北京市東城區(qū)2024屆高三下學(xué)期5月二模試題 數(shù)學(xué) 含答案

北京市東城區(qū)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）數(shù)學(xué)2024.5本試卷共6頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則（）（A） （B）（C） （D）（2）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）（A） （B）（C） （D）（3）在中，，，，則（）（A）1 （B） （C） （D）2（4）已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且一條漸近線(xiàn)的傾斜角為，則雙曲線(xiàn)的方程為（）（A） （B）（C） （D）（5）直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得為等腰三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以為（）（A） （B） （C） （D）（6）袋中有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球.從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)小球，觀察顏色后放回，同時(shí)放入一個(gè)與其顏色大小相同的小球，然后再?gòu)拇须S機(jī)摸出1個(gè)小球，則兩次摸到的小球顏色不同的概率為（）（A） （B） （C） （D）（7）已知函數(shù)與直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，則所在的區(qū)間為（）（A） （B） （C） （D）（8）已知平面向量，，，是單位向量，且，則“”是“”的（）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（9）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的，每一個(gè)純音都是由單一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的樂(lè)音，其數(shù)學(xué)模型為，其中表示振幅，響度與振幅有關(guān)；表示最小正周期，，它是物體振動(dòng)一次所需的時(shí)間；表示頻率，，它是物體在單位時(shí)間里振動(dòng)的次數(shù).下表為我國(guó)古代五聲音階及其對(duì)應(yīng)的頻率：音宮商角徵羽頻率小明同學(xué)利用專(zhuān)業(yè)設(shè)備，先彈奏五聲音階中的一個(gè)音，間隔個(gè)單位時(shí)間后，第二次彈奏同一個(gè)音（假設(shè)兩次聲音響度一致，且不受外界阻力影響，聲音響度不會(huì)減弱），若兩次彈奏產(chǎn)生的振動(dòng)曲線(xiàn)在上重合，根據(jù)表格中數(shù)據(jù)判斷小明彈奏的音是（）（A）宮 （B）商 （C）角 （D）徵（10）設(shè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)，都存在唯一的正整數(shù)，使得，那么稱(chēng)為內(nèi)和數(shù)列，并令，稱(chēng)為的伴隨數(shù)列，則（）（A）若為等差數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列（B）若為等比數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列（C）若內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列（D）若內(nèi)和數(shù)列的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.（用數(shù)字作答）（12）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足.則在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是________.（13）設(shè)函數(shù)則________，不等式的解集是________.（14）如圖，在六面體中，平面平面，四邊形與四邊形是兩個(gè)全等的矩形.，，平面.，，，則________.該六面體的任意兩個(gè)頂點(diǎn)間距離的最大值為_(kāi)_______.（15）已知平面內(nèi)點(diǎn)集，中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離都不相等.設(shè)集合，.給出以下四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若為奇數(shù)，則；③若為偶數(shù)，則；④若，則.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（16）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，，，，，平面平面.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，，求平面與平面夾角的余弦值.（17）（本小題13分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，并求函數(shù)在上的最大值和最小值.條件①：函數(shù)是奇函數(shù)；條件②：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（18）（本小題13分）北京市共有16個(gè)行政區(qū)，東城區(qū)、西城區(qū)、朝陽(yáng)區(qū)、豐臺(tái)區(qū)、石景山區(qū)和海淀區(qū)為中心城區(qū)，其他為非中心城區(qū).根據(jù)《北京市人口藍(lán)皮書(shū)?北京人口發(fā)展研究報(bào)告（2023）》顯示，2022年北京市常住人口為2184.3萬(wàn)人，由城鎮(zhèn)人口和鄉(xiāng)村人口兩個(gè)部分構(gòu)成，各區(qū)常住人口數(shù)量如下表所示：行政區(qū)東城區(qū)西城區(qū)朝陽(yáng)區(qū)豐臺(tái)區(qū)石景山區(qū)海淀區(qū)門(mén)頭溝區(qū)房山區(qū)城鎮(zhèn)人口（萬(wàn)人）70.4110343.3199.956.3305.436.2102.6鄉(xiāng)村人口（萬(wàn)人）000.91.3073.428.5行政區(qū)通州區(qū)順義區(qū)昌平區(qū)大興區(qū)懷柔區(qū)平谷區(qū)密云區(qū)延慶區(qū)城鎮(zhèn)人口（萬(wàn)人）137.387.8185.9161.632.827.934.920.5鄉(xiāng)村人口（萬(wàn)人）4744.740.837.511.117.717.7.13.9（Ⅰ）在16個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)，求該區(qū)為非中心城區(qū)且2022年鄉(xiāng)村人口在20萬(wàn)人以下的概率；（Ⅱ）若隨機(jī)從中心城區(qū)選取1個(gè)，非中心城區(qū)選取2個(gè)行政區(qū)，記選出的3個(gè)區(qū)中2022年常住人口超過(guò)100萬(wàn)人的行政區(qū)的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）記2022年這16個(gè)區(qū)的常住人口、城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口的方差分別為，，.試判斷，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）（19）（本小題15分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)，且到的距離與到的距離之比為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)，為橢圓上不同的兩點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的平行線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的平行線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn).求證：點(diǎn)與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等.（20）（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).（21）（本小題15分）已知為有窮整數(shù)數(shù)數(shù)，若滿(mǎn)足：，其中，是兩個(gè)給定的不同非零整數(shù)，且，則稱(chēng)具有性質(zhì).（Ⅰ）若，，那么是否存在具有性質(zhì)的？若存在，寫(xiě)出一個(gè)這樣的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅱ）若，.且具有性質(zhì)，求證：中必有兩項(xiàng)相同；（Ⅲ）若，求證：存在正整數(shù)，使得對(duì)任意具有性質(zhì)的，都有中任意兩項(xiàng)均不相同.北京市東城區(qū)2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2023.5一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A（2）C（3）B（4）A（5）D（6）C（7）B（8）C（9）C（10）A二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）12（12）（13）（答案不唯一）（14）（15）①③④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（1）由正弦定理得，由題設(shè)得，，因?yàn)?，所?所以.,.（Ⅱ）選條件①：.因?yàn)椋?由正弦定理得，由余弦定理得，解得.所以.由解得.選條件②：.已知，，，由正弦定理得，因?yàn)椋?，?所以.（17）（共14分）解：（1）由題設(shè)知.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)闉榈冗吶切?，是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以平?所以.（Ⅱ）設(shè)，.取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，則，.由（1）知平面，所以平面，所以，.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.所以，，，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，.于是.因?yàn)橹本€(xiàn)和平面所成角的正弦值為，所以，整理得，解得或.因?yàn)椋?，?（18）（共13分）解：（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可知這7名學(xué)生中有4名學(xué)生的第二次考試成績(jī)高于第一次考試成績(jī)，分別是學(xué)生1，學(xué)生2，學(xué)生4，學(xué)生5，則從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組7名學(xué)生中隨機(jī)選取1名。該名學(xué)生第二次考試成績(jī)高于第一次考試成績(jī)的概率為.（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2.這7名學(xué)生第二次考試成績(jī)與第一次考試成績(jī)的差分別為1,1，，3,1，，.；；.則隨機(jī)變量的分布列為：012的數(shù)學(xué)期望.（ii）.（19）（共15分）解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，即.故拋物線(xiàn)的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為.所以.（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為.由得.由有.設(shè)，，則，.設(shè)的中點(diǎn)為，則.到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，，依題意有，即.整理得，解得，滿(mǎn)足.所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).（20）（共15分）解：（Ⅰ），，.所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（Ⅱ）令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以，使?所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.，，所以.（Ⅲ）滿(mǎn)足條件的的最大整數(shù)值為.理由如下：不等式恒成立等價(jià)于恒成立.令，當(dāng)時(shí)，，所以恒成立.當(dāng)時(shí)，令，，，與的情況如下：1-0所以.當(dāng)趨近正無(wú)窮大時(shí)，，且無(wú)限趨近于0，所以的值域?yàn)?因?yàn)?，所以的最小值小于且大?所以的最大整數(shù)值為.（21）（共15