如圖,在拋物線C上任取不同于點(diǎn)P的點(diǎn),過作于點(diǎn)N,連PF,AN,,由拋物線定義知,,于是得,即點(diǎn)P是過A作準(zhǔn)線l的垂線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí),取最小值,所以的最小值為3.故選:D7、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),通過在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為該點(diǎn)處切線的斜率,求出切線方程,并且判斷出極值,通過結(jié)合與互為相反數(shù),若與互為倒數(shù),分別判斷的極值與的極值是否互為相反數(shù),以及是否互為倒數(shù).【詳解】,,令,得,所以,因?yàn)?,,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,故A錯(cuò);當(dāng)時(shí),存在使,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即有極小值,無極大值,故B錯(cuò)誤;設(shè)為的極值點(diǎn),則,且,所以,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故C正確,D錯(cuò)誤.8、A【解析】根據(jù)題意設(shè)圓方程為:,代點(diǎn)即可求出,進(jìn)而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長.【詳解】設(shè)圓的圓心為,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,將點(diǎn)代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關(guān)系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時(shí),常利用垂徑定理解決問題.9、C【解析】先令代入中,求得,再根據(jù)遞推式得到,將與已知相減,可判斷數(shù)列是等比數(shù)列,進(jìn)而確定,求得答案.【詳解】因?yàn)?,令,則,又,故,即,故數(shù)列是等比數(shù)列,則,所以,所以,故選:C.10、C【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得,再根據(jù)雙曲線定義以及勾股定理列方程,解得離心率.【詳解】連接,由為等腰三角形且Q為的中點(diǎn),得,由知.由雙曲線的定義知,在中,,(負(fù)值舍去)故選:C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.11、C【解析】化簡復(fù)數(shù),根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義,即可求解.【詳解】由題意,復(fù)數(shù),所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第三象限.故選:C.12、A【解析】由已知及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到公差d,再利用前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由已知,得,解得,所以.故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】f(x)=xlnx∴f'(x)=lnx+1則f′(x0)=lnx0+1=2解得:x0=e14、##【解析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線離心率公式可得,結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)即可求離心率.【詳解】由題設(shè),,整理得:,所以,而,故.故答案為:.15、【解析】先根據(jù)拋物線方程求出,進(jìn)而求出準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線為,則,解得:,準(zhǔn)線方程為:.故答案為:16、【解析】由條件②寫出一個(gè)等比數(shù)列,再求出并確保單調(diào)遞增即可作答.【詳解】因是等比數(shù)列,令,當(dāng)時(shí),,,是遞增數(shù)列,令是互不相等的三個(gè)正整數(shù),且,若,,成等差數(shù)列,則,即,則有,顯然、都是正整數(shù),,都是偶數(shù),于是得是奇數(shù),從而有不成立,即,,不成等差數(shù)列,數(shù)列不成等差數(shù)列,所以.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或【解析】(1)求出直線的斜率可得l的斜率,再借助直線點(diǎn)斜式方程即可得解.(2)按直線l是否過原點(diǎn)分類討論計(jì)算作答.【小問1詳解】直線的斜率為,于是得直線l的斜率,則,即,所以直線l的方程是:.【小問2詳解】因直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí),直線l的方程為:,即,當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)其方程為:,則有,解得,此時(shí),直線l的方程為:,所以直線l的方程為:或.18、(1);(2);(3)【解析】(1)由橢圓方程即可求出離心率.(2)求出橢圓的焦點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn),即可求出答案.(3)由拋物線定義可求出點(diǎn)的坐標(biāo)【小問1詳解】由題意可知,.【小問2詳解】橢圓的右焦點(diǎn)為,故拋物線的焦點(diǎn)為.拋物線的方程為.【小問3詳解】設(shè)的坐標(biāo)為,,解得,.故的坐標(biāo)為.19、(1),(2)【解析】(1)根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為,由此能求出,根據(jù)由,且,能求出.(2)甲班86分以上有2人,乙班86分以有2人,從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名,用列舉法寫出基本事件總數(shù),再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86,則,又∵,且故【小問2詳解】由(1)可知,甲班86分以上有2人,乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為,,乙班86分以上2人為,,從中任取兩名同學(xué)共有,,,,,共有6組基本事件,且每組出現(xiàn)都是等可能的記:“從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名,兩人都來自甲班”為事件M,事件M包括:共1個(gè)基本事件,由古典概型的計(jì)算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為20、(1)極大值,沒有極小值(2)【解析】(1)把代入,然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,即可得解;(2)構(gòu)造函數(shù),將不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行分類討論,其中當(dāng)和時(shí)易判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最小值,而當(dāng)時(shí),的最小值與0進(jìn)一步判斷【小問1詳解】當(dāng)時(shí),的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).故有極大值,沒有極小值.【小問2詳解】當(dāng)時(shí),恒成立等價(jià)于對(duì)于任意恒成立.令,則.若,則,所以在上單調(diào)遞減,所以,符合題意.若,所以在上單調(diào)遞減,,符合題意.若,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,不合題意.綜上可知,a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查了不等式恒成立問題,其關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),通過討論參數(shù)在不同取值范圍時(shí)函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值,解出參數(shù)的范圍.必要時(shí)二次求導(dǎo).21、(1)(2)存在,或者【解析】(1)由離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)列出方程組,求出,得到橢圓方程;(2)假設(shè)存在,設(shè)出直線,聯(lián)立橢圓,利用韋達(dá)定理得到兩根之和,兩根之積,結(jié)合斜率乘積為定值得到關(guān)于的方程,求出答案.【小問1詳解】由題可得,,①由,得,即,則,②將②代入①,解得,,故E的方程為【小問2詳解】設(shè)存在點(diǎn)滿足條件
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