2.2一元二次不等式的解法

2.2一元二次不等式的解法(1)注：1、區(qū)間也是集合的表達(dá)方式之一。

2、a、b叫做區(qū)間的端點(diǎn)。（a<b）一、區(qū)間的概念：同解（不）等式

同解（不）等式：如果兩個(gè)（不）等式的解集相同，那么這兩個(gè)（不）等式叫做同解（不）等式引入汽車在遇到緊急情況時(shí)，即司機(jī)馬上剎車，但由于慣性的作用，剎車后的汽車任會(huì)繼續(xù)往前滑行一段距離后才會(huì)停下，這段距離叫做剎車距離。車速越快，剎車距離越長(zhǎng)，事故發(fā)生的可能性越大。試驗(yàn)表明，某種型號(hào)的汽車當(dāng)速度每小時(shí)小于100千米時(shí)，若行駛在水泥路面上，則汽車的剎車距離s（米）與汽車的速度x（千米/時(shí)）有如下關(guān)系：某次交通事故中，測(cè)得一肇事汽車的剎車距離大于45.5米，問這汽車剎車前的車速情況。根據(jù)題意，得只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，這樣的不等式叫做一元二次不等式。一般形式：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)二、定義不等式怎么解？ax2＋bx＋c=0例1、解一元二次不等式：x2-x-2>0

(x-2)(x+1)>0y=(x-2)(x+1)三、解法代數(shù)解法幾何解法四、練習(xí)解一元二次不等式練習(xí)1：

(1)(x-5)(x+1)<0

(2)(5-x)(x-2)<0

(3)-3x2+x+2<0

(4)3x2-x-1<0例1：五、例題例2：寫出一個(gè)一元二次不等式，使它的解集為

（-1，3）六、思考若不等式ax2+2x+b>0的解集為

(-1,2)，求a,b的值解不等式組-7<x2+8x+8≤-4求解一元二次不等式一般步驟Δ<0的一元二次不等式如何求解？作業(yè)習(xí)題2.2A組1，2，3，4一課一練2.2一元二次不等式的解法(2)例：16-24x≤-9x2例：練習(xí)：P36練習(xí)2.2（2）1，2一看：看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，將不等式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)二算：計(jì)算判別式，進(jìn)而解方程ax2＋bx＋c=0．三畫：畫出二次函數(shù)的大致圖像。四寫：寫出不等式的解集（常用區(qū)間表示）。一、解一元二次不等式的一般步驟

二次函數(shù)△情況一元二次方程一元二次不等式

y=ax2+bx+c(a＞0)△=b2-4acax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0

(a＞0)ax2+bx+c＜0

(a＞0)

圖

像

與

解△＞0△=0△＜0方程無(wú)解不等式解集為R(一切實(shí)數(shù))不等式解集

｛x|x≠x0,

x∈R｝不等式解集為｛x｜x＜x1或x＞x2｝不等式解集為｛x｜x1＜x＜x2}解集為解集為x2=x1=x0=a＜0的情況自己完成

二、典型習(xí)題——逆用解不等式已知不等式ax2+bx+c>0的解集為

(-2,3)，求不等式cx2+ax-b<0的解集。求a,b滿足的條件，使得ax2+2x+b>0的解集為

（1）(-1，2)

（2）(-∞,+∞)三、典型習(xí)題——解不等式組-7<x2+8x+8x2+8x+8≤-42：解不等式組注意：處理不等式組時(shí)要多多使用數(shù)軸練習(xí)主要練一元二次不等式組的解法四、思考

作業(yè)習(xí)題2.2A組5，6，7，8，9習(xí)題2.2B組1,2,3,42.2一元二次不等式的解法應(yīng)用題數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活數(shù)學(xué)是對(duì)生活的一種提煉若水杯中的b克糖水里含有a克糖，如果在添上m克糖，糖水會(huì)變得更甜，試將這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái)，并加以證明例題1、某服裝公司生產(chǎn)的襯衫，每件定價(jià)80元，在某城市年銷售8萬(wàn)件?，F(xiàn)該公司在該市設(shè)立代理商來(lái)銷售襯衫。代理商要收取代銷費(fèi)，代銷費(fèi)為銷售金額的r%（即每銷售100元收取r元）。為此，該襯衫每件價(jià)格要提高到(80/1-r%)元才能保證公司利潤(rùn)，由于提價(jià)每年將少銷售0.62r萬(wàn)件，如果代理商每年收取的代理費(fèi)不少于16萬(wàn)，求r的取值范圍解：據(jù)題意：代理費(fèi)=r%×銷售額銷售額=每件襯衫價(jià)格×銷售襯衫的數(shù)量8-0.62r即3.1r2-41r+100≤0=>100/31≤r≤10因此，所求的r取值范圍是[100/31，10]練習(xí)1某旅店有200張床位，若每床一晚上租金27元，則可全部出租；若將出租收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)每晚提高10的整數(shù)倍，則出租的床位會(huì)將減少10的相應(yīng)倍數(shù)張。若要是該旅店某晚的收入超過(guò)10000元，則每個(gè)床位的出租價(jià)格應(yīng)定在什么范圍內(nèi)？解：設(shè)將出租費(fèi)用提高10的n倍據(jù)題意得不等式:(200-10n)(27+10n)>10000解此不等式得：練習(xí)2某廠計(jì)劃全年完成產(chǎn)值60萬(wàn)元，前三個(gè)季度已完成43.45萬(wàn)元，如果10月份的產(chǎn)值是5萬(wàn)元，那么最后兩個(gè)月中，月平均增長(zhǎng)率是多少時(shí)才能超額完成年計(jì)劃？設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x據(jù)題意得不等式：5+5(1+x)+5(1+x)2+43.45>60整理后得：x2+3x-0.31>0解得：（-∞，-3.1）∪（0.1，+∞）因?yàn)樵鲩L(zhǎng)率不為負(fù)，所以x>0.1月平均增長(zhǎng)率為10%以上才能超額完成年計(jì)劃解：答：解應(yīng)用題的一般步驟：審題求解建模作答——從實(shí)際問題中尋找關(guān)鍵詞、數(shù)據(jù)——利用所學(xué)的知識(shí)尋找答案——方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型——回答問題，去解決實(shí)際問題例2 臺(tái)風(fēng)距離碼頭南偏東60(^度)的400千米處有一個(gè)臺(tái)風(fēng)中心。已知臺(tái)風(fēng)以每小時(shí)40千米的速度向正北方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心350千米以內(nèi)都受到臺(tái)風(fēng)影響，問從現(xiàn)在起多少小時(shí)候碼頭將受臺(tái)風(fēng)影響，碼頭受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間大約多少？思考題2007年第13號(hào)臺(tái)風(fēng)“韋帕”，9月19日10點(diǎn)中心位置已經(jīng)到達(dá)上海南偏東30度480公里的海面上，近中心的最大風(fēng)力大于12級(jí)，離中心450公里以內(nèi)的地方風(fēng)力有8級(jí)和8級(jí)以上。與此同時(shí)臺(tái)風(fēng)中心正以每小時(shí)18公里的速度朝西北方向移動(dòng)。問題一：如果以這樣的速度和方向移動(dòng)，從此時(shí)起（9月19日10點(diǎn)）多少時(shí)間后，上海將受到臺(tái)風(fēng)“韋帕”的影響。（8級(jí)和8級(jí)以上風(fēng)力）持續(xù)多久？（精確到0.1）問題二：上海受其影響在什么時(shí)間到達(dá)最大？此時(shí)臺(tái)風(fēng)中心離上海有多遠(yuǎn)？（精確到0.1）問題三：如果以這樣的速度和方向移動(dòng)，同時(shí)由于臺(tái)風(fēng)向內(nèi)地移動(dòng)的同時(shí)風(fēng)力圈以10公里/小時(shí)的速度減小。此時(shí)上海受其影響的時(shí)間持續(xù)多久？（精確到0.1）思考題2007年第13號(hào)臺(tái)風(fēng)“韋帕”，9月19日10點(diǎn)中心位置已經(jīng)到達(dá)上海南偏東30度480公里的海面上，近中心的最大風(fēng)力大于12級(jí)，離中心450公里以內(nèi)的地方風(fēng)力有8級(jí)和8級(jí)以上。與此同時(shí)臺(tái)風(fēng)中心正以每小時(shí)18公里的速度朝西北方向移動(dòng)。問題四：臺(tái)風(fēng)“韋帕”對(duì)上海造成一定的影響，但社會(huì)有一定的防御措施。如果直接經(jīng)濟(jì)損失Y元與臺(tái)風(fēng)的級(jí)數(shù)E、臺(tái)風(fēng)持續(xù)時(shí)間T、社會(huì)防御級(jí)數(shù)a（a為社會(huì)防御級(jí)數(shù)，范圍為不大于12的自然數(shù)）的關(guān)系如下：（1）當(dāng)臺(tái)風(fēng)“韋帕”的級(jí)數(shù)是12，影響上海的持續(xù)時(shí)間為30小時(shí)，社會(huì)防御級(jí)數(shù)是7級(jí)時(shí)，直接經(jīng)濟(jì)損失是多少？（2）當(dāng)臺(tái)風(fēng)“韋帕”的級(jí)數(shù)不超過(guò)12級(jí)，影響上海的持續(xù)時(shí)間為30小時(shí)，直接經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)9000萬(wàn)元。社會(huì)防御級(jí)數(shù)的范圍是多少？思考題解答解：如圖建立坐標(biāo)系，以上海為原點(diǎn):

9月19日10點(diǎn)中心位置:設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)臺(tái)風(fēng)中心的位置:臺(tái)風(fēng)距離上海距離:（1）據(jù)題意：解得：答：從此時(shí)起（9月19日10點(diǎn)）1.8小時(shí)后，上海將受到臺(tái)風(fēng)“韋帕”的影響。（8級(jí)和8級(jí)以上風(fēng)力）持續(xù)47.9小時(shí).（2）當(dāng) 距離最近

答：上海受其影響在25.8小時(shí)后達(dá)到最大，距離最近為124米思考題解答解：設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)受影響臺(tái)風(fēng)圈的大?。?50-10t臺(tái)風(fēng)距離上海的距離:（3）據(jù)題意：解此一元二次不等式得：答：此時(shí)上海受其影響的時(shí)間持續(xù)26.1小時(shí)一元二次不等式應(yīng)用題的小結(jié)注意閱讀題目，搞清關(guān)鍵數(shù)字及語(yǔ)句。學(xué)會(huì)把題意與所學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)。把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，逐漸培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。作業(yè)習(xí)題2.2A組10

習(xí)題2.2B組5國(guó)家為了加強(qiáng)對(duì)于煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，除了應(yīng)繳稅收外，還征收附加稅。已知某種酒每瓶銷售價(jià)為70元，不收附加稅時(shí)，每年大約產(chǎn)銷100萬(wàn)瓶；若征收附加稅，每銷100元要征附加稅r元（叫做稅率r%）,則每年的產(chǎn)銷量將減少10r萬(wàn)瓶。如果要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取的附加稅不少于112萬(wàn)元，那么r應(yīng)如何確定？解：設(shè)產(chǎn)銷量為每年（萬(wàn)瓶），則銷售收入每年（萬(wàn)元）,從中征收附加稅額為(萬(wàn)元)，并且

據(jù)題意得不等式：70（100-10r）r%≥112=〉2≤r≤8答：稅率定在2%到8%之間，年征收稅額將不低于112萬(wàn)元。三個(gè)“二次”的聯(lián)系預(yù)習(xí)，試做當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0

的解集為(-∞,+∞)?當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+4≥0

對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立？當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+4<0有實(shí)數(shù)解？當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4<0

的解集為A，且2∈A?當(dāng)k為何值時(shí),B=(1,3)中所有元素都是x2+(k-1)x+4<0的解?二次不等式：一、引入二次函數(shù)：二次方程：

二次函數(shù)△情況一元二次方程一元二次不等式

y=ax2+bx+c(a＞0)△=b2-4acax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c＜0(a＞0)

圖

像

與

解△＞0△=0△＜0方程無(wú)解不等式解集為R(一切實(shí)數(shù))不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R｝不等式解集為｛x｜x＜x1或x＞x2｝不等式解集為｛x｜x1＜x＜x2}解集為解集為x2=x1=x0=a＜0的情況自己完成

例題例1、當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0的解集為(-∞,+∞)?解：函數(shù)y=x2+(k-1)x+4的圖像：開口向上，與x軸無(wú)交點(diǎn)。即，方程x2+(k-1)x+4=0無(wú)實(shí)根?！?lt;0(k-1)2-16<0答：當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0的解集為練習(xí)1、當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的二次函數(shù)y=kx2-4x+k的圖像全在x軸上方。例1、當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0的解集為(-∞,+∞)?“二次”二次項(xiàng)系數(shù)為字母二次項(xiàng)系數(shù)不為0要研究開口方向練習(xí)2、當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的不等式（k-1）x2+(k-1)x+4≥0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立。少了“一元二次”二次項(xiàng)系數(shù)改為“k-1”“>”改為“≥”不一定是一元二次不等式要研究開口方向相應(yīng)方程至多有一解例1、當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0的解集為(-∞,+∞)?例2：當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+4<0有實(shí)數(shù)解？一種解法:先考慮(k-1)x2+(k-1)x+4<0無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，

k的取值范圍。答:(k-1)x2-(k-1)x+4<0有實(shí)數(shù)解時(shí)，k的取值范圍k∈(-∞，1)∪(17，+∞)(a)k-1=0,x2+(k-1)x+4<0無(wú)實(shí)數(shù)解(b)k-1≠0，當(dāng)k-1>0且Δ≤0,(k-1)x2+(k-1)x+4<0無(wú)實(shí)數(shù)解

k∈(1,17]由a),b)可知k∈[1,17