2025屆山東省青島市平度一中數(shù)學高二上期末教學質量檢測模擬試題含解析

2025屆山東省青島市平度一中數(shù)學高二上期末教學質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某中學的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進行的天數(shù)為（）A.13 B.14C.15 D.162．已知拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．橢圓（）的右頂點是拋物線的焦點，且短軸長為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.4．已知是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則等于（）A.2 B.4C.6 D.85．已知雙曲線的兩個焦點為，，是此雙曲線上的一點，且滿足，，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.6．已知一個乒乓球從米高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度是原來高度的倍，則當它第8次著地時，經(jīng)過的總路程是（）A. B.C. D.7．若動點在方程所表示的曲線上，則以下結論正確的是（）①曲線關于原點成中心對稱圖形；②動點到坐標原點的距離的取值范圍為；③動點與點的最小距離為；④動點與點的連線斜率的取值范圍是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④8．將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別記為a，b，則直線到原點的距離不超過1的概率是（）A. B.C. D.9．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點，為邊上的一列點，連接，交于，且，其中數(shù)列的首項，則（）A. B.為等比數(shù)列C. D.10．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)到與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列、這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項分別為2，3，5，8，12，17，23則該數(shù)列的第100項為（）A.4862 B.4962C.4852 D.495211．算盤是中國傳統(tǒng)計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎上發(fā)明的，“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位…，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡稱下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小．現(xiàn)在從個位和十位這兩組中隨機選擇往下?lián)芤涣Ｉ现?，往上?粒下珠，得到的數(shù)為質數(shù)（除了1和本身沒有其它的約數(shù)）的概率是（）A. B.C. D.12．關于x的方程在內有解，則實數(shù)m的取值范圍（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為_________14．已知直線與圓交于A,B兩點,過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點,若|AB|=4,則|CD|=_____________.15．過點作圓的兩條切線，切點為A，B，則直線的一般式方程為___________.16．“直線和直線垂直”的充要條件是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知函數(shù)，其中（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）①若恒成立，求的最小值；②證明：，其中.19．（12分）已知為數(shù)列的前n項和，，且，，其中為常數(shù).（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）是否存在，使得是等差數(shù)列？并說明理由.20．（12分）已知冪函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)的定義域為集合A（1）求m的值；（2）當時，的值域為集合B，若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍21．（12分）已知數(shù)列的前項和是，且，等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）定義：記，求數(shù)列的前20項和22．（10分）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且的短軸長為（1）求的方程；（2）若直線與交于P，Q兩點，，且的面積為，求k

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題意可得募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數(shù)列，設共募捐了天，然后建立關于的方程，求出即可【詳解】由題意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數(shù)列，根據(jù)題意，設共募捐了天，則，解得或（舍去），所以，故選：2、B【解析】根據(jù)拋物線和寫出焦點坐標，利用題干中的坐標相等，解出，結合從而求出答案.【詳解】拋物線的焦點為，雙曲線的，，所以，所以雙曲線的右焦點為：，由題意，，兩邊平方解得，，則雙曲線的漸近線方程為：.故選：B.3、A【解析】求得拋物線的焦點從而求得，再結合題意求得，即可寫出橢圓方程.【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，故可得；又短軸長為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.4、D【解析】根據(jù)雙曲線定義寫出，兩邊平方代入焦點三角形的余弦定理中即可求解【詳解】雙曲線，，所以，根據(jù)雙曲線的對稱性，可假設在第一象限，設，則，所以，，在中，根據(jù)余弦定理：，即，解得：，所以故選：D5、A【解析】由，可得進一步求出，由此得到，則該雙曲線的方程可求【詳解】，即，則．即，則該雙曲線的方程是：故選：A【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的方程，常用待定系數(shù)法，先定式（根據(jù)已知確定焦點所在的坐標軸，設出曲線的方程），再定式（根據(jù)已知建立方程組解方程組得解）.6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經(jīng)過的路程為，第2次著地到第3次著地經(jīng)過的路程為，組成以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以第1次著地到第8次著地經(jīng)過的路程為，所以經(jīng)過的總路程是.故答案為：C.7、A【解析】將原方程等價變形為，將方程中的換為，換為，方程不變，可判斷①；利用兩點間的距離公式，結合二次函數(shù)知識可判斷②和③；取特殊點可判斷④.【詳解】因為等價于，即，對于①，將方程中的換為，換為，方程不變，所以曲線關于原點成中心對稱圖形，故①正確；對于②，設，則動點到坐標原點的距離，因為，所以，故②正確；對于③，設，動點與點的距離為，因為函數(shù)在上遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值，從而取得最小值，故③不正確；對于④，當時，因為，所以，故④不正確.綜上所述：結論正確的是：①②.故選：A8、C【解析】先由條件得出a，b滿足，得出滿足的基本事件數(shù)，再求出總的基本事件數(shù)，從而可得答案.【詳解】直線到原點的距離不超過1，則所以當時，可以為5，6當時，可以為4，5，6當時，可以為4，5，6當時，可以為2，3，4，5，6當時，可以為1，2，3，4，5，6當時，可以為1，2，3，4，5，6滿足的共有25種結果.將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別記為a，b，共有種結果所以滿足條件的概率為故選：C9、A【解析】由得，為邊的中點得，設，所以，根據(jù)向量相等可判斷A選項；由得是公比為的等比數(shù)列，可判斷B選項；代入可判斷C選項；當時可判斷D選項.【詳解】由得，因為為邊的中點，所以，所以設，所以，所以，當時，A選項正確；，由得，是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，不是常數(shù)，故B選項錯誤；所以，由得，故C選項錯誤；當時，，所以，此時為的中點，與重合，即，，故D錯誤.故選：A.10、D【解析】根據(jù)題意可得數(shù)列2，3，5，8，12，17，23，，滿足：，，從而利用累加法即可求出，進一步即可得到的值【詳解】2，3，5，8，12，17，23，后項減前項可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故選：D11、B【解析】根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】依題有，算盤所表示的數(shù)可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是質數(shù)的有：17，71，53，故所求事件的概率為故選：B12、A【解析】當時，顯然不成立，當時，分離變量，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最值，即可求解.【詳解】當時，可得顯然不成立；當時，由于方程可轉化為，令，可得，當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減，所以當時，函數(shù)取唯一的極大值，也是最大值，所以，所以，即，所以實數(shù)m的取值范圍.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立如圖直角坐標系，設點，根據(jù)題意和兩點坐標求距離公式可得，結合圓的面積公式計算即可.【詳解】以點A為坐標原點，射線AB為x軸的非負半軸建立直角坐標系，如圖，設點，則，由，化簡并整理得：，于是得點M軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故答案為：14、【解析】先求出圓心和半徑，由于半徑為2，弦|AB|=4，所以可知直線過圓心，從而得，求出，得到直線方程且傾斜角為135°，進而可求出|CD|【詳解】圓,圓心(1,2),半徑r=2,∵|AB|=4,∴直線過圓心(1,2),∴,∴,∴直線,傾斜角為135°,∵過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點,∴.故答案為：4【點睛】此題考查直線與圓的位置關系，考查兩直線的位置關系，考查轉化思想和計算能力，屬于基礎題15、【解析】已知圓的圓心，點在以為直徑的圓上，兩圓相減就是直線的方程.【詳解】，圓心，點在以為直徑的圓上，，所以圓心是，以為直徑的圓的圓的方程是，直線是兩圓相交的公共弦所在直線，所以兩圓相減就是直線的方程，，所以直線的一般式方程為.故答案為：【點睛】結論點睛：過圓外一點引圓的切線，那么以圓心和圓外一點連線段為直徑的圓與已知圓相減，就是切點所在直線方程，或是兩圓相交，兩圓相減，就是公共弦所在直線方程.16、或【解析】利用直線一般式方程表示垂直的方法求解.【詳解】因為直線和直線垂直，所以，解得或；故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)【解析】（1）將的兩邊同除以，得到，由等差數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）有（1）求出，利用錯位相減法即可求解數(shù)列的前項和.試題解析：(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1為首項，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.從而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.所以Sn＝.點睛：本題主要考查了等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的判定與證明和數(shù)列的求和，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，本的解答中利用等差數(shù)列的定義得到數(shù)列為等差數(shù)列，求解的表達式，從而化簡得到，利用乘公比錯位相減法求和中，準確計算是解答的一個難點.18、（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為（2）①1；②證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，在定義域內，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）①分離參數(shù)得，令，利用函數(shù)的單調性求出的最大值即可；②由①知：，時取“=”，令，即，最后累加即可.【小問1詳解】由已知條件得，其中的定義域為，則，當時，，當時，，綜上所述可知：的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；【小問2詳解】①由恒成立，即恒成立，令，則，當時，，當時，，∴在上單調遞增，上單調遞減，∴，∴的最小值為1.②由①知：，時取“=”，令，得，∴，當時，.19、（1）詳見解析；（2）存在時是等差數(shù)列，詳見解析.【解析】（1）利用與的關系可得，再結合條件即證；（2）由題可得，，若是等差數(shù)列，可得，進而可求數(shù)列的通項公式，即證.【小問1詳解】∵，∴，∴，又，∴，∴，∴數(shù)列為等差數(shù)列；【小問2詳解】∵，，∴，又，∴，若是等差數(shù)列，則，即，解得，當時，由，∴數(shù)列的奇數(shù)項構成的數(shù)列為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，即，為奇數(shù)，∴數(shù)列的偶數(shù)項構成的數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，∴，即，為偶數(shù)，綜上可得，當時，，，故存在時，使數(shù)列是等差數(shù)列.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調性求解；（2）利用根式函數(shù)的定義域和值域求得集合A，B，再由是A的真子集求解.【小問1詳解】解：因為冪函數(shù)在上單調遞減，所以，解得.【小問2詳解】由，得，解得，所以，當時的值域為，所以，因為是成立的充分不必要條件，所以是A的真子集，，解得.21、（1）；（2）【解析】（1）利用求得遞推關系得等比數(shù)列，從而得通項公式，再由等差數(shù)列的基本時法求得通項公式；（2）根據(jù)定義求得，然后分組求和法求得和【小問1詳解】由題意，當時，兩式相減，得