2025屆杭州第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2025屆杭州第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．2．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù).設(shè)，若對(duì)任意不相等的正數(shù)，，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．4．如圖是二次函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．5．已知，，，則()A． B． C． D．6．設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）A．2 B． C． D．37．已知集合，集合，則等于（）A． B．C． D．8．若雙曲線的焦距為，則的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（）A． B． C． D．9．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實(shí)數(shù)λ的最大值為（）A． B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．11．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．12．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)________．14．某高校組織學(xué)生辯論賽，六位評(píng)委為選手成績(jī)打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，若去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為_(kāi)_____.15．等差數(shù)列（公差不為0），其中，，成等比數(shù)列，則這個(gè)等比數(shù)列的公比為_(kāi)____.16．已知函數(shù)，（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程恰有5個(gè)相異的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.（1）求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)；（2）設(shè)與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求.18．（12分）已知矩陣的逆矩陣.若曲線：在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線，求曲線的方程.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線與曲線的交點(diǎn)為，求的值.20．（12分）十八大以來(lái)，黨中央提出要在2020年實(shí)現(xiàn)全面脫貧，為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，國(guó)家對(duì)“新農(nóng)合”（新型農(nóng)村合作醫(yī)療）推出了新政，各級(jí)財(cái)政提高了對(duì)“新農(nóng)合”的補(bǔ)助標(biāo)準(zhǔn)．提高了各項(xiàng)報(bào)銷(xiāo)的比例，其中門(mén)診報(bào)銷(xiāo)比例如下：表1：新農(nóng)合門(mén)診報(bào)銷(xiāo)比例醫(yī)院類(lèi)別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院門(mén)診報(bào)銷(xiāo)比例60%40%30%20%根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，李村一個(gè)結(jié)算年度門(mén)診就診人次情況如下：表2：李村一個(gè)結(jié)算年度門(mén)診就診情況統(tǒng)計(jì)表醫(yī)院類(lèi)別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)各門(mén)診就診人次占李村總就診人次的比例70%10%15%5%如果一個(gè)結(jié)算年度每人次到村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院門(mén)診平均費(fèi)用分別為50元、100元、200元、500元．若李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門(mén)診就診人次為2000人次．（Ⅰ）李村在這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中，60歲以上的人次占了80%，從去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的概率是多少？（Ⅱ）如果將李村這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)門(mén)診就診人次占全村總就診人次的比例視為概率，求李村這個(gè)結(jié)算年度每人次用于門(mén)診實(shí)付費(fèi)用（報(bào)銷(xiāo)后個(gè)人應(yīng)承擔(dān)部分）的分布列與期望．21．（12分）已知點(diǎn)到拋物線C：y1=1px準(zhǔn)線的距離為1．（Ⅰ）求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，直線PA，PB，分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，求的值．22．（10分）設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

判斷，利用函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算得到答案.【詳解】∵，∴．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.2、C【解析】試題分析：設(shè)的交點(diǎn)為，連接，則為所成的角或其補(bǔ)角；設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為，則，所以，故C為正確答案．考點(diǎn)：異面直線所成的角．3、D【解析】

求解的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對(duì)任意不相等的正數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；不妨設(shè)，而，知在單調(diào)遞減，從而對(duì)任意、，恒有，即，，，令，則，原不等式等價(jià)于在單調(diào)遞減，即，從而，因?yàn)椋詫?shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問(wèn)題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡(jiǎn)后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問(wèn)題，屬于一般性題目.4、B【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸得出范圍，軸截距，求出的范圍，判斷在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)，即可求出結(jié)論.【詳解】∵，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，，，∵，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)據(jù)和做對(duì)比，即可判斷.【詳解】由于，，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】

分析：題設(shè)的直線與拋物線是相離的，可以化成，其中是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，也就是到焦點(diǎn)的距離，這樣我們從幾何意義得到的最小值，從而得到的最小值.詳解：由①得到，，故①無(wú)解，所以直線與拋物線是相離的.由，而為到準(zhǔn)線的距離，故為到焦點(diǎn)的距離，從而的最小值為到直線的距離，故的最小值為，故選A.點(diǎn)睛：拋物線中與線段的長(zhǎng)度相關(guān)的最值問(wèn)題，可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動(dòng)線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點(diǎn)的距離來(lái)求解.7、B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次不等式的解法，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.8、B【解析】

根據(jù)焦距即可求得參數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為，故可得，解得，不妨??；又焦點(diǎn)，其中一條漸近線為，由點(diǎn)到直線的距離公式即可求的.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.9、D【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出λ，由d∈[1，2]，能求出實(shí)數(shù)λ取最大值．【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數(shù)，∴d＝1時(shí)，實(shí)數(shù)λ取最大值為λ．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】由，得，所以．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則，考查了復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫(xiě)出.【詳解】,,故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計(jì)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.12、C【解析】

利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來(lái)解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面知①正確；當(dāng)直線平行于平面與平面的交線時(shí)也有，，故②錯(cuò)誤；若，則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線，故③正確；若，則存在直線且，因?yàn)?，所以，從而，故④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù)，然后可得結(jié)果.【詳解】剩下的四個(gè)數(shù)為83，85，87，95，且這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)為，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為.【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖的識(shí)別和統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15、4【解析】

根據(jù)等差數(shù)列關(guān)系，用首項(xiàng)和公差表示出，解出首項(xiàng)和公差的關(guān)系，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得:，則整理得，，所以故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，涉及等比中項(xiàng)，考查基本計(jì)算能力.16、【解析】

作出圖象，求出方程的根，分類(lèi)討論的正負(fù)，數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，作出函數(shù)的圖象如圖：（1）當(dāng)時(shí)，方程整理得，只有2個(gè)根，不滿足條件；（2）若，則當(dāng)時(shí)，方程整理得，則，，此時(shí)各有1解，故當(dāng)時(shí)，方程整理得，有1解同時(shí)有2解，即需，，因?yàn)椋?），故此時(shí)滿足題意；或有2解同時(shí)有1解，則需，由（1）可知不成立；或有3解同時(shí)有0解，根據(jù)圖象不存在此種情況，或有0解同時(shí)有3解，則，解得，故，（3）若，顯然當(dāng)時(shí)，和均無(wú)解，當(dāng)時(shí)，和無(wú)解，不符合題意．綜上：的范圍是，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】

（1）利用互化公式把曲線C化成直角坐標(biāo)方程，把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)；（2）把直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)t的幾何意義可得．【詳解】（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，將ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝1，設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)镻的極坐標(biāo)為（，），所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，1）．（2）將代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，因?yàn)椤鳎?102﹣4×41×25＝8000＞0，故可設(shè)方程的兩根為t1，t2，則t1，t2為A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，且t1+t2，依題意，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，所以|PM|＝||．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，屬中檔題．18、【解析】

根據(jù)，可解得，設(shè)為曲線任一點(diǎn)，在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)，則點(diǎn)在曲線上，根據(jù)變換的定義寫(xiě)出相應(yīng)的矩陣等式，再用表示出，代入曲線的方程中，即得.【詳解】，，即.，解得，.設(shè)為曲線任一點(diǎn)，則，又設(shè)在矩陣A變換作用得到點(diǎn)，則，即，所以即代入，得，所以曲線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查逆矩陣，矩陣與變換等，是基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解析】

（1）由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（2）把點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，直線的參數(shù)方程是過(guò)定點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)形式，因此直接把參數(shù)方程代入曲線的方程，利用參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（1），則，∴，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，即（2）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，易知.設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為將與聯(lián)立得【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線參數(shù)方程，解題時(shí)可利用利用參數(shù)方程的幾何意義求直線上兩點(diǎn)間距離問(wèn)題．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）的發(fā)分布列為：X2060140400P0.70.10.150.05期望．【解析】

（Ⅰ）由表2可得去各個(gè)門(mén)診的人次比例可得2000人中各個(gè)門(mén)診的人數(shù)，即可知道去三甲醫(yī)院的總?cè)藬?shù)，又有60歲所占的百分比可得60歲以上的人數(shù)，進(jìn)而求出任選2人60歲以上的概率；（Ⅱ）由去各門(mén)診結(jié)算的平均費(fèi)用及表1所報(bào)的百分比可得隨機(jī)變量的可能取值，再由概率可得的分布列，進(jìn)而求出概率．【詳解】解：（Ⅰ）由表2可得李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門(mén)診就診人次為2000人次，分別去村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院人數(shù)為，，，，而三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中，60歲以上的人次占了，所以去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中，60歲以上的人數(shù)為：人，設(shè)從去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的事件記為，則；（Ⅱ）由題意可得隨機(jī)變量的可能取值為：，，，，，，，，所以的發(fā)分布列為：X2060140400P0.70.10.150.05所以可得期望．【點(diǎn)睛】本題主要考查互斥事件、隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望、組合計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21、(Ⅰ)C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線定義求出p，即可求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)