【浙教】第一次月考A卷（考試版+解析）

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考A卷·基礎(chǔ)知識達標測（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：第1章、第2章。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．下面四幅畫分別是體育運動長鼓舞，武術(shù)，舉重、摔跤抽象出來的簡筆畫，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）A．2,3,4 B．5,5,11 C．1,2,3 D．3,7,43．對于命題“如果∠1+∠2=90°A．∠1=50°，∠2=40° BC．∠1=∠2=45° D4．在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們在練習(xí)畫邊AC上的高時,有一部分同學(xué)畫出下列四種圖形，請你判斷一下，正確的是（

）A． B．C． D．5．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADCA．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C6．根據(jù)下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（

A．∠B．∠C．ABD．AB=7．已知，圖中△ABC的面積為24，將△ABC沿BC的方向平移到△A'B'C'的位置，使B'和CA．4 B．6 C．8 D．128．如圖，在ΔABC中，點D是BC邊上一點，AD=AC，過點D作DE⊥BC交AB于E，若ΔA．∠B=∠CAD B． C． D9．中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一，中國古代稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，其中勾長、股長的平方和等于弦長的平方，即為“勾股定理”，勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，在幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用．如圖，在直線l上依次擺放著五個正方形．已知斜放置的兩個正方形的面積分別是2、3，正放置的三個正方形的面積依次是S1，SA．4 B．5 C．6 D．710．在Rt△ABC中，AC=BC，點D為AB中點，∠GDH=90°,∠GDH繞點D旋轉(zhuǎn)，DG、DH分別與邊AC①AE+BF=22AB；②△DEF始終為等腰直角三角形；③S四邊形CEDF

A．①②③④ B．①④ C．②③ D．①②③二、填空題:本大題有6個小題，每小題4分，共24分.11．命題“等邊三角形的三邊相等”的逆命題是，它是命題（填“真”或“假”）．12．如圖，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，則需要補充的條件為．13．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則該等腰三角形的頂角的度數(shù)為．14．如圖，將△ABC沿著直線l折疊，使點B落在點F的位置，若∠1-∠2=70°，則15．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD=BC=8，點E，F(xiàn)是中線AD上的兩點，則圖中陰影部分的面積是16．如圖，已知∠MON＝40°，P為∠MON內(nèi)一定點，OM上有一點A，ON上有一點B，當△PAB的周長取最小值時，∠APB的度數(shù)是°．三、解答題:本大題有7個小題，第17題6分，第18-19每小題8分，第20-21每小題10分，第22-23每小題12分，共66分.解答寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．（6分）如圖，AB∥CD，AB=CD，點E，F(xiàn)在(1)AF=DE；(2)AF∥18．（8分）作圖題：（要求保留作圖痕跡，不寫作法）（1）作△ABC中BC邊上的垂直平分線EF（交AC于點E，交BC于點F）；（2）連結(jié)BE，若AC=10，AB=6，求△ABE的周長．19．（8分）如圖，點D在△ABC的邊BA的延長線上，過AC的中點F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且AE∥BC．(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周長．20．（10分）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC=5，求△ADE的周長．（2）若∠BAD+∠CAE=60°，求∠BAC的度數(shù)．21．（10分）如圖，在等邊△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E為線段AD上一點，以BE為一邊且在BE下方作等邊△BEF，連接CF．(1)求證：△ABE≌△CBF；(2)直接寫出∠ACF的度數(shù)=_______．22．（12分）如圖，已知：在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120°，將一塊足夠大的直角三角尺PMN(∠M=90°，∠MPN=30°)按如圖放置，頂點P在線段AB上滑動，三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過點(1)當PN∥BC時，判斷△ACP(2)點P在滑動時，當AP長為多少時，△ADP與△BPC(3)點P在滑動時，△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出夾角α的大小；若不可以，請說明理由．23．（12分）如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，如圖1，等腰△ABC與等腰△ADE中，∠BAC=∠DAE=α,AB=AC,AD=AE，我們把它們構(gòu)成的這個圖形叫做“(1)【模型探究】如圖1，線段BD與線段CE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．(2)【應(yīng)用模型】如圖2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°,BC=23，點P是BC邊的中點，直線MN經(jīng)過點P，且∠DPB=30°，點D是直線MN上的動點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，①如圖3，當點E落在BC邊上時，求CE．②直接寫出在點D運動過程中，點C和點E之間的最短.

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考A卷·基礎(chǔ)知識達標測注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：第1章、第2章。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單選題1．下面四幅畫分別是體育運動長鼓舞，武術(shù)，舉重、摔跤抽象出來的簡筆畫，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷即可．【解析】解：A、不是軸對稱圖形，故錯誤；B、不是軸對稱圖形，故錯誤；C、是軸對稱圖形，故正確；D、不是軸對稱圖形，故錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．2．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）A．2,3,4 B．5,5,11 C．1,2,3 D．3,7,4【答案】A【分析】運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時，并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度，即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.【解析】解：由2,3,4可得，2+3＞由5,5,11可得，5+5＜由1,2,3可得，1+2=3，故不能組成三角形；由3,7,4可得，，故不能組成三角形；故選：A.【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，解題時注意：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊.3．對于命題“如果∠1+∠2=90°，那么∠1A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠【答案】C【分析】能說明是假命題的反例就是能滿足已知條件，但不滿足結(jié)論的例子．【解析】解：A、滿足條件，也滿足結(jié)論∠1≠B、不滿足條件，也不滿足結(jié)論，故選項錯誤，不符合題意；C、滿足條件，不滿足結(jié)論，故選項正確，符合題意；D、不滿足條件，也不滿足結(jié)論，故選項錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查命題的真假判斷，正確記憶能說明它是假命題的反例的含義是解決本題的關(guān)鍵．4．在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們在練習(xí)畫邊AC上的高時,有一部分同學(xué)畫出下列四種圖形，請你判斷一下，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的高的概念直接觀察圖形進行判斷即可得出答案．【解析】解：AC邊上的高應(yīng)該是過B作BE⊥AC，符合這個條件的是C，A，B，D都不過B點，故錯誤；故選C．【點睛】本題主要考查了利用基本作圖做三角形高的方法，正確的理解三角形高的定義是解決問題的關(guān)鍵.5．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADCA．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．【答案】C【分析】由圖形可知AC=AC，結(jié)合全等三角形的判定方法逐項判斷即可．【解析】解：在△ABC和△ADC∵AB=AD，AC=AC，∴當CB=CD時，滿足SSS，可證明△ABC≌△ADC當∠BAC=∠DAC時，滿足SAS，可證明△ABC≌△ADC當∠BCA=∠DAC時，滿足SSA，不能證明△ABC≌△ADC當時，滿足HL，可證明△ABC≌△ADC，故選項故選：C．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵，即SAS，ASA，AAS，SSS和HL．6．根據(jù)下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（

A．∠B．∠C．ABD．AB=【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理判定即可．【解析】解：A．∵∠A=55°,∠B=3B．∵∠A:∠B:∠C=7:4:3，C．∵AB=3,BC=4,CA=7，∴AB2D．∵AB=∴AB2+∴AB2+BC故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理以及完全平方公式，判斷三角形是否為直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定義判斷．7．已知，圖中△ABC的面積為24，將△ABC沿BC的方向平移到△A'B'C'的位置，使B'和C重合，連接AA．4 B．6 C．8 D．12【答案】D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得AC=A'C'，BC=B'C'，【解析】解：由平移的性質(zhì)可得AC=A∴∠DCA=∴△ADC∴AD=∴S△∵BC=CC'，△ABC∴S△∴S△故選：D．【點評】本題主要考查了平移的基本性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中線的性質(zhì)，熟知平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．8．如圖，在ΔABC中，點D是BC邊上一點，AD=AC，過點D作DE⊥BC交AB于E，若ΔADE是等腰三角形，則下列判斷中正確的是（A．∠B=∠CAD B． C． D【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠C,∠∠B+∠BED=90°,∠ADC+∠ADE=90°∠B+∠CAD=90°,【解析】∵AD=AC∴∠DE⊥∴∠從而∠B+∠BED=90°,∵△∴∠∴∵∠∴∠BED=故選B.【點睛】考查等腰三角形的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握同角的余角相等是解題的關(guān)鍵.9．中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一，中國古代稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，其中勾長、股長的平方和等于弦長的平方，即為“勾股定理”，勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，在幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用．如圖，在直線l上依次擺放著五個正方形．已知斜放置的兩個正方形的面積分別是2、3，正放置的三個正方形的面積依次是S1，SA．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】結(jié)合正方形的性質(zhì)證明△ABC≌△BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出S1+S【解析】解：如圖，∵圖中的四邊形均為正方形，∴∠ABD=90°，AB=DB，∠ACB=90∴∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，∠ACB=∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC＝BE，∵DE∴DE∵S1∴S1同理，2S∴S1故選：B．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合正方形的性質(zhì)證明△ABC≌△BDE是解題的關(guān)鍵．10．在Rt△ABC中，AC=BC，點D為AB中點，∠GDH=90°,∠GDH繞點D旋轉(zhuǎn)，DG、DH分別與邊AC、BC交于E、①AE+BF=22AB；②△DEF始終為等腰直角三角形；③S四邊形CEDF

=A．①②③④ B．①④ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】連接CD根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，就可以得出△ADE≌△CDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=CF，進而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，再由勾股定理就可以求出結(jié)論．【解析】解：如圖所示，連接CD，，點D為AB中點，∠ACB=90°，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠∴∠，∴∠ADE=在ΔADE和ΔCDF∠A=，∴AE=CF，DE=DF，．，，∴CE=BF∵AC=AE+CE．∵AC2+B，，故①正確；，∠GDH=90°∴ΔDEF始終為等腰直角三角形，故∵S∴S又，∴S四邊形CEDF∵CE2+C，又，，故④錯誤；∴正確的有①②③．故選：D．．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理以及三角形的面積公式的運用，根據(jù)ASA證明△ADE≌△CDF是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題11．命題“等邊三角形的三邊相等”的逆命題是，它是命題（填“真”或“假”）．【答案】三邊相等的三角形為等邊三角形真【分析】交換原命題的題設(shè)與結(jié)論得到逆命題，然后根據(jù)三角形的定義可判斷逆命題為真命題．【解析】解：命題“等邊三角形的三邊相等”的逆命題是“三邊相等的三角形為等邊三角形”，此逆命題為真命題．故答案為：三邊相等的三角形為等邊三角形；真．【點睛】本題考查了命題：如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．12．如圖，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，則需要補充的條件為．【答案】AB=DC(答案不唯一)【分析】本題中有公共邊BC=CB，利用SSS來判定全等則只需要添加條件AB=DC即可．【解析】解：由題意可知：AC=DB，BC=CB，∴利用SSS來判定全等則只需要添加條件AB=DC，故答案為：AB=DC(答案不唯一)．【點睛】本題考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本題的解題關(guān)鍵．13．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則該等腰三角形的頂角的度數(shù)為．【答案】50°或130°．【分析】要注意分類討論，等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【解析】解：若三角形為銳角三角形時，如圖，AB=AC，∠ACD=40°，CD為高，即∠ADC=90°，此時∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=180°-90°-40°=50°，若三角形為鈍角三角形時，如圖，AB=AC，∠ACD=40°，CD為高，即∠ADC=90°，此時∠BAC=∠D+∠ACD=90°+40°=130°，綜上，等腰三角形的頂角的度數(shù)為50°或130°．【點睛】本題考查了等腰三角形的內(nèi)容，做等腰三角形的問題時要多去注意是否要分類討論．14．如圖，將△ABC沿著直線l折疊，使點B落在點F的位置，若∠1-∠2=70°，則∠B的度數(shù)是°【答案】35【分析】利用折疊的性質(zhì)可得出，∠BED=∠FED，結(jié)合平角的定義及∠1-∠2=70°，可求出∠BDE+∠BED的度數(shù)，再在△BDE中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出∠B的度數(shù)．【解析】解：由折疊的性質(zhì)，可知：，∠BED=∠∵∠1+∠BDE+∠FDE=180°，∠BED+∴∠1+即2∠∴∠BDE+在△BDE中，∠B+∴∠B=180故答案為：35．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及翻折變換，牢記“三角形內(nèi)角和是180°”是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD=BC=8，點E，F(xiàn)是中線AD上的兩點，則圖中陰影部分的面積是．【答案】16【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=CD=4，S△BEF=S【解析】解：∵AB=AC，∴△ABC∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD=12BC=4∴△BEF與△CEF關(guān)于AD軸對稱，∴S△∵AD=8，∴S陰影故答案為：16．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，已知∠MON＝40°，P為∠MON內(nèi)一定點，OM上有一點A，ON上有一點B，當△PAB的周長取最小值時，∠APB的度數(shù)是°．【答案】100【分析】設(shè)點P關(guān)于OM、ON對稱點分別為P′、P″，當點A、B在P′P″上時，△PAB周長為PA+AB+BP=P′P″，此時周長最?。鶕?jù)軸對稱的性質(zhì)，可求出∠APB的度數(shù)．【解析】分別作點P關(guān)于OM、ON的對稱點P′、P″，連接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于點A、B，連接PA、PB，此時△PAB周長的最小值等于P′P″．由軸對稱性質(zhì)可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故答案為100．【點睛】本題主要考查了軸對稱--最短路線問題，找點A與B的位置是關(guān)鍵，需靈活運用軸對稱性解題．三、解答題17．如圖，AB∥CD，AB=CD，點E，F(xiàn)在(1)AF=DE；(2)AF∥【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS證得△ABF（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠AFB=∠DEC，證出∠AFE=【解析】（1）證明：如圖，∵AB∥∴∠B=∵BE=∴BE-即BF=CE，∵在△ABF與△DCEAB=∴△ABF∴AF=（2）∵△ABF∴∠AFB∵∠AFB∴∠AFE∴AF∥【點睛】本題考查了平行線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABF18．作圖題：（要求保留作圖痕跡，不寫作法）（1）作△ABC中BC邊上的垂直平分線EF（交AC于點E，交BC于點F）；（2）連結(jié)BE，若AC=10，AB=6，求△ABE的周長．【答案】（1）答案見解析；（2）16．【分析】(1)分別以點B、C為圓心，以大于12BC長為半徑畫弧，在BC的兩側(cè)兩弧分別相交于一點，作這兩點作直線即可；(2)根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得BE=CE，從而得到△ABE的周長等于AB與AC【解析】解：(1)如圖所示，(2)∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，∴△ABE的周長=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC，∵AB=6，BC=10，∴△ABE的周長=6+10=16．【點睛】此題主要考查了基本作圖，正確線段垂直平分線的性質(zhì)與畫法是解題關(guān)鍵．19．如圖，點D在△ABC的邊BA的延長線上，過AC的中點F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且AE∥BC．(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周長．【答案】(1)見解析(2)32【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后根據(jù)角平分線的定義得出∠B=∠C，則可證明△ABC為等腰三角形；（2）利用ASA證明△AEF≌△CFG，從而得到CG的長，則可求得BC的長，再求△ABC的周長即可．【解析】（1）證明：∵AE∥BC，∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．

∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE．

∴∠B=∠C．∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．（2）解：∵F是AC的中點，∴AF=CF．

在△AFE和△CFG中，∠∴△AFE≌△CFG∴GC=AE=8∵GC=2BG∴BG=4∴BC=BG+GC=12∴△ABC的周長=AB+AC+BC=10+10+12=32．【點睛】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運用等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定定理．20．如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC=5，求△ADE的周長．（2）若∠BAD+∠CAE=60°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】（1）5；（2）120°【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，EA=EC，則△ADE的周長=AD+DE+EA=BC，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊對等角，把∠BAD+∠CAE=60°轉(zhuǎn)化為∠B+∠C=60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【解析】（1）∵邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，∴DA=DB，EA=EC，∴△ADE的周長=AD+DE+AE=DB+DE+EC=BC=5；（2）∵DA=DB，EA=EC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=60°，∴∠BAC=180°－（∠B+∠C）=180°－60°=120°．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．21．如圖，在等邊△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E為線段AD上一點，以BE為一邊且在BE下方作等邊△BEF，連接CF．(1)求證：△ABE≌△CBF；(2)直接寫出∠ACF的度數(shù)=_______．【答案】(1)見解析(2)90°【分析】（1）根據(jù)△ABC和△BEF是等邊三角形，可得AB=BC，EB=BF，∠ABE=∠CBF，即可求證；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAE=30°，∠ACB=60°，再有△ABE≌△CBF，可得∠BCF=∠BAE=30°，即可求解．【解析】（1）證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，∵△BEF是等邊三角形，∴EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，∴∠ABE=∠CBF，在△ABE和△CBF，∵AB=BC，∠ABE=∠CBF，EB=BF，∴△ABE≌△CBF(SAS)；（2）解：∵等邊△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAE=30°，∠ACB=60°，∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF=∠BAE=30°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．如圖，已知：在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120°，將一塊足夠大的直角三角尺PMN(∠M=90°，∠MPN=30°)按如圖放置，頂點P在線段AB上滑動，三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過點(1)當PN∥BC時，判斷△ACP(2)點P在滑動時，當AP長為多少時，△ADP與△BPC(3)點P在滑動時，△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出夾角α的大?。蝗舨豢梢?，請說明理由．【答案】(1)△ACP(2)當AP=8時，△ADP(3)當α=45°或90°或0°時，△PCD【分析】（1）△ACP是直角三角形，理由為：由PN∥BC，得到一對內(nèi)錯角相等，∠ACP（2）當AP=8時，△ADP?△BPC，理由為：根據(jù)CA=CB，且∠ACB度數(shù)，求出∠A與∠B度數(shù)，再由外角性質(zhì)得到∠a=∠APD，根據(jù)AP=（3）點P在滑動時，△PCD的形狀可以是等腰三角形，可以分三種情況考慮：當PC=PD；PD=CD；PC=CD，分別求出夾角a的大小即可．【解析】（1）解：△ACP理由為：當PN∥BC時，∠α=∵∠∴∠∴△（2）當AP=8時，△ADP理由