11一元二次方程（原卷版）

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》1.1一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一一元二次方程的概念◆1、一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．◆2、一元二次方程必須同時(shí)滿足的條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．④二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程的一般形式◆一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，方程中就沒(méi)有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三一元二次方程的解（根）◆一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．◆一元二次方程的解（根）滿足的條件：未知數(shù)的值；（2）使方程左右兩邊相等.題型一一元二次方程的識(shí)別題型一一元二次方程的識(shí)別【例題1】（2023春?海曙區(qū)校級(jí)期中）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B．x2+3=2x C．x2﹣2y+4＝0 D．x解題技巧提煉一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式11】（2023春?肇源縣月考）下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．x2+1x=0 B．x＝C．（x﹣1）2＝（x+3）（x﹣2）+1 D．a(chǎn)x2+bx+c＝0【變式12】（2023?涼山州模擬）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）A．2（x2+2x）＝2x2﹣1 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0 C．（x+1）2＝2x+1 D．1x2【變式13】（2022春?泰興市校級(jí)月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2?3x+1=0 B．（x+1）（xC．5x2﹣4＝0 D．a(chǎn)x2+bx+c＝0【變式14】（2023春?肇源縣期中）下列方程中一元二次方程的個(gè)數(shù)為（）①2x2﹣x+1＝0；②x（x﹣1）＝2x2；③1x2+x=2；④ax2+bx+c＝0；A．0 B．1 C．2 D．3【變式15】（2022秋?聊城期末）下列方程中：①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0（a≠0）；③1x2+3x?5=0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝A．1 B．2 C．3 D．4題型二由一元二次方程的定義求字母的取值范圍題型二由一元二次方程的定義求字母的取值范圍【例題2】（2023春?譙城區(qū)校級(jí)月考）若方程（m+2）x2+mx﹣5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m應(yīng)滿足．解題技巧提煉由一元二次方程的定義求字母的取值范圍，主要是根據(jù)二次的系數(shù)不為0得出字母的取值范圍，有時(shí)要把方程先化為一般式.【變式21】（2022秋?連平縣校級(jí)期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2且a≠2 B．a(chǎn)≥0且a≠2 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≠2【變式22】（2022秋?羅山縣期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則a、b的取值為（）A．a(chǎn)≠0，b＝4 B．a(chǎn)≠0，b＝2 C．a(chǎn)≠﹣3，b＝4 D．a(chǎn)≠3，b＝4【變式23】（2022秋?武城縣期末）關(guān)于x的方程（m﹣2）xm2?2+x是（）A．m≠2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m＝±2【變式24】（2023?龍川縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）若（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A．m≠2 B．m≠﹣2 C．m≠﹣2，或m≠2 D．m≠﹣2，且m≠2【變式25】（2023春?淮北月考）若(a?1)x2+a+1x=2是關(guān)于x的一元二次方程，則a題型三由一元二次方程的定義求字母的值題型三由一元二次方程的定義求字母的值【例題3】（2023春?青田縣月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1解題技巧提煉根據(jù)一元二次方程的定義，利用未知數(shù)的最高次數(shù)是2和二次項(xiàng)系數(shù)不為0得出字母的值.【變式31】（2022秋?南充期末）關(guān)于x的一元二次方程為（m﹣2）x2﹣x+3＝0，則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．m≠2【變式32】（2023?嶗山區(qū)二模）關(guān)于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，則a的值為．【變式33】（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期中）若xm2?2+x?3=0是關(guān)于是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2【變式34】（2023春?天長(zhǎng)市校級(jí)期中）已知(a?2)xa2?2?x+3=0A．±2B．2 C．﹣2 D．以上選項(xiàng)都不對(duì)【變式35】（2021秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期末）若m2x2+（m2﹣3m）x+5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，且不含x的一次項(xiàng)，則m＝．【變式36】（2023春?崇左月考）已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0．（1）m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？（2）m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？題型四一元二次方程的一般形式題型四一元二次方程的一般形式【例題4】（2022秋?恩施市期中）二元一次方程1﹣8x+16x2＝2+4x的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是．常數(shù)項(xiàng)是．解題技巧提煉一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．【變式41】（2023?東莞市校級(jí)模擬）將方程4x2+8x＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25【變式42】（2022秋?北塔區(qū)期末）將一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化為一般形式后，對(duì)應(yīng)的a，b，c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a(chǎn)＝1，b﹣1，c＝6 C．a(chǎn)＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣5，c＝2【變式43】（2023?桂林一模）一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是．【變式44】將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．（1）3x（x+1）＝4（x﹣2）；（2）（x+3）2＝（x+2）（4x﹣1）；（3）2（y+5）（y﹣1）＝y(tǒng)2﹣8；（4）2t＝（t+1）2．【變式45】一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化為一般形式后為2x2﹣3x﹣1＝0，試求a+bc題型五由一元二次方程的解求字母的值題型五由一元二次方程的解求字母的值【例題5】（2023?蚌埠二模）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一個(gè)解，則a的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2解題技巧提煉將一元二次方程的根代入原方程得到關(guān)于字母參數(shù)的方程并求解即可．【變式51】（2023?淮陰區(qū)模擬）已知關(guān)于x的方程x2﹣x+m＝0的一個(gè)根是2，則m的值為．【變式52】（2023?巧家縣二模）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0的一個(gè)根為0，則m的值為（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．0【變式53】（2023春?鹿城區(qū)期中）關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a2﹣18＝0的一個(gè)根是1，則a的值是（）A．4 B．2或﹣2 C．4或﹣4 D．3【變式54】（2023?綿陽(yáng)三模）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一個(gè)根為﹣1，則k的值為（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．9【變式55】（2023?博羅縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一個(gè)根，求m的值．題型六由一元二次方程的解求代數(shù)式的值題型六由一元二次方程的解求代數(shù)式的值【例題6】（2023?香洲區(qū)校級(jí)三模）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個(gè)解是x＝1，則代數(shù)式2022﹣a﹣b的值為（）A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023解題技巧提煉將一元二次方程的根代入原方程得到關(guān)于字母參數(shù)的方程，然后利用整體代入法求代數(shù)式的值即可.【變式61】（2023?福田區(qū)校級(jí)模擬）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，則﹣2a2﹣4a的值是．【變式62】（2023?定西二模）若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一個(gè)根，則6m2﹣9m+2023的值為．【變式63】（2022秋?大荔縣期末）已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，求m3+2m2﹣2025m+2022的值．【變式64】（2023?鶴山市模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：(a2?4a2?4a+4?1【變式65】（2022春?豐城市校級(jí)期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個(gè)根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代數(shù)式a2﹣2019a+2020題型七已知一元二次方程的根求另一方程的根題型七已知一元二次方程的根求另一方程的根【例題7】若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c滿足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，則方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．無(wú)法確定解題技巧提煉已知一元二次方程的根求另一方程的根，主要是利用根的定義代入原方程中，得到關(guān)于字母參數(shù)的方程，再來(lái)求另一方程的根.【變式71】（2023春?崇左月考）在關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c滿足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，則方程的根是（）A．1，0 B．1，﹣2 C．1，﹣1 D．無(wú)法確定【變式72】（2023春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一個(gè)根是x＝m，則方程x2+bx+a＝0有一個(gè)根是（）A．x＝m B．x＝﹣m C．x=1m D．x【變式73】若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一個(gè)根為x＝2021，則方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【變式74】（2023?安源區(qū)校級(jí)模擬）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一個(gè)根為x＝5，則方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根為．【變式75】（2022秋?南安市期中）兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常數(shù)，且a+c＝0，如果x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（）A．±2020 B．?12020 C．﹣2020 題型八根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列簡(jiǎn)單的一元二次方程題型八根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列簡(jiǎn)單的一元二次方程【例題8】（2023?永州）某2020年人均可支收入為2.36萬(wàn)元，2022年達(dá)到2.7萬(wàn)元，若2020年至2022年間每年人均可支配收入的增長(zhǎng)率都為x，則下面所列方程正確的是（）A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7解題技巧提煉由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問(wèn)題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問(wèn)題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．【變式81】（2022?襄州區(qū)模擬）在一次同學(xué)聚會(huì)上，每人都向其他人贈(zèng)送了一份小禮品，共互送110份小禮品，如果參加聚會(huì)的同學(xué)有x名．根據(jù)題意列出的方程是．【變式82】（2022?長(zhǎng)沙一模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，有題譯文如下：今有門(mén)，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短．橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門(mén)高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門(mén)對(duì)角線長(zhǎng)恰好相等．問(wèn)門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？設(shè)門(mén)對(duì)角線的長(zhǎng)為x尺，下列方程符合題意的是（）A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2 C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2【變式83】（2023?喀什地區(qū)三模）為大力實(shí)施城市綠化行動(dòng)，某小區(qū)規(guī)劃設(shè)置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長(zhǎng)比寬多30米，設(shè)綠地長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意可列方程為（）A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝1000【變式84】（2023?花都區(qū)二模）為豐富鄉(xiāng)村文體生活，某區(qū)準(zhǔn)備組織首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都