正方形的判定 題型全覆蓋（30題）-2020-2021學年八年級數(shù)學下冊同步熱考題型全覆蓋（人教版）（解析版）

專題14正方形的判定題型全覆蓋（30題）

【思維導圖】

添一個條件使四邊形是正方形

求證四邊形是正方形

根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度

專題14正方形的判定

根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長

根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積

根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定證—

【考查題型】

考查題型一添一個條件使四邊形是正方形

1.（2020?湖北恩施土家族苗族自治州?八年級期末）已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC,②NABC=90°,

③AC=BD,④AC_LBD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其

中錯誤的是（）

A.選①②B.選②③C.選①③D.選②④

【答案】B

【解析】

試題提示：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以平

行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意；

B、山②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊

形ABCD是正方形，錯誤，故本選項符合題意；

C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD

是正方形，正確，故本選項不符合題意；

D、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形

ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意.

故選B.

2.（2020?遼寧撫順市?八年級期末）小明在學習了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：①AB=BC,

②NABC=90。，③AC=BD,④AC_LBD中選兩個作為補充條件，使%BCD為正方形（如圖），現(xiàn)有下列四種選法，你

認為其中錯誤的是（）

1

c.①③D.②④

【詳解】

A、?.?四邊形ABCD是平行四邊形，當①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形,

當②NABC=90。時，菱形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意；

B、四邊形ABCD是平行四邊形,

當②NABC=90。時，平行四邊形ABCD是矩形，當AC=BD時，這是矩形的性質(zhì)，無法得出四邊形ABCD是正方形，

故此選項錯誤，符合題意；

C、I?四邊形ABCD是平行四邊形，當①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，當③AC=BD時，菱形ABCD是正方

形，故此選項正確，不合題意；

D、，.,四邊形ABCD是平行四邊形，.,.當②NABC=90。時，平行四邊形ABCD是矩形，當④AC_LBD時，矩形ABCD

是正方形，故此選項正確，不合題意.

故選B.

3.（2020?安徽阜陽市?八年級期末）如圖，AC,BD是四邊形ABCD對角線，點E,F分別是AD,BC的中點，點M,

N分別是AC,BD的中點，連接EM,MF,NE,要使四邊形EMFN為正方形，則需要添加的條件是（）

A.AB=CD,AB±CDB.AB=CD,AD=BC

C.AB=CD,AC±BDD.AB=CD,AD//BC

【答案】A

【提示】

證出EN、N產(chǎn)、、ME分別是/hABD、ABCD.AABC、AACO的中位線，得出EN//AB//FM,ME//CD//NF,

EN=-AB=FM,ME=-CD=NF,證出四邊形為平行四邊形，當=時，EN=FM=ME=NF,

22

得出平行四邊形EM/W是菱形；當A3_LCD時，EN工ME,貝l]NMEN=90。，即可得出菱形EM/W是正方形.

【詳解】

解：：點E，E分別是A。，8C的中點，點M，N分別是AC,BO的中點，

2

:.EN、NF、FM、ME分別是△450、ABCD、△ABC.AACD的中位線，

?EN//AB//FM，ME//CD//NF,EN=-AB=FM,ME=-CD=NF,

22

???四邊形EMFN為平行四邊形，

當AB=C0時，EN=FM=ME=NF,

???平行四邊形EMFN是菱形；

當ABJ_CD時，EN工ME,

則NMEN=90。,

'''菱形EMFN是正方形；

故選：A.

【名師點撥】

本題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定以及三角形中位線定理；熟練掌握三角形中位線定理是

解題的關(guān)鍵.

4.（2020?海南省八年級期末）如圖，在%BCD中，AC，8。于。要使得四邊形ABCD是正方形，還需增加一個

條件.在下列增加的條件中，不正確的是（）

A.AC=BDB.NA8C=90°C.AB=BCD.AO^BO

【答案】C

【提示】

根據(jù)菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答；

【詳解】

..?在平行四邊形ABCD中，AC1BD,

四邊形ABCD是菱形，

當AC=BD時，菱形ABCD就是正方形，故A不符合題意；

當NABC=90°時，菱形ABCD就是正方形，故B不符合題意；

當AB=BC時，無法得到ABCD是正方形，故C符合題意；

當A0=B。時，則A0=B0=D0=C。，故菱形ABCD是正方形，故D不符合題意；

3

故答案選c.

【名師點撥】

本題主要考查了正方形的判定，準確利用平行四邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

5.（2020?永德縣八年級期中）如圖，在△ABC中，NACB=90。，BC的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,且

BE=BF,添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（）

A.BC=ACB.CF_LBFC.BD=DFD.AC=BF

【答案】D

【詳解】

解：；EF垂直平分BC,BE=EC,BF=CF；

???CF=BE,J.BE=EC=CF=BF；

四邊形BECF是菱形.

當BC=AC時，ZACB=90。，ZA=45。，/.ZEBC=45。；

ZEBF=2ZEBC=2x45°=90°./.菱形BECF是正方形.

故選項A不符合題意.

當CF_LBF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項B不符合題意.

當BD=DF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項C不符合題意.

當AC=BD時，無法得出菱形BECF是正方形，故選項D符合題意.

故選D.

考查題型二求證四邊形是正方形

6.（2020?陜西省九年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD中，ADIIBC,AD=CD,E是對角線BD上一點，且EA=EC.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）如果BE=BC,且NCBE：ZBCE=2：3,求證：四邊形ABCD是正方形.

4

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【提示】

(1)首先證得△ADEM&CDE,由全等三角形的性質(zhì)可得NADE=NCDE,由ADIIBC可得NADE=NCBD,易得

ZCDBNCBD,可得BC=CD,易得AD=BC,利用平行線的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得

四邊形ABCD是菱形；

(2)由BE=BC可得△BEC為等腰三角形，可得NBCE=ZBEC,利用三角形的內(nèi)角和定理可得NCBE=180xL=45。，

4

易得NABE=45。，可得NABC=90。，由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形.

【詳解】

(1)在仆ADE與4CDE中，

AD^CD

<DE=DE,

EA^EC

ADE號△CDE,

ZADE=ZCDE,

ADIIBC,

ZADENCBD,

ZCDE=ZCBD,

BC=CD,

AD=CD,

BC=AD,

四邊形ABCD為平行四邊形,

???AD=CD,

A四邊形ABCD是菱形；

(2)BE=BC,

ZBCE=ZBEC,

???ZCBE：ZBCE=2：3,

5

2

ZCBE=180x=45°,

2+3+3

四邊形ABCD是菱形，

ZABE=45°,

ZABC=90°,

四邊形ABCD是正方形.

7.(202。民勤縣八年級期中)如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,對角線BD平分NABC,P是BD上一點，過點P

作PMJ_AD,PN_LCD,垂足分別為M、N.

(1)求證：ZADB=ZCDB；

(2)若NADC=90°,求證：四邊形MPND是正方形.

【答案】見解析

【提示】

(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明AABD2△CBD,由全等三角形的性質(zhì)即可得到：

ZADB=NCDB；

(2)若NADC=90。，由(1)中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊

形MPND是正方形.

【詳解】

證明：(1)..,對角線BD平分NABC,

ZABD=ZCBD,

在AABD和小CBD中,

AB=CB

<ZABD=ZCBD,

BD=BD

AABD2△CBD(SAS),

ZADB=ZCDB；

(2)PM±AD,PN±CD,

ZPMD=ZPND=90°,

6

???ZADC=90",

四邊形MPND是矩形，

---ZADB=ZCDB,

ZADB=45°

PM=MD,

四邊形MPND是正方形.

8.（2020,四川南充市?八年級期末）如圖，在矩形A8CZ）中，的平分線交8C于點E，E尸，AD于點廠,

￡心，他于點G,DG與EF交于點0.

（1）求證：四邊形是正方形；

（2）若AD=AE，求證：AB^AG；

（3）在（2）的條件下，已知AB=1，求8的長.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2-J5

【提示】

（1）首先證明ABE尸是矩形，然后找到一組鄰邊相等即可證明四邊形他所是正方形；

（2）主要證明AAGD=AAFE,從而得出AG=AF，山（1）知，四邊形■尸是正方形，AB=AF,等量代換

即可證明A8=AG；

（3）已知45=1，可知AE=J5，乂因為AAG。三⑷石，求出A。的長度，DF=AD-AF,根據(jù)等式關(guān)系求出DF

的長，最后證明△0￡尸為等腰直角三角形，OD=0DF即可求解.

【詳解】

（1）在矩形ABCD中，NBAF=NB=90,

???EF±AD<

NAFE=90°，

NBAF=NB=ZAFE=90，

四邊形MEF是矩形，

7

又：好平分N84E，

???ZBAE=45°<

ZAEB=45°?

???為等腰直角三角形，

???BE=AB,

四邊形/WE尸是正方形(鄰邊相等的矩形為正方形)；

(2)???DG±AE,

ZAGD=ZAFE=90，

又???ND4G=NEAF,AD=AE,

^AGD^^AFE(AAS),

AG=AF,

山(1)知，四邊形A3EF是正方形，

AB-AF>

AB=AG；

(3)在正方形ABEF中，ZAEF=45，AB=AF=\，AE=0，

由(2)知：^AGD^AFE,

???AD=AE=五,ZADG=ZAEF^45，

???DF=AD-AF=y[i-1,

又???EF上AD，AADG=45，

△(%)/為等腰直角三角形，

00=720^=2-72.

【名師點撥】

本題主要考查了矩形與正方形的判定與性質(zhì)、證明三角形全等等知識點，熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

9.(2020?安陽市八年級期中)在△ABC中，ZBAC=90。，AD是BC邊上的中線，點E為AD的中點，過點A作

AFIIBC交BE的延長線于點F,連接CF.

(1)求證：AD=AF；

(2)填空：①當NACB=。時，四邊形ADCF為正方形；

②連接DF,當NACB=。時，四邊形ABDF為菱形.

8

VE

【答案】⑴見解析；⑵①45；②30

【提示】

⑴根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD=CD=BD,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；

⑵①根據(jù)菱形的判定定理得到四邊形ADCF是菱形，求得NDCF=90。，于是得到結(jié)論；

②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=CF,推出△DCF是等邊三角形，得到DF=BD,于是得到結(jié)論.

【詳解】

⑴??,ZBAC=90°,AD是BC邊上的中線，

---AD=CD=BD,

???點E為AD的中點，

AE=DE,

AFIIBC,

ZAFE=ZDBE,

???ZAEF=ZDEB,

△AEaADEB(AAS),

AF=BD,

AD=AF；

(2)①當NACB=45。時，四邊形ADCF為正方形；

*/AD=AF,

??,AF=CD,

AFIICD,

???四邊形ADCF是菱形，

要使四邊形ADCF是正方形，

則NDCF=90°,

??.ZACD=ZACF=45°；

②當/ACB=30。時，四邊形ABDF為菱形；

9

由⑴得AF=BD,AFIIBC,

四邊形ABDF是平行四邊形，

要使四邊形ABDF為菱形，

AB=BD,

又=AD=BD,

:ABD是等邊三角形，

ZABD=60°,

ZACB=30°.

故答案為:45,30.

【名師點撥】

本題考查了正方形的判定，菱形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

10.(2020?揚中市八年級期中)如圖，在AABC中，ZB4C=90",AD是中線，E是的中點，過點A作AFII8c交

BE的延長線于F,連接CF.

(1)求證：AD=AF；

(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)詳見解析；(2)四邊形ADCF是正方形，證明詳見解析.

【提示】

(1)由￡是AD的中點，AFWBC,易證得AAEa△DEB,即可得AF=BD,又由在△A8c中，N8AC=90。，AD是中

線，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可證得AD=8D=CD=；8C,即可證得：AD=AF；

(2)|JjAF=BD=DC,AFWBC,可證得：四邊形ADCF是平行四邊形，又由AB=4C,根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得

AD±BC,AD=DC,繼而可得四邊形AOCF是正方形.

【詳解】

解：(1)證明：AFWBC,

：.ZEAF=NEDB,

10

,JE是AD的中點，

AE=DE,

在44斤和小DE8中，

NEAF=NEDB

,AE=DE,

NAEF=NDEB

:&AEF^△DEB(ASA),

AF^BD,

,在△ABC中，N847=90。，A。是中線,

1

AD=BD=DC=—BC,

2

AD=AF,

(2)解：四邊形ADCF是正方形.

??,AF=8D=DC,AFWBC,

???四邊形ADCF是平行四邊形，

：AB=AC,AD是中線，

/.ADA.BC,

■：AD=AF,

A四邊形ADCF是正方形.

【名師點撥】

此題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中.

考查題型三根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度

1L(2020?河南駐馬店市?八年級期中)如圖1,在正方形ABCD中，P是對角線BD上的點，點E在AB上，且PA=PE.

(1)求證：PC=PE；

(2)求NCPE的度數(shù)；

(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變，試探究NCPE與NABC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)ZEPC=90°；(3)ZABC+ZEPC=180°.

11

【詳解】

試題提示：(1)先證出△ABPMACBP,得PA=PC,山于PA=PE,得PC=PE；

(2)由AABP號&CBP,得NBAP=NBCP,進而得NDAP=ZDCP,由PA=PC,得到NDAP=NE,NDCP=NE,最后

ZCPF=ZEDF=90°得到結(jié)論；

(3)借助(1)和(2)的證明方法容易證明結(jié)論.

(1)證明：在正方形ABCD中，AB=BC,

ZABP=ZCBP=45",

在4ABP和^CBP中，

AB=BC

-4ABp=NCBP,

PB=PB

：.AABPgACBP(SAS),

PA=PC,

???PA=PE,

PC=PE；

(2)M：由(1)知，AABP復ACBP,

r.ZBAP=ZBCP,

---PA=PE,

ZPAE=ZPEA,

ZCPB=ZAEP,

ZAEP+ZPEB=180°,

ZPEB+ZPCB=180",

ZABC+ZEPC=180°,

,,1ZABC=90°,

ZEPC=90°；

(3)ZABC+ZEPC=180°,

理由：解：在菱形ABCD中，AB=BC,ZABP=ZCBP=60°,

在AABP和^CBP中,

AB=BC

<NABP=NCBP,

PB=PB

12

AABP復ACBP(SAS),

r.ZBAP=ZBCP,

???PA=PE,

ZDAP=ZDCP,

ZPAE=ZPEA,

ZCPB=ZAEP,

???ZAEP+ZPEB=180°,

ZPEB+ZPCB=180%

ZABC+ZEPC=180°.

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

12.(2020?福建省八年級期中)已知正方形ABC。，P為邊43上一點(P不與A、3重合)，過P作P￡_LCP，

且"=PE,連接AE.

(1)如圖1,求的度數(shù)；

(2)如圖2,連接CE交3。于G,求證：AE+2DG=ED；

(3)如圖2,當8C=10,PA=6,則BG=(直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)NEAD=45。：(2)證明見詳解；(3)772

【提示】

(1)如圖1中，作EHXBA于H.只要證明^HPE空△CBP,推出BC=PH=AB,HE=PB,推出PB=AH=EH,推出NHAE=45°,

即可解決問題；

(2)作EKIIAB交BD于K.首先證明四邊形ABKE是平行四邊形，再證明△GEKW&GCD,可得GD=GK,根據(jù)BD=0

CD,即可解決問題；

(3)利用(1)(2)中結(jié)論即可解決問題；

【詳解】

⑴如圖1中，作EH±BATH.

13

???四邊形ABCD是正方形，

/.ZB=ZBAD=ZHAD=90°,AB=BC,

???EP±PC,

/.ZEPC=90°,

/.ZBPC+ZHPE=90°zZBPC+ZBCP=90°,

ZHPE=ZBCP,

在^HPE和^CBP中，

ZH=ZB=9Q°

<ZHPE=ZBCP

PE=PC

/.△HPE”△CBP,

/.BC=PH=AB,HE=PB,

PB=AH=EH,

/.ZHAE=45°,

/.ZEAD=45°.

(2)證明：作EKIIAB交BD于K.

E

圖2

???ZEAD=ZADB=45°,

/.AEIIBK,

*/ABIIEK,

四邊形ABKE是平行四邊形,

EK=AB=CD,AE=BK,

,/ABHCD,...EKIICD,

14

ZGEK=ZGCD,

△GE心△GCD,

GD=GK,

?,BD=V2CD,BD=BK+DK=AE+2DG,

AE+2DG=V2CD.

（3）由⑴可知AE=4夜，由（2）可知4也+2DG=10>/2，

?-DG=3-^/2，

BD=WV2,

BG=7加

【名師點撥】

本題主要考查正方形的綜合應(yīng)用，熟練的在其中找到可以使用的全等三角形，平行四邊形并進行證明，可得出相應(yīng)

結(jié)論，同時對己證結(jié)果的直接使用，也很重要

13.（2020?廣東梅州市?九年級期中）如圖，4ABe中，點。是邊AC上一個動點，過。作直線MNWBC,設(shè)MN

交NACB的平分線于點E,交NACB的外角平分線于點F.

（1）求證：OE=OF；

（2）當點。在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由.

（3）若AC邊上存在點。，使四邊形AECF是正方形，猜想AABC的形狀并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）見解析；（2）當點。在邊AC上運動到4C中點時，四邊形AECF是矩形.見解析；（3）ABC是

直角三角形，理由見解析.

【提示】

⑴根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出N1=Z2,Z3=Z4,進而得出答案；

（2）根據(jù)AO=CO,EO=F?？傻盟倪呅蜛ECF平行四邊形,再證明NECF=90。利用矩形的判定得出即可

⑶利用正方形的性質(zhì)得出AC_LEN,再利用平行線的性質(zhì)得出NBCA=90。,即可得出答案

【詳解】

證明：（1）MN交NACB的平分線于點E,交4ACB的外角平分線于點F,

15

**.N2=N5,N4=N6,

,/MNWBC,

.?N1=N5,Z3=Z6,

/.Z1=Z2,Z3=Z4,

/.EO=COfFO=CO,

??.OE=OF；

(2)當點。在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形.

證明：當。為AC的中點時，AO=CO,

,:EO=FO,

四邊形AECF是平行四邊形，

??,CE是NACB的平分線，CF是NACD的平分線，

ZECF=-(ZACB+ZACD)=90°,

2

平行四邊形AECF是矩形.

(3)4ABe是直角三角形，

理由：???四邊形AECF是正方形，

?ACA.EN,故NAOM=90°,

???MNIIBC,

：.ZBCA=NAOM,

??.Z8cA=90°,

AABC是直角三角形.

此題考查了正方形的判斷和矩形的判定，需要知道排放新的象征和角平分線的性質(zhì)才能解答此題

14.(2020河北承德市?八年級期末)如圖,菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,分別延長OA,OC到點E,F,

使AE=CF,依次連接B,F,D,E各點.

16

E

(1)求證：四邊形BFDE為菱形；

(2)若NABC=60。，則當NEBA=。時，四邊形BFDE是正方形.

【答案】(1)見詳解;(2)15°.

【提示】

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC_LBD,Q4=OC,OB=O。，再根據(jù)AE=CF即可證明；

(2)要是四邊形BFDE為正方形，根據(jù)題意，只要ZEB尸=90°即得四邊形BFDE為正方形;先證明△BAEM△BCF,

得出NEBA=NFBC,再根據(jù)已知角即可得出答案.

【詳解】

(1)?.?四邊形ABCD為菱形

AC±BD,OA=OC,OB=OD

\-AE^CF

:.OE=OF

四邊形BFDE為菱形

(2)?.?四邊形BFDE對角線互相垂直平分

只要NEBE=90°即得四邊形BFDE為正方形

???四邊形ABCD為菱形

:.AB=BC,ZBAC=ZBCA

:.ZBAE=ZBCF

在和△BCr中

BA=BC

<NBAE=NBCF

AE=CF

：.△BAEMBCF

：.ZEBA=ZFBC

\-ZABC=60°

ZEBA+ZFBC^30°

17

.-.Z￡BA=15°

【名師點撥】

本題考查了菱形的判定及性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

考查題型四根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長

15.(2020?湖北黃岡市?九年級期中)如圖，正方形ABCD中，E是BC上的一點，連接AE,過B點作BH_LAE,垂足

為點H,延長BH交CD于點F,連接AF.

⑴求證：AE=BF.

⑵若正方形邊長是5,BE=2,求AF的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)V34.

【提示】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=BC,再根據(jù)同角的余角相等得NBAE=NEBH,再利用“角角邊"證明△ABE年&BCF,

根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得AE=BF；

(2)根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得BE=CF,再利用勾股定理計算即可得出結(jié)論.

【詳解】

⑴丁四邊形ABCD是正方形，

二AB=BC,ZABE=ZBCF=90°.

ZBAE+ZAEB=90°.

-/BH±AE,ZBHE=90".

ZAEB+ZEBH=90".

ZBAE=ZEBH.

在^ABE和^BCF中,

(/BAE=/CBF,

JAB=BC,

|/ABE=NBCF,

△ABE空△BCF(ASA).

/.AE=BF.

(2)由⑴得△ABE要△BCF,

18

BE=CF.

??,正方形的邊長是5,BE=2,

DF=CD-CF=CD-BE=5-2=3.

在RtAADF中，由勾股定理得：AF=，AD2+DF2=d52+32=取.

【名師點撥】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形

的性質(zhì).

16.(2020?江蘇徐州市?八年級期中)如圖，點E是正方形A8CD對角線AC上一點，EF±AB,EG±BC,垂足分別為

E,F,若正方形ABCD的周長是40cm.

(1)求證：四邊形BFEG是矩形；

(2)求四邊形EFBG的周長；

(3)當AF的長為多少時，四邊形8FEG是正方形？

【答案】⑴見解析；(2)20cm(3)當AF=5cm時,四邊形BFEG是正方形.

【提示】

(1)由正方形的性質(zhì)可得出ABA.BC,Z8=90。，根據(jù)EFLAB、EG_L8C利用“垂直于同一條直線的兩直線互相平行”,

即可得出EFHGB、EGWBF,再結(jié)合N8=90。，即可證出四邊形8FEG是矩形；

(2)由正方形的周長可求出正方形的邊長，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出△AEF為等腰直角三角形，進而可得出AF=EF,

再根據(jù)矩形的周長公式即可求出結(jié)論；

(3)由正方形的判定可知：若要四邊形8FEG是正方形，只需EF=BF,結(jié)合AF=EF、4B=10cm,即可得出結(jié)論.

【詳解】

⑴證明：?.?四邊形ABCD為正方形，

AB±BC,^8=90°.

???EFJLAB,EG1.BC,

EFWGB,EGIIBF.

-：Z6=90",

四邊形8FEG是矩形；

(2)J正方形ABCD的周長是40cm,

19

40

AB=—=10cm.

4

四邊形ABCD為正方形，

AEF為等腰直角三角形，

AF=EF,

：.四邊形EFBG的周長C=2(EF+BF)=2{AF+BF)=20cm.

⑶若要四邊形BFEG是正方形，只需EF=BF,

AF=EF,48=10cm,

當AF=5cm時，四邊形BFEG是正方形.

【名師點撥】

本題主要考查正方形的性質(zhì).熟練應(yīng)用正方形的性質(zhì)進行推理、求值是解題的關(guān)鍵.

17.(2020?河南信陽市?八年級期中)如圖，P是正方形4BCD對角線8D上一點，PE上DC,PF上BC,E、F分

別為垂足，若C/=3,CE=4,求AP的長.

【答案】5

【提示】

連接CP時，可以證明AAP醛△CPD,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到AP=CP,由已知條件可以得出四邊形PECF

是矩形，根據(jù)矩形對角線相等可得PC=EF,結(jié)合已知條件利用勾股定理可求出EF的長，求出EF的長即可得AP的長.

【詳解】

如圖，連接PC,

.-.AD=DC，NADP=/CDP,

20

,/PD=PD,

..△APD些ACPD,

..AP=CP,

?.?四邊形ABCD是正方形,

.?./DCB=90，

?/PEIDC.PF1BC,

四邊形PFCE是矩形，

..PC=EF,

NDCB=90°，

在Rt^CEF中，EF2=CE2+CF2=42+32=25.

;.EF=5,

..AP=CP=EF=5.

【名師點撥】

本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

AP與CP相等是解題的關(guān)鍵.

18.(2020?南寧市八年級期中)如圖，矩形A8CO的對角線AC,8。相交于點O,將AC8沿8所在直線折

疊，得到△(?￡￡).

(1)求證：四邊形。CEO是菱形；

(2)若AB=2,當四邊形OCED是正方形時，。。等于多少？

(3)若BD=3,ZACD=30°,P是CO邊上的動點，。是CE邊上的動點，那么PE+PQ的最小值是多少？

【答案】(1)證明見解析；(2)0C=J5；(3)PE+PQ的最小值為速.

4

【提示】

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OD=OC,再根據(jù)對折的特點，得出四邊形ODEC四條邊相等，從而證菱形；

21

(2)根據(jù)正方形的特點，在R30DC中，利用勾股定理可求得0C的長；

(3)點E關(guān)于DC的對稱點為點0,貝！JPE+PQ=P0+PQ,故當PQ_LCE時:為最小值.

【詳解】

(1)證明：...四邊形ABCZ)是矩形，

AC與BO相等且互相平分，

OC=OD>

AC8關(guān)于CO的對稱圖形為

OD-ED，EC-0C-

OD=ED—EC—OC>

四邊形OCED是菱形.

(2)?.?四邊形A8CO是矩形，AB=2,

CD=AB=2

???四邊形OCE。是正方形

.-."00=90°

在RtACO。中，由勾股定理得：

OC2+OD2=22

.OC=OD

。。=夜.

(3)解：作OQ_LCE于Q,交CD于P,如圖所示:

此時PE+PQ的值最小為之叵：理由如下

4

\COD沿CD所在直線折疊，得到\CED,

ZDCE=NDCO,PE=PO,

PE+PQ=PO+PQ=OQ,

22

AC=BD=3,

VZACD=30°,

ZZ）CE=30°,

ZOCQ=60°,

ZCOQ=30°,

13

：.CQ=-OC=~,

在RtACOQ中

*必"二曲一圖:苧,

即PE+PQ的最小值為之叵.

4

【名師點撥】

本題考查矩形、正方形的性質(zhì)，在第（3）問中求解最值時,利用對稱進行轉(zhuǎn)化是比較常見的一種方法，需要掌握.

19.（2020?江西八年級期末）如圖，在正方形A8CD中，點、E、尸是正方形內(nèi)兩點，BE//DF，EF1BE，為

探索這個圖形的特殊性質(zhì)，某數(shù)學興趣小組經(jīng)歷了如下過程：

0

BC

圖1

（1）在圖1中，連接30，且BE=DF

①求證：族與BO互相平分；

②求證：（BE+OP/+EF?=2AB>

（2）在圖2中，當BE力DF，其它條件不變時，尸尸+E尸,=2482是否成立？若成立，請證明：若不

成立，請說明理由.

23

由2

(3)在圖3中，當4?=4,ZDPB=135°,08P+2Po=4^B時，求PD之長.

圖3

【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）當B&DF時，（8E+DF）2+￡尸2=2482仍然成立，理由詳見解析；（3）

PD=2屈-272

【提示】

（1）①連接ED、BF,證明四邊形BEDF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明；②根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股

定理證明；

（2）過D作DM_LBE交BE的延長線于M,連接BD,證明四邊形EFDM是矩形，得到EM=DF,DM=EF,ZBMD=90°,

根據(jù)勾股定理計算；

（3）過P作PEJLPD,過B作BELPE于E,根據(jù)（2）的結(jié)論求出PE,結(jié)合圖形解答.

（1）證明：①連接ED、BF,

BEWDF,BE=DF,

四邊形8EDF是平行四邊形,

24

BD,EF互相平分；

②設(shè)BD交EF于點。，則OB=OD=工BD,OE=OF=—EF.

22

EF±BE,

ZBEF=90°.

在RtA8E。中，BE2+OE2=OB2.

：.(8E+DF)2+EF2=(28E)2+(2。￡)2=4(BE2+OE2)=4OB2=(208)2=BD2.

在正方形A8CD中，AB=AD,BD2=AB2+AD2=2AB2.

：.(8E+DF)2+EF2=2AB2；

(2)解：當8EWDF時，(Bf+DF)2+￡尸2=2482仍然成立，

理由如下：如圖2,過。作DM_L8E交8E的延長線于仞，連接8D.

BEWDF,EF±BE,

：.EFA.DF,

四邊形EFDM是矩形，

EM=DF,DM=EF,ZBMD=90",

在R38DM中,BM2+DM2=BD2,

(BE+EM)2+DM2^BD2.

(3)解：過P作P￡_LP。，過8作8E_LPE于E,

則由上述結(jié)論知，(8E+PD)2+PE2=2AB2.

???ZDPB=135°,

Z8PE=45°,

25

ZPBf=45°,

BE=PE.

A△P8￡是等腰直角三角形，

BP=V2BE,

:五BP+2PD=4娓,

：.2BE+2PD=4指,即BE+PD=2&,

?.W8=4,

（276）2+Pf2=2x42,

解得，PE=2y/2,

BE=2五,

.PD=2瓜-2夜.

【名師點撥】

本題考查的是正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助性、掌握正方形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

20.（2020?河南洛陽市?八年級期末）（問題情境）

如圖1,四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分NDAM.

（探究展示）

⑴證明：AM=AD+MC^

⑵AM=DE+BM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

（拓展延伸）

⑶若四邊形4BCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2,探究展示（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請分別作

出判斷，不需要證明.

圖1圖2

【答案】⑴證明見解析；（2）AM=DE+BM成立，證明見解析；⑶①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立；②結(jié)論AM=DE+BM

不成立.

26

【提示】

（1）從平行線和中點這兩個條件出發(fā)，延長AE、BC交于點N,易證AADE空xNCE,得至I」AD=CN,再證明AM=NM

即可；（2）過點A作AFJ_AE,交CB的延長線于點F,

易證△AB四△ADE,從而證明AM=FM,即可得證；（3）AM=DE+BM需要四邊形ABCD是正方形，故不成立,AM=AD+MC

仍然成立.

【詳解】

⑴延長AE、BC交于點N,如圖Ml）,

??,四邊形ABCD是正方形,ADIIBC./.ZDAE=ZENC.

?JAE平分NDAM,ZDAE=ZMAE./.ZENC=ZMAE.MA=MN.

ZDAE=ZCNE

在4ADE和4NCE中，，Z.AED=/NEC

DE=CE

：.△ADE里△NCE(AAS).=AD=NC.二MA=MN=NC+MC=AD+MC.

fl)

⑵AM=DE+BM成立.

證明：過點A作AF_LAE,交CB的延長線于點F,如圖1⑵所示.

：四邊形ABCD是正方形，,NBAD=ND=NABC=90。,AB=AD,ABIIDC.

AF±AE,ZFAE=90"./.ZFAB=90°-ZBAE=ZDAE.

'NFAB=NEAD

在△ABF和△ADE中，｛AB=AD

ZABF=ZD=90"

AAB四AADE(ASA).

BF=DE,ZF=ZAED.

■，-ABHDC,

ZAED=ZBAE.

27

???ZFAB=ZEAD=ZEAM,

ZAED=NBAE=NBAM+ZEAM=ZBAM+ZFAB=NFAM.

ZF=ZFAM.

AM=FM.

AM=FB+BM=DE+BM.

⑶①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立.②結(jié)論AM=DE+BM不成立.

【名師點撥】

此題主要考查正方形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判斷與性質(zhì).

考查題型五根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積

21.(2020?江西南昌市?九年級期中)如圖，E、F在正方形A8CO的邊上，NE4E=45°.

(1)A/IBG是由AAOE旋轉(zhuǎn)而來，旋轉(zhuǎn)中心是什么？旋轉(zhuǎn)角是多少度？

(2)求證：GF=EF；

(3)若BG=2,BF=3,求正方形ABCO的面積.

【答案】(1)旋轉(zhuǎn)中心為A90°；(2)見解析；⑶36

【提示】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)能判斷出旋轉(zhuǎn)中心和求出