山東省菏澤市東明縣第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

山東省菏澤市東明縣第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.2．設(shè)，則A.2 B.3C.4 D.53．若橢圓的弦恰好被點(diǎn)平分，則所在的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.4．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)AB距離的最大值為（）A. B.C. D.5．已知等比數(shù)列{an}中，，，則（）A. B.1C. D.46．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為6π，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.7．已知拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，點(diǎn)為切點(diǎn).若的面積不大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.9．動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和是，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線(xiàn)C.線(xiàn)段 D.不能確定10．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-311．在三棱錐中，，D為上的點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.12．設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有，若，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，以a為半徑的圓與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn).若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)__________.14．已知遞增數(shù)列共有2021項(xiàng)，且各項(xiàng)均不為零，，如果從中任取兩項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，仍是數(shù)列中的項(xiàng)，則的范圍是________________，數(shù)列的所有項(xiàng)和________15．設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿(mǎn)足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，則a與b的大小關(guān)系為_(kāi)_______16．已知雙曲線(xiàn)與橢圓有公共的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線(xiàn)段為直徑的圓與雙曲線(xiàn)C及其漸近線(xiàn)在第一象限內(nèi)分別交于M，N兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在另一條漸近線(xiàn)上，則的面積為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）設(shè)函數(shù)，，，求證：.18．（12分）一位父親在孩子出生后，每月給小孩測(cè)量一次身高，得到前7個(gè)月的數(shù)據(jù)如下表所示．月齡1234567身高（單位：厘米）52566063656870（1）求小孩前7個(gè)月的平均身高；（2）求出身高y關(guān)于月齡x的回歸直線(xiàn)方程（計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分）；（3）利用（2）的結(jié)論預(yù)測(cè)一下8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高參考公式：19．（12分）已知橢圓的焦距為4，點(diǎn)在G上.（1）求橢圓G方程；（2）過(guò)橢圓G右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓G交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線(xiàn)l的方程.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線(xiàn)上點(diǎn)都在軸及其右側(cè)，且曲線(xiàn)上的任一點(diǎn)到軸的距離比它到圓的圓心的距離小1（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于點(diǎn)，若,求面積21．（12分）如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）記,的面積分別為，求的取值范圍；（3）若的重心在圓上，求直線(xiàn)的斜率.22．（10分）已如空間直角標(biāo)系中，點(diǎn)都在平面內(nèi)，求實(shí)數(shù)y的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】結(jié)合基本不等式的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，時(shí)，為負(fù)數(shù)，A錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，，，但不存在使成立，所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，，，，但不存在使成立，所以D錯(cuò)誤.故選：C2、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，進(jìn)而可得到.【詳解】，則，故，選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題3、D【解析】判斷點(diǎn)M與橢圓的位置關(guān)系，再借助點(diǎn)差法求出直線(xiàn)AB的斜率即可計(jì)算作答.【詳解】顯然點(diǎn)橢圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點(diǎn)平分，即，則直線(xiàn)AB的斜率，直線(xiàn)AB：，即，所以所在的直線(xiàn)方程為.故選：D4、A【解析】判斷圓與的位置并求出直線(xiàn)AB方程，再求圓心C到直線(xiàn)AB距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線(xiàn)AB方程為：，圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線(xiàn)AB距離的距離，所以圓C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)AB距離的最大值為.故選：A5、D【解析】設(shè)公比為，然后由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求出，從而可求出，【詳解】設(shè)公比為，因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故選：D6、D【解析】設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意得到和，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓C的離心率為，可得，又由，即，解得，又因?yàn)闄E圓的面積為，可得，即，聯(lián)立方程組，解答，所以橢圓方程為.故選：D.7、C【解析】由題意，設(shè)，直線(xiàn)方程為，則由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，再聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求出，進(jìn)而可得，結(jié)合即可得答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的性質(zhì)：在拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，設(shè)，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，在點(diǎn)B處的切線(xiàn)方程為，因?yàn)閮蓷l切線(xiàn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，所以直線(xiàn)的方程為，即，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程有，消去得，由得，，由韋達(dá)定理得，所以弦長(zhǎng)，所以，整理得，即，解得，又所以.故選：C.8、B【解析】根據(jù)空間向量的基本定理及向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】連接,因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B9、A【解析】根據(jù)橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據(jù)橢圓定義可得，P點(diǎn)的軌跡為橢圓，故選：A10、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出基本量，再由即可得答案.【詳解】因?yàn)?，，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A11、B【解析】根據(jù)幾何關(guān)系以及空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可解出【詳解】因?yàn)?，所以，即故選：B12、C【解析】設(shè)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，又，，，即可得出答案【詳解】解：設(shè)，則，又因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，又，，，因?yàn)?，所以，所?故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過(guò)F作，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離可求出，再根據(jù)勾股定理可得，，由可得，即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖，過(guò)F作，則E是AB中點(diǎn)，設(shè)漸近線(xiàn)為，則，則在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，則，即，即，則，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的求解，解題的關(guān)鍵是分別表示出，，由建立關(guān)系.14、①.②.1011【解析】根據(jù)題意得到，得到，，，，進(jìn)而得到，從而即可求得的值.【詳解】由題意，遞增數(shù)列共有項(xiàng)，各項(xiàng)均不為零，且，所以，所以的范圍是，因?yàn)闀r(shí)，仍是數(shù)列中的項(xiàng)，即，且上述的每一項(xiàng)均在數(shù)列中，所以，，，，即，所以，所以.故答案為：；.15、a＞b【解析】構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)，利用F(x)的單調(diào)性求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上為增函數(shù)，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.故答案為：a＞b.16、【解析】求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，即雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)，即雙曲線(xiàn)的半焦距，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在漸近線(xiàn)上得出的關(guān)系式，從而求得，然后可計(jì)算面積【詳解】由題意橢圓中，即，以線(xiàn)段為直徑的圓的方程為，由，解得（取第一象限交點(diǎn)坐標(biāo)），，雙曲線(xiàn)的不在第一象限的漸近線(xiàn)方程為，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，它在漸近線(xiàn)上，所以，化簡(jiǎn)得，又，所以，雙曲線(xiàn)方程為，則得，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），無(wú)極大值（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)，求得答案；（2）將要證明的不等式變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求其最值，進(jìn)而證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，,由得，列表得：1--0+減減極小值增由上表可知，無(wú)極大值.；【小問(wèn)2詳解】證明：，即證；∵，則，故只需證，即證令，，得，得，∴在上遞增，在上遞減∴，∴，∴.18、（1）62；（2）；（3）74.【解析】（1）直接利用平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（2）套公式求出b、a，求出回歸方程；（3）把x=8代入回歸方程即可求出.【小問(wèn)1詳解】小孩前7個(gè)月的平均身高為.【小問(wèn)2詳解】(2)設(shè)回歸直線(xiàn)方程是.由題中的數(shù)據(jù)可知.，..計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分,所以,于是，所以身高y關(guān)于月齡x的回歸直線(xiàn)方程為.【小問(wèn)3詳解】由(2)知,.當(dāng)x=8時(shí),y=3×8+50=74,所以預(yù)測(cè)8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高為74厘米.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知求出即得橢圓的方程；（2）設(shè)l的方程為，，，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓的方程得到韋達(dá)定理，根據(jù)得到，即得直線(xiàn)l的方程.【小問(wèn)1詳解】解：橢圓的焦距是4，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是，.因?yàn)辄c(diǎn)在G上，所以，所以，.所以橢圓G的方程是.【小問(wèn)2詳解】解：顯然直線(xiàn)l不垂直于x軸，可設(shè)l的方程為，，，將直線(xiàn)l的方程代入橢圓G的方程，得，則，.因?yàn)?，所以，則，即，由，得，.所以，解得，即，所以直線(xiàn)l的方程為.20、（1）（2）【解析】（1）由題意直接列或根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求軌跡方程（2）待定系數(shù)法設(shè)直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，利用韋達(dá)定理解出直線(xiàn)方程，再求面積【小問(wèn)1詳解】解法1：配方法可得圓的方程為，即圓的圓心為，設(shè)的坐標(biāo)為，由已知可得，化簡(jiǎn)得，曲線(xiàn)的方程為解法2：配方可得圓的方程為，即圓的圓心為，由題意可得上任意一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于該點(diǎn)到圓心的距離，由拋物線(xiàn)的定義可得知，點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，所以曲線(xiàn)的方程為【小問(wèn)2詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由，可得的斜率存在，設(shè)為，，過(guò)的直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，可得，設(shè)，的橫坐標(biāo)分別為，，可得，，由拋物線(xiàn)的定義可得，解得，即直線(xiàn)的方程為，可得到直線(xiàn)的距離為，，所以的面積為21、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已知條件得到，，即可得到橢圓的方程.（2）首先設(shè)直線(xiàn)為，與橢圓聯(lián)立得到，根據(jù)得到的范圍，從而