浙江省衢州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

衢州市2024年6月高二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測試卷數(shù)學(xué)考生須知：1.全卷分試卷和答題卷.考試結(jié)束后，將答題卷上交.2.試卷共4頁，有4大題，19小題.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.3.請將答案做在答題卷的相應(yīng)位置上，寫在試卷上無效.一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目的要求.1.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法計(jì)算.【詳解】.故選：D2.設(shè)隨機(jī)變量，則的數(shù)學(xué)期望為（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的變量的期望公式，代入運(yùn)算得解.【詳解】，.故選：D.3.已知直線和平面，則“”是“直線與平面無公共點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合充分，必要條件關(guān)系判斷.【詳解】因?yàn)榘椭本€與平面相交兩種情況，因此若，則直線可以與平面無公共點(diǎn)也可以與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，因此“”是“直線與平面無公共點(diǎn)”的必要不充分條件.故選：B．4.某圓錐的軸截面是腰長為1的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出該圓錐的底面半徑和母線長，再求圓錐的側(cè)面積得解.【詳解】由題得底面圓的直徑為，所以該圓錐的底面半徑為，母線長為1，所以該圓錐的表面積為.故選：A.5.已知向量，且，則在上投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)條件求出，再根據(jù)投影向量的概念計(jì)算在上的投影向量.【詳解】由，得：.又.所以在上的投影向量為：.故選：C6.在中，，是的中點(diǎn)，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得，即可得到，再由正弦型函數(shù)的值域，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，在中，由正弦定理可得，則，且是的中點(diǎn)，則，又，則，則，又，則，所以，則，即的取值范圍為.故選：C7.若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先設(shè)切點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，利用點(diǎn)斜式得到切線方程；再根據(jù)切線過點(diǎn)，得到的關(guān)系，利用有兩解求的取值范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)，又，所以切線斜率為：.由點(diǎn)斜式，切線方程為：.因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以.所以：.因?yàn)檫^原點(diǎn)的切線有兩條，所以關(guān)于方程有兩解.由（），設(shè)，則，由得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時(shí)，.所以有兩解，則.故選：A8.已知曲線：，曲線：，兩曲線在第二象限交于點(diǎn)，，在處的切線傾斜角分別為，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得，再根據(jù)圓的切線求法可得，再根據(jù)三角恒等變換可判斷B正確.【詳解】聯(lián)立，得，即，可得，解得，，可得由：可知；所以曲線在處的切線斜率為，曲線可化為，其圓心為，，所以圓在處的切線斜率為，，，即，故B正確，A、C錯(cuò)誤，，故D錯(cuò)誤，故選：B.二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列論述正確的是（）A.樣本相關(guān)系數(shù)時(shí)，表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系B.由樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過中心點(diǎn)C.用決定系數(shù)比較兩個(gè)回歸模型的擬合效果時(shí)，越大，表示殘差平方和越大，模型擬合效果越差D.研究某兩個(gè)屬性變量時(shí)，作出零假設(shè)并得到2×2列聯(lián)表，計(jì)算得，則有的把握能推斷不成立【答案】ABD【解析】【分析】對于A：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)分析判斷；對于B：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程過樣本中心點(diǎn)分析判斷；對于C：根據(jù)決定系數(shù)的性質(zhì)分析判斷；對于D：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，線性相關(guān)性越強(qiáng)，所以樣本相關(guān)系數(shù)時(shí)，表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，故A正確；對于選項(xiàng)B：經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過中心點(diǎn)，故B正確；對于選項(xiàng)C：在回歸分析中，越大，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，根?jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想可知有的把握能推斷不成立，故D正確；故選：ABD.10.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，為其左支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則（）A.雙曲線的焦距為6B.點(diǎn)到漸近線的距離為2C.的最小值為D.若，則的面積為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)判斷A，利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷B，利用雙曲線的定義判斷C，求焦點(diǎn)三角形的面積，可判斷D.【詳解】如圖：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可知，，所以，所以雙曲線的焦距為：，故A正確；雙曲線的漸近線為，即，點(diǎn)到漸近線的距離為：，故B錯(cuò)誤；設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,根據(jù)雙曲線的定義：，所以，故C正確；在中，由，，，由余弦定理得：，所以，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且為偶函?shù)，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)既是中心對稱又是軸對稱，求得函數(shù)的周期，判斷A，再根據(jù)函數(shù)周期和對稱性求值，并求函數(shù)值，判斷BCD.【詳解】∵，∴關(guān)于對稱∵為偶函數(shù)，∴關(guān)于對稱∴的周期，故A錯(cuò)；（∵的周期為12）（∵關(guān)于對稱）（∵關(guān)于對稱），故B正確；（∵的周期為12）（∵關(guān)于對稱）（∵關(guān)于對稱），即，故C正確；∵的周期為12∴，，又，所以，同理，，，，又，所以，即，由，令，得，，，所以，所以，，，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過對稱性判斷函數(shù)的周期.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)是______.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)賦值即可得展開式中的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：.13.甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外三個(gè)人中任何一個(gè)人.則4次傳球的不同方法總數(shù)為_________（用數(shù)字作答）；4次傳球后球在甲手中的概率為_________.【答案】①.81②.【解析】【分析】先求出4次傳球的方法總數(shù)，再求出4次傳球后球在甲手中的方法總數(shù)，設(shè)表示經(jīng)過第次傳球后球在甲手中，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，依題意利用全概率公式得到，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出，再將代入計(jì)算可得.【詳解】由題意可知，4次傳球總的傳球路線種數(shù)為種，設(shè)表示經(jīng)過第次傳球后球在甲手中，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，，則有，，所以，即，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí).故答案為：81，.14.如圖，等腰直角三角形中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）.將沿折起，使得二面角為直二面角，則三棱錐的外接球體積的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩平面互相垂直判斷外接球球心的位置，再由已知條件計(jì)算出球半徑表達(dá)式，即可求出體積取值范圍.【詳解】因?yàn)槭侵苯侨切?，所以其外接圓的圓心在的斜邊上，即是該圓的直徑，又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫姹剡^球心，外接球半徑即為外接圓的半徑，設(shè)球的半徑為，球的體積為，在中，根據(jù)正弦定理得，，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是通過兩平面垂直關(guān)系以及三棱錐的底面為直角三角形判斷出球心的位置，判斷球心在平面上，得出球心為外接圓的圓心，再求出的取值范圍即可解決問題.四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗(yàn)算步驟.15.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，14，成等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，14，成等差數(shù)列，得，再結(jié)合及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求，從而得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用“錯(cuò)位相減求和法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】由題意可知，即，又∵，即，∴或（舍），∴，∴.【小問2詳解】令，∴，即①∴②①②得：∴∴.16.如圖，在棱長為1的正四面體中，是的中點(diǎn)，，分別在棱和上（不含端點(diǎn)），且平面.（1）證明：平面；（2）若為中點(diǎn)，求平面截該正四面體所得截面的面積；（3）當(dāng)直線與平面所成角為時(shí)，求.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；（2）取中點(diǎn)，則平面即為平面截正四面體的截面，求解即可.（3）方法一：取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，由線面角的定義可知即為直線與平面所成角，求解即可；方法二：如圖，取中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，由向量法求解即可.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，又面，面，所以平面；【小?詳解】因?yàn)?，，為，，中點(diǎn)，取中點(diǎn)，則平面即為平面截正四面體的截面，且為邊長是的正方形，所以；【小問3詳解】方法一：取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接易知，平面，所以即為直線與平面所成角，又，，所以，，所以，即方法二：如圖，取中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，過點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，所以，即，所以，又平面的法向量為，所以，解得，即.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的最大值.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）中的單調(diào)性可得，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值.小問1詳解】由題意可知：，①當(dāng)時(shí)，，可知在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因?yàn)椋桑?）可得：①當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞增，且趨近于時(shí)，趨近于，與題意不符；②當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，可得，且，則，令，則，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以當(dāng)，時(shí)，的最大值為.18.某學(xué)校的數(shù)學(xué)節(jié)活動(dòng)中，其中有一項(xiàng)“抽幸運(yùn)數(shù)字”擂臺(tái)游戲，分甲乙雙方，游戲開始時(shí)，甲方有2張互不相同的牌，乙方有3張互不相同的牌，其中的2張牌與甲方的牌相同，剩下一張為“幸運(yùn)數(shù)字牌”.游戲規(guī)則為：①雙方交替從對方抽取一張牌，甲方先從乙方中抽??；②若抽到對方的牌與自己的某張牌一致，則將這兩張牌丟棄；③最后剩一張牌（幸運(yùn)數(shù)字牌）時(shí)，持有幸運(yùn)數(shù)字牌的那方獲勝.假設(shè)每一次從對方抽到任一張牌的概率都相同.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則為：若甲方勝可獲得200積分，乙方勝可獲得100積分.（1）已知某一輪游戲中，乙最終獲勝，記為甲乙兩方抽牌次數(shù)之和.（?。┣螅唬áⅲ┣?，；（2）為使獲得積分的期望最大，你會(huì)選擇哪一方進(jìn)行游戲？并說明理由.【答案】（1）（?。?；（ⅱ），（2）乙方，理由見解析【解析】【分析】（1）（i）分析得到甲方抽到的乙方的牌為與自己相同的牌，從而乙方會(huì)剩下“幸運(yùn)數(shù)字牌”，求出概率；（ii）前次抽牌都只抽到對方手中的幸運(yùn)數(shù)字牌，概率均為，得到概率；（2）方法一：記乙方獲勝為事件A，利用等比數(shù)列求和公式和極限得到，求出乙方獲得積分的期望，求出甲方獲勝的概率和積分的期望，根據(jù)選擇乙方進(jìn)行游戲.方法二：設(shè)乙方獲勝為事件A，由題意得到，求出，求出乙方獲得積分的期望，求出甲方獲勝的概率和積分的期望，根據(jù)選擇乙方進(jìn)行游戲.【小問1詳解】（i）甲乙兩方抽牌次數(shù)之和為，則甲方抽到的乙方的牌為與自己相同的牌，從而乙方會(huì)剩下“幸運(yùn)數(shù)字牌”，即乙獲勝，；（ii）前次抽牌都只抽到對方手中的幸運(yùn)數(shù)字牌，概率均為，甲方在第次抽到的不是對方手中的幸運(yùn)數(shù)字牌，從而乙方最后獲勝，所以，；【小問2詳解】方法一：記乙方獲勝為事件A，則.乙方獲得積分的期望為，則甲方獲勝的概率為，甲方獲得積分的期望為，因?yàn)?，所以我?huì)選擇乙方進(jìn)行游戲.方法二：記乙方獲勝為事件A，則乙方獲勝的概率為，事件A可分為甲第一次抽中的牌不是幸運(yùn)數(shù)字牌和是幸運(yùn)數(shù)字牌兩種情況，其中若甲第一次抽中的牌不是幸運(yùn)數(shù)字牌，則乙會(huì)獲勝，概率為，若甲第一次抽中的牌是幸運(yùn)數(shù)字牌，此時(shí)甲乙手中的牌相當(dāng)于進(jìn)行了互換，則此時(shí)甲獲勝的概率與乙獲勝的概率相同，則甲不獲勝的概率即為，則，解得，乙方獲得積分的期望為，則甲方獲勝的概率為，甲方獲得積分的期望為，因?yàn)?，所以我?huì)選擇乙方進(jìn)行游戲.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：如圖求解乙方獲勝的概率，可使用等比數(shù)列求和公式和極限思想，也可以通過題意得到方程，求出答案.19.已知橢圓：的離心率為，斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，是關(guān)于軸的對稱點(diǎn).當(dāng)與原點(diǎn)重合時(shí)，面積為.（1）求的方程；（2）當(dāng)異于點(diǎn)時(shí)，記直線與軸交于點(diǎn)，求周長的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，表示出面積后，結(jié)合面積與離心率計(jì)算即可得；（2）要求的周長，則需把各邊長一一算出，即需把、算出，設(shè)出