專題111有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型（滬科版）

專題1.11有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型【滬科版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共36題，共六大題型，每個題型6題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學(xué)生對有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型的理解！【題型1數(shù)列型規(guī)律探究】1．（2023春·山東濟寧·六年級統(tǒng)考期末）如圖，將大小相同的小圓規(guī)律擺放：第1個圖形有5個小圓，第2個圖形有8個小圓，第3個圖形有11個小圓，…依此規(guī)律，第n個圖形的小圓個數(shù)是（

）A．3n-2個 B．3n+2個 C．5【答案】B【分析】觀察圖形的變化先計算出前幾個圖形的小圓的個數(shù)，進而可得第n個圖形的小圓個數(shù)．【詳解】解：觀察圖形的變化可知：第1個圖形有5個小圓，即5=2×1+3，第2個圖形有8個小圓，即8=2×2+3+1第3個圖形有11個小圓，即11=2×3+3+2?依此規(guī)律，第n個圖形的小圓個數(shù)是：2n+故選：B．【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是先計算出前幾個圖形的小圓的個數(shù)，找到規(guī)律．2．（2023春·安徽滁州·七年級校考期中）某種細(xì)胞開始分裂時有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2小時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規(guī)律，8小時后細(xì)胞存活的個數(shù)是（）A．253 B．255 C．257 D．259【答案】C【分析】從特殊出發(fā)，歸納得到一般規(guī)律即可完成．【詳解】解：根據(jù)題意，1小時后分裂成4個并死去1個，剩3個，3＝2+1；2小時后分裂成6個并死去1個，剩5個，5＝22+1；3小時后分裂成10個并死去一個，剩9個，9＝23+1；……n個小時后細(xì)胞存活的個數(shù)是2n+1，當(dāng)n＝8時，存活個數(shù)是28+1＝257．故選：C．【點睛】本題考查了乘方的應(yīng)用，根據(jù)前幾個的情況得出一般規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示：下列各三角形中的三個數(shù)均有相同的規(guī)律，由此規(guī)律最后一個三角形中，y的值是（

）A．380 B．382 C．384 D．386【答案】B【分析】根據(jù)已知圖形得出下面的數(shù)字是左邊數(shù)字與左邊數(shù)加1的乘積與2的和，據(jù)此可得答案．【詳解】解：由4＝1×2+2，8＝2×3+2，14＝3×4+2，22＝4×5+2，得到規(guī)律：下面的數(shù)字是左邊數(shù)字與左邊數(shù)加1的乘積與2的和，y＝19×20+2＝382，故選：B．【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出右邊數(shù)字是左邊數(shù)字與1的和，下面數(shù)字是上面兩個數(shù)字乘積與2的和．4．（2023春·全國·七年級期末）如圖，在數(shù)軸上，點A表示數(shù)1,現(xiàn)將點A沿數(shù)軸作如下移動，第一次將點A向左移動3個單位長度到達點A1，第二次將點A1向右移動6個單位長度到達點A2，第三次將點A2向左移動9個單位長度到達點A3，…，按照這種移動規(guī)律進行下去，第2021A．-3029 B．-3032 C．-3035【答案】B【分析】從A的序號為奇數(shù)的情形中，尋找解題規(guī)律求解即可.【詳解】∵A表示的數(shù)為1，∴A1=1+（3）×1=2∴A2=2+（3）×（2）=4∴A3=4+（3）×3=5=2+（3∴A4=5+（3）×（4）=7∴A5=7+（3）×（5）=8=2+（3）×2∴A2021=-故選B.【點睛】本題考查了數(shù)軸上動點運動規(guī)律，抓住序號為奇數(shù)時數(shù)的表示規(guī)律是解題的關(guān)鍵.5．（2023春·江西上饒·七年級?？计谥校┌阉姓麛?shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：（1），(2，3，4)，(5，6，7，8，9)，(10，11，12，13，14，15，16)，…，現(xiàn)用等式AM=(i，j)表示正整數(shù)M是第i組第j個數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3，4)，則A2020=()A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)【答案】D【分析】根據(jù)排列規(guī)律，先判斷2020在第幾組，再判斷是這一組的第幾個數(shù)即可求解；【詳解】設(shè)2020在第n組，組與組之間的數(shù)字個數(shù)規(guī)律可以表示為：2n1則1+3+5+7+???+(2n1)=12×2n×n=n當(dāng)n=44時，n2=1936當(dāng)n=45時，n2∴2020在第45組，且20201936=84，即2020為第45組的第84個數(shù)；故選：D．【點睛】本題考查數(shù)字類的規(guī)律探究、有理數(shù)的加法運算，善用聯(lián)想探究數(shù)字規(guī)律是解決此類問題的常用方法；6．（2023春·湖南永州·九年級?？计谥校┯^察下列算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75【答案】1【分析】根據(jù)7的指數(shù)從1到5，末位數(shù)字從7，9，3，1，7進行循環(huán)，再用2020除以4得出余數(shù)，再寫出72020個位數(shù)字．【詳解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，上述的幾個式子，易知1次方為末位數(shù)字是7，2次方末位數(shù)字是為9，3次方末位數(shù)字是為3，4次方末位數(shù)字是為1，5次方末位數(shù)字是為7，∴個位數(shù)字的變化是以7，9，3，1為周期，即周期為4，∵2020÷4=505，∴72020的個位數(shù)字為1，故答案為：1．【點睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，觀察出結(jié)果個位數(shù)字的特點是解本題的關(guān)鍵．【題型2裂差型規(guī)律探究】1．（2023春·浙江杭州·七年級期末）如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為12的矩形，接著把其中一個面積為12的矩形等分成兩個面積為14的矩形，再把其中一個面積為14的矩形等分成兩個面積為1【答案】511【分析】根據(jù)題意及圖形可得12=112，12+14=114，12+14【詳解】解：由圖及題意可得：12=112，12+14=114，12+14依此規(guī)律可得：1+12+故答案為：511256【點睛】本題主要考查有理數(shù)的加減，關(guān)鍵是根據(jù)題意及圖形得到規(guī)律，然后進行求解即可．2．（2023春·福建泉州·七年級福建省惠安第一中學(xué)校聯(lián)考期中）觀察下列等式：第1個等式：a1=11×3=第3個等式：a3=15×7=…請回答下列問題：（1）按以上規(guī)律列出第5個等式：a5=_________=（2）用含n的代數(shù)式表示第n個等式：an=_________=_________(n（3）求a1（4）求15×10【答案】（1）19×11=12×19-111；（2【分析】（1）根據(jù)前面4個等式找到規(guī)律即可得出第5個等式；（2）由題意可知：分子為1，分母是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積，可以拆成分子是1，分母是以這兩個奇數(shù)為分母差的一半，由此得出答案即可；（3）依照上述規(guī)律，相加后，采用拆項相消法即可得出結(jié)果；（4）模仿上述規(guī)律，相加后，采用拆項相消法即可得出結(jié)果．【詳解】解：(1)1(2)1(3)a=1=1=2018(4)1=1=1=1=403【點睛】本題考查的是有理數(shù)運算中的規(guī)律探究，掌握“從具體到一般的探究方法，并運用運算規(guī)律解決問題”是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·北京·七年級景山學(xué)校?？计谥校┰谟行┣闆r下，不需要計算出結(jié)果也能把絕對值符號去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式：①|(zhì)7＋2|＝；②|－12＋15|＝（2）用簡單的方法計算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋【答案】（1）①7+2；②12-15【分析】（1）①②根據(jù)正數(shù)的絕對值等于本身，負(fù)數(shù)的絕對值是其相反數(shù)可得答案；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡，再相互抵消可得答案．【詳解】解：（1）①∵7+2>0∴|7＋2|＝7+2；②∵-12∴|－12＋15|＝（2）原式＝12-=12＝20194042【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練地掌握運算法則和絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023春·河北保定·七年級校聯(lián)考期中）觀察下列各式：---……(1)按照上述規(guī)律，第4個等式是：________________________________(2)第n個等式是：________________________(3)運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：-(4)-1×【答案】(1)-(2)-(3)-(4)-【分析】（1）按照上面計算方法計算即可得出答案；（2）根據(jù)題目規(guī)律可發(fā)現(xiàn)，-1（3）按（2）的公式運算即可得出答案；（4）由規(guī)律式子變形，中間部分互相抵消，只剩首項和尾項，即可算出答案．【詳解】（1）-1（2）-1（3）-1（4）原式=-1+1【點睛】本題考查找規(guī)律，抽象概括出規(guī)律并能計算是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級?？计谥校?）121212猜想：12（2）根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問題：①計算：1②將2020減去它的12，再減去余下的13，再減去余下的14……，依次類推，最后減去余下的【答案】（1）13；14；15；1n+1；（2【分析】（1）約分計算即可求解；（2）①先算括號里面的減法，再約分計算即可求解；②根據(jù)題意列出算式2020×(1-1【詳解】解：（1）1212112故答案為：13；14；15（2）①(=-=-1②依題意有：2020×(1-=2020×=1．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，第（2）問根據(jù)題意列出算式是解本題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江金華·七年級統(tǒng)考期中）我們知道：1-12=21×2-11×2=11×2；12-13根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問題：(1)11×2+(2)計算：11×5(3)計算：11×4×7【答案】(1)6(2)25(3)101【分析】（1）根據(jù)規(guī)律，裂項相減即可求解；（2）每項提出14（3）每項提出16【詳解】（1）解：1=1-=1-=（2）解：原式===1（3）解：原式==1【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減運算，有理數(shù)的乘法運算，根據(jù)題意，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【題型3新定義型規(guī)律探究】1．（2023春·四川成都·七年級?？计谥校┮阎篊32=3×21×2=3，C53【答案】165【分析】對于Cab(b<a)來講，等于一個分式，其中分母是從1到b的b【詳解】解：∵C?32=3×21×2∴C故答案為：165．【點睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，利用已知得出分子與分母之間的規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級期末）符號“f”表示一種運算，它對一些數(shù)的運算結(jié)果如下：（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f（2）f(12)=2，f(13利用以上規(guī)律計算：f(12008【答案】1【分析】直接利用運算公式化簡，即可得出答案．【詳解】解：f=20082007=1，故答案為：1．【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，數(shù)字變化規(guī)律，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．3．（2023春·江西宜春·七年級統(tǒng)考期中）對于正數(shù)x，規(guī)定fx=x1+x，例如：f2=2f12019+f1【答案】2018【分析】按照定義式f(x)=【詳解】f=1=(=2018+=2018故答案為：2018【點睛】本題考查了定義新運算在有理數(shù)的混合運算中的應(yīng)用，讀懂定義，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山西臨汾·七年級校聯(lián)考期中）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．老師說：“我定義了一種新的運算，叫※（加乘）運算．”然后老師寫出了一些按照※（加乘）運算的運算法則進行運算的算式：(+5)※(+2)=+(|5|+|2|)=+7；(-3)※(-5)=+(|3|+|5|)=+8；(-3)※(+4)=-(|3|+|4|)=-7；(+5)※(-6)=-(|5|+|6|)=-110※(+8)=8；(-6)※0=6．小明看了這些算式后說：“我知道老師定義的※（加乘）運算的運算法則了．”聰明的你也明白了嗎？(1)歸納※（加乘）運算的運算法則．兩數(shù)進行※（加乘）運算時，運算法則是：；特別地，0和任何數(shù)進行※（加乘）運算，或任何數(shù)和0進行※（加乘）運算運算法則是：．(2)計算：①(-5)※0※(-3)②(-4)※3※【答案】(1)兩數(shù)進行※（加乘）運算時，同號得正，異號得負(fù)，并把它們的絕對值相加；0和任何數(shù)進行※（加乘）運算，或任何數(shù)和0進行※（加乘）都等于這個數(shù)的絕對值(2)①-8；②【分析】（1）歸納總結(jié)得到加乘法則，寫出即可；（2）各式利用得出的法則計算即可求出值．【詳解】（1）兩數(shù)進行※（加乘）運算時，運算法則是：兩數(shù)進行※（加乘）運算時，同號得正，異號得負(fù)，并把它們的絕對值相加；特別地，0和任何數(shù)進行※（加乘）運算，或任何數(shù)和0進行※（加乘）運算運算法則是：0和任何數(shù)進行※（加乘）運算，或任何數(shù)和0進行※（加乘）都等于這個數(shù)的絕對值；（2）①根據(jù)題中的新定義得：(-5)※=(-5)※3=-(5+3)=-8；②根據(jù)題中的新定義得：(-4)※3=-7※15=-(7+15)=-22．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．5．（2023春·重慶潼南·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，探究規(guī)律，完成下列問題．甲同學(xué)說：“我定義了一種新的運算，叫*（加乘）運算．“然后他寫出了一些按照*（加乘）運算的運算法則進行運算的算式：(+2)*(+3)=+5；(-1)*(-9)=+10；(-3)*(+6)=-9；(+4)*(-4)=-8；0*(+1)=1；0*(-7)=7．乙同學(xué)看了這些算式后說：“我知道你定義的*（加乘）運算的運算法則了．”(1)請你根據(jù)甲同學(xué)定義的*（加乘）運算的運算法則，計算下列式子：(-2)*(-7)=；(+4)*(-3)=；0*(-5)=．請你嘗試歸納甲同學(xué)定義的*（加乘）運算的運算法則：兩數(shù)進行*（加乘）運算時，．特別地，0和任何數(shù)進行*（加乘）運算，．(2)我們知道有理數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，這兩種運算律在甲同學(xué)定義的*（加乘）運算中還適用嗎？請你任選一個運算律，判斷它在*（加乘）運算中是否適用，并舉例驗證．（舉一個例子即可）【答案】(1)+9-75同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相加(2)加乘運算滿足交換律，不滿足結(jié)合律，舉例見解析.【分析】（1）根據(jù)題干提供的運算特例的運算特點分別進行計算，再歸納可得：加乘運算的運算法則；（2）對于加乘運算的交換律，可舉例(-3)*(-5),(-5)*(-3),進行運算后再判斷，對于加乘運算的結(jié)合律，可舉例[0*(-3)]*(-5),0*[(-3)*(-5)],進行運算后再判斷即可【詳解】（1）解：根據(jù)加乘運算的運算法則可得：(-2)*(-7)=+9；(+4)*(-3)=-7；0*(-5)=5．歸納可得：兩數(shù)進行*（加乘）運算時，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相加．特別地，0和任何數(shù)進行*（加乘）運算，等于這個數(shù)的絕對值．（2）解：加法的交換律仍然適用，例如：(-3)*(-5)=8,(-5)*(-3)=8,所以(-3)*(-5)=(-5)*(-3),故加法的交換律仍然適用．加法的結(jié)合律不適用，例如：[0*(-3)]*(-5)=3*(-5)=-8,0*[(-3)*(-5)]=0*(+8)=8,所以[0*(-3)]*(-5)≠0*[(-3)*(-5)],故加法的結(jié)合律不適用．【點睛】本題考查的是新定義運算，同時考查的是有理數(shù)的加法運算，絕對值的含義，理解新定義，歸納總結(jié)運算法則是解本題的關(guān)鍵.6．（2023春·北京房山·七年級統(tǒng)考期末）將n個互不相同的整數(shù)置于一排，構(gòu)成一個數(shù)組．在這n個數(shù)字前任意添加“+”或“”號，可以得到一個算式．若運算結(jié)果可以為0，我們就將這個數(shù)組稱為“運算平衡”數(shù)組．（1）數(shù)組1，2，3，4是否是“運算平衡”數(shù)組？若是，請在以下數(shù)組中填上相應(yīng)的符號，并完成運算；1

2

3

4

=（2）若數(shù)組1，4，6，m是“運算平衡”數(shù)組，則m的值可以是多少？（3）若某“運算平衡”數(shù)組中共含有n個整數(shù)，則這n個整數(shù)需要具備什么樣的規(guī)律？【答案】（1）是，+123+4=0；（2）m=±1，±3，±9，±11；（3）這n個整數(shù)互不相同，在這n個數(shù)字前任意添加“+”或“”號后運算結(jié)果為0．【分析】（1）根據(jù)“運算平衡”數(shù)組的定義即可求解；（2）根據(jù)“運算平衡”數(shù)組的定義得到關(guān)于m的方程，解方程即可；（3）根據(jù)“運算平衡”數(shù)組的定義可以得到n個數(shù)的規(guī)律．【詳解】解：（1）數(shù)組1，2，3，4是“運算平衡”數(shù)組，+123+4=0；（2）要使數(shù)組1，4，6，m是“運算平衡”數(shù)組，有以下情況：1+4+6+m=0；1+4+6+m=0；14+6+m=0；1+46+m=0；1+4+6m=0；14+6+m=0；1+46+m=0；1+4+6m=0；146+m=0；14+6m=0；1+46m=0；146+m=0；14+6m=0，1+46m=0，146m=0；146m=0；共16中情況，經(jīng)計算得m=±1，±3，±9，±11；（3）這n個整數(shù)互不相同，在這n個數(shù)字前任意添加“+”或“”號后運算結(jié)果為0．【點睛】本題考查了新定義問題，理解“運算平衡”數(shù)組的定義是解題關(guān)鍵．【題型4含n2型規(guī)律探究】1．（2023春·全國·七年級期末）觀察下列等式：（1）1（2）1（3）1（4）1……根據(jù)此規(guī)律，第10個等式的右邊應(yīng)該是a2，則a的值是（

A．45 B．54 C．55 D．65【答案】C【分析】根據(jù)所給的算式，探索其底數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)規(guī)律解答即可.【詳解】其底數(shù)之間的關(guān)系為：（1）1=1（2）1+2=3（3）1+2+3=6（4）1+2+3+4=10……（10）1+2+3+…+10=55故選：C【點睛】本題考查的是探索數(shù)字之間的規(guī)律，關(guān)鍵是要善于觀察，抓住其底數(shù)之間的關(guān)系.2．（2023·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考期中）數(shù)列：0，2，4，8，12，18，…是我國的大衍數(shù)列，也是世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．該數(shù)列中的奇數(shù)項可表示為n2-1如：第一個數(shù)為12-12=0，第二個數(shù)為現(xiàn)在數(shù)軸的原點上有一點P，依次以大衍數(shù)列中的數(shù)為距離向左右來回跳躍．第1秒時，點P在原點，記為P1；第2秒時，點P向左跳2個單位，記為P2，此時點P2所表示的數(shù)為2；第3秒時，點P向右跳4個單位，記為P3，此時點P3所表示的數(shù)為2；…按此規(guī)律跳躍，點P20表示的數(shù)為．【答案】110【分析】通過總結(jié)規(guī)律和數(shù)軸上表示即可求解.【詳解】第1秒時，點P在原點，記為P1；第2秒時，點P向左跳2個單位，記為P2，此時點P2所表示的數(shù)為2；第3秒時，點P向右跳4個單位，記為P3，此時點P3所表示的數(shù)為2；第4秒時，點P向左跳8個單位，記為P4，此時點P3所表示的數(shù)為6；第5秒時，點P向右跳12個單位，記為P5，此時點P4所表示的數(shù)為6；第6秒時，點P向左跳18個單位，記為P6，此時點P5所表示的數(shù)為12；第7秒時，點P向右跳24個單位，記為P7，此時點P6所表示的數(shù)為12；通過規(guī)律得出以0為軸左右兩邊的絕對值相等，符號相反，只要求出一邊即可得出結(jié)論，通過秒數(shù)為奇數(shù)1對應(yīng)0，3對應(yīng)2，5對應(yīng)6，7對應(yīng)12，以此推類得出奇數(shù)所對應(yīng)的數(shù)值為n2-12，將P21代入得110答案為110.【點睛】本題主要考查了規(guī)律和數(shù)軸，正確找出規(guī)律是關(guān)鍵.3．（2023春·廣東珠?！ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期末）觀察下列式子：0×2+1＝12……①1×3+1＝22……②2×4+1＝32……③3×5+1＝42……④……（1）第⑤個式子，第⑩個式子；（2）請用含n（n為正整數(shù)）的式子表示上述的規(guī)律，并證明：（3）求值：（1+11×3）（1+12×4）（1+13×5）（1+14×6）…【答案】（1）4×6+1＝52，9×11+1＝102；（2）（n﹣1）（n+1）+1＝n2；（3）20171009【分析】(1)觀察發(fā)現(xiàn)一個正整數(shù)乘以比這個正整數(shù)大2的數(shù)再加1就等于這個正整數(shù)加1的平方；（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答即可；（3）先通分，然后根據(jù)（2）中結(jié)論解答即可.【詳解】解：（1）第⑤個式子為4×6+1＝52，第⑩個式子9×11+1＝102，故答案為4×6+1＝52，9×11+1＝102；（2）第n個式子為（n﹣1）（n+1）+1＝n2，證明：左邊＝n2﹣1+1＝n2，右邊＝n2，∴左邊＝右邊，即（n﹣1）（n+1）+1＝n2．（3）原式＝1×3+11×3×2×4+12×4×3×5+1=22＝2×2017＝20171009【點睛】本題考查了規(guī)律型數(shù)字類規(guī)律與探究，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．4．（2023春·四川樂山·七年級統(tǒng)考期中）(1)把左右兩邊計算結(jié)果相等的式子用線連接起來：1﹣1(1+11﹣1(1+1﹣1(1+1﹣1(1+(2)觀察上面計算結(jié)果相等的各式之間的關(guān)系，可歸納得出：1﹣1n2(3)利用上述規(guī)律計算下式的值：(1122)×(1132)×(114【答案】(1)見解析；(2)(1+1n)(1-1【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法和乘方運算分別計算結(jié)果可得；（2）根據(jù)以上表格中的計算結(jié)果可得；（3）根據(jù)以上規(guī)律，將原式裂項、約分即可得．【詳解】(1)把左右兩邊計算結(jié)果相等的式子用線連接起來：1﹣1(1+1﹣1(1+1﹣1(1+1﹣1(1+(2)觀察上面計算結(jié)果相等的各式之間的關(guān)系，可歸納得出：1-1n2故答案為(1+1(3)原式=(1+12)(112)×(1+13)(113)×(1+14)(114)×…×(1+199=12×32×23×43×34×5=12×=101200【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法和乘方運算法則及數(shù)字的變化規(guī)律．5．（2023春·河南鄭州·七年級鄭州外國語中學(xué)?？计谥校╅喿x探究：12=1×2×36；12+(1)根據(jù)上述規(guī)律，求12(2)你能用一個含有n（n為正整數(shù)）的算式表示這個規(guī)律嗎？請直接寫出這個算式（不計算）；(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算下面算式的值：112【答案】(1)55(2)1(3)780【分析】（1）仿照閱讀材料中的方法計算即可；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；（3）原式利用得出的規(guī)律計算即可求出值．【詳解】（1）12+22+（2）12（3）112+122+132【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算及算式規(guī)律，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．6．（2023春·北京·七年級北京四中校考期中）閱讀材料．我們知道，1+2+3+…+n=nn+12，那么12+22+32在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12，第2行兩個圓圈中數(shù)的和為2+2，即22，…；第n行n個圓圈中數(shù)的和為n+n+n+…+n，即n2．這樣，該三角形數(shù)陣中共有nn+12個圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n﹣1行的第一個圓圈中的數(shù)分別為n﹣1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為，由此可得，這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3（12+22+32+…+n2）=，因此，12+22+32+…+n2=．【解決問題】根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計算：12+22+【答案】2n+1，nn+12n【分析】根據(jù)圖1和圖2，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，利用此規(guī)律確定出所求即可．【詳解】解：【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n﹣1行的第一個圓圈中的數(shù)分別為n﹣1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均2n+1；由此可得，這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3（12+22+32+…+n2）=nn+12n+12；因此，12+22+3【解決問題】根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計算：：12+2故答案為2n+1；nn+12【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【題型5定義兩個數(shù)的運算】1．（2023春·天津·七年級?？计谀┈F(xiàn)定義運算“*”，對于任意有理數(shù)a，b滿足a*b＝2a-b,a≥ba-2b,a<b．如5*3＝2×5﹣3＝7，A．4 B．11 C．4或11 D．1或11【答案】A【分析】對x的取值分為兩種情況，當(dāng)x≥3和x＜3分類求解，得出符合題意得答案即可.【詳解】當(dāng)x≥3，則x*3＝2x﹣3＝5，x＝4；當(dāng)x＜3，則x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，但11＞3，這與x＜3矛盾，所以此種情況舍去．∴若x*3＝5，則有理數(shù)x的值為4，故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，理解題目中運算規(guī)則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶萬州·七年級統(tǒng)考期末）定義一種新運算“?”，規(guī)定：a?b=2a-3b等式右邊的運算就是加、減、乘、除四則運算，例如：2?(-3)=2×2-3×(-3)=4+9=13A．-2 B．-18 C．-28【答案】D【分析】根據(jù)新運算的運算法則，先計算3?-2，再計算【詳解】解：由題意，得：3?-∴-1故選D．【點睛】本題考查定義新運算．理解并掌握新運算的運算法則，是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江臺州·七年級校考期中）定義：對于任意的有理數(shù)a，ba