專題8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【十大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷】 5【題型2弦長問題】 6【題型3切線問題、切線長問題】 7【題型4圓上的點到直線距離個數(shù)問題】 7【題型5面積問題】 8【題型6直線與圓位置關(guān)系中的最值問題】 8【題型7直線與圓中的定點定值問題】 9【題型8圓與圓的位置關(guān)系】 10【題型9兩圓的公共弦問題】 10【題型10兩圓的公切線問題】 111、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(2)能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題2022年新高考全國I卷：第14題，5分2023年新高考I卷：第6題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第15題，5分2023年全國乙卷（理數(shù)）：第12題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第10題，5分直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，直線與圓結(jié)合命題時，主要考察直線與圓的位置關(guān)系、圓的弦長等，多以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，此時多與圓錐曲線相結(jié)合，難度較大，需要學(xué)會靈活求解.【知識點1直線與圓的位置關(guān)系】1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：位置相交相切相離交點個數(shù)兩個一個零個圖形d與r的關(guān)系d<rd=rd>r方程組

解的情況有兩組不

同的解僅有一組解無解(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當(dāng)d<r時，直線與圓相交；當(dāng)d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d>r時，直線與圓相離.2．圓的弦長問題設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點坐標(biāo)分別為A,B.

①若交點坐標(biāo)簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.

②若交點坐標(biāo)無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長公式.【知識點2圓與圓的位置關(guān)系】1．圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法(1)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

設(shè)兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關(guān)系表示如下：位置關(guān)系關(guān)系式圖示公切線條數(shù)外離d>r1+r2四條外切d=r1+r2三條相交|r1-r2|<d<r1+r2兩條內(nèi)切d=|r1-r2|一條內(nèi)含0≤d<|r1-r2|無②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個數(shù)即可作出判斷.

當(dāng)>0時，兩圓有兩個公共點，相交；當(dāng)=0時，兩圓只有一個公共點，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)<0時，兩圓無公共點，包括內(nèi)含與外離.2．兩圓的公共弦問題(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法兩圓相交時，有一條公共弦，如圖所示.設(shè)圓:，①

圓:，②

①-②，得，③

若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點，則點滿足且，所以.即點適合直線方程，故在③所對應(yīng)的直線上，③表示過兩圓與交點的直線，即公共弦所在的直線的方程.(2)求兩圓公共弦長的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求公共弦長.

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長.3．兩圓的公切線(1)兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

(2)兩圓的公切線位置的5種情況①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；

②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；

③相交時，有2條公切線，都是外公切線；

④內(nèi)切時，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時，無公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù),實質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系。

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)公切線的方程為y=kx+b，最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.【知識點3與圓有關(guān)的最值問題的解題策略】1．解與圓有關(guān)的最值問題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問題

求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當(dāng)直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；②如圖2-5-1-4②，當(dāng)直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；③如圖2-5-1-4③，當(dāng)直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.

①形如u=的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

③形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.

(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點的最長弦就是經(jīng)過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.【方法技巧與總結(jié)】1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到.【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷】【例1】（2024·山東淄博·二模）若圓C:x2+2x+y2?3=0，則直線l:mx+y=0與圓C的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切C．相離 D．相交或相切【變式1-1】（2024·陜西·模擬預(yù)測）“k=125”是“直線kx?y+1+k=0與圓(x?2)2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知直線l:x+1+ay=2?a，圓C:xA．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【變式1-3】（2024·北京大興·三模）已知直線l:y=kx+1與圓C:x+12+y2=r2r>0，則“?k∈RA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型2弦長問題】【例2】（2024·河南·模擬預(yù)測）直線l:x+y=1，圓C:x2+y2?2x?2y?2=0.則直線A．2 B．23 C．27 【變式2-1】（2024·貴州六盤水·三模）已知直線ax?y+2=0與圓x?12+y2=4相交于A，BA．43 B．1 C．?3【變式2-2】（2024·北京豐臺·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:ax+by=1上有且僅有一點P，使OP=1，則直線l被圓C:x2A．1 B．3 C．2 D．2【變式2-3】（2024·湖南婁底·一模）已知圓C:(x?1)2+(y+2)2=16，過點D0,1的動直線l與圓C相交于M,NA．4x+3y?3=0 B．3x?4y+4=0C．x=0或4x+3y?3=0 D．4x+3y?3=0或3x?4y+4=0.【題型3切線問題、切線長問題】【例3】（2024·遼寧丹東·二模）過坐標(biāo)原點O作圓C:x2+y2?4x?4y+4=0的兩條切線OA，OB，切點分別為A，A．2 B．2 C．22 【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點P在圓C:x?a2+y2=a2a>0．上，點A0,2，若PAA．x=0或7x+24y?48=0 B．x=0或7x?24y?48=0C．x=1或24x?7y?48=0 D．x=1或24x+7y?48=0【變式3-2】（2024·北京西城·模擬預(yù)測）已知圓O:x2+y2=1，過直線3x+4y?10=0上的動點P作圓O的一條切線，切點為A．1 B．2 C．3 D．2【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）過直線y=x上一點M作圓C：x?22+y2=1的兩條切線，切點分別為P，Q．若直線PQ過點1,3A．5x?y?2=0 B．x?5y+14=0C．5x+y?8=0 D．x+5y?16=0【題型4圓上的點到直線距離個數(shù)問題】【例4】（2024·重慶·模擬預(yù)測）設(shè)圓C:x?22+y?12=36和不過第三象限的直線l:4x+3y?a=0，若圓C上恰有三點到直線l的距離為A．2 B．4 C．26 D．41【變式4-1】（2024·四川成都·三模）已知圓C：x2+y2=1，直線l：x?y+c=0，則“c=22”是“圓CA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線l:y=kx+2，圓x2+y2A．1或2 B．－1或?2 C．2或－1 【變式4-3】（2024·山西·二模）已知O是坐標(biāo)原點，若圓C:x2+y2+2x?4y+a=0上有且僅有2個點到直線A．(?4?45,45C．(?2?25,25【題型5面積問題】【例5】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知A，B是直線l：x+3y?2=0上的兩點，且AB=1，P為圓D：x2+A．32+2C．32?2【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知A(?3,0)，B(0,3)，設(shè)C是圓M:x2+y2A．12 B．62 C．6 D．【變式5-2】（2024·山西呂梁·一模）已知圓Q:(x?4)2+(y?2)2=4，點P為直線x+y+2=0上的動點，以PQ為直徑的圓與圓Q相交于A．27 B．47 C．2【變式5-3】（23-24高三上·廣東深圳·期末）P是直線3x?4y+5=0上的一動點，過P作圓C:x2+y2?4x+2y+4=0的兩條切線，切點分別為A．2 B．22 C．42 【題型6直線與圓位置關(guān)系中的最值問題】【例6】（2024·四川攀枝花·三模）由直線y=x上的一點P向圓x?42+y2=4引切線，切點為QA．2 B．2 C．6 D．2【變式6-1】（2024·陜西漢中·二模）已知⊙M:x2+y2?2x?2y?2=0，直線l:2x+y+2=0,P為l上的一動點，A，B為A．?255 B．?45 【變式6-2】（2024·北京門頭溝·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點Pcosθ，sinθ到直線kx?y?3k+4=0的距離，則當(dāng)θ，A．2 B．3 C．4 D．6【變式6-3】（2024·陜西西安·一模）已知圓O的方程為：x2+y2=1，點A2,0，B0,2，P是線段AB上的動點，過P作圓O的切線，切點分別為C，D，現(xiàn)有以下四種說法：①四邊形PCOD的面積的最小值為1；②四邊形PCOD的面積的最大值為3；③PC?PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【題型7\t"/gzsx/zj165988/_blank"\o"直線與圓中的定點定值問題"直線與圓中的定點定值問題】【例7】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓A：(x+2)2+y2=25，A為圓心，動直線l過點P(2,0)，且與圓A交于B，C兩點，記弦BC(1)求曲線E的方程；(2)過A作兩條斜率分別為k1，k2的直線，交曲線E于M，N兩點，且k1【變式7-1】（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知圓心C在直線y=?2x上，并且經(jīng)過點A2,?1，與直線x+y?1=0(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)對于圓C上的任意一點P，是否存在定點B（不同于原點O）使得PBPO恒為常數(shù)？若存在，求出點B【變式7-2】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）圓G經(jīng)過點2,23,?4,0(1)求圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓G與x軸分別交于M,N兩點，A為直線l:x=16上的動點，直線AM,AN與曲線圓G的另一個交點分別為E,F，求證直線EF經(jīng)過定點，并求出定點的坐標(biāo)．【變式7-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圓C過點A2,6，圓心在直線y=x+1上，截y軸弦長為2(1)求圓C的方程；(2)若圓C半徑小于10，點D在該圓上運動，點B3,2，記M為過B、D兩點的弦的中點，求M(3)在（2）的條件下，若直線BD與直線l:y=x?2交于點N，證明：BM?【題型8圓與圓的位置關(guān)系】【例8】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知圓E:(x?2)2+(y?4)2A．內(nèi)含 B．相切 C．相交 D．外離【變式8-1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）圓C1:(x?2)2+A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．相離【變式8-2】（2024·廣東廣州·二模）若直線ax+by=1與圓O:x2+y2=1相切，則圓A．外切 B．相交 C．內(nèi)切 D．沒有公共點【變式8-3】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知圓M:x2+y2+2ay=0a>0的圓心到直線3x+2y=2的距離是13A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【題型9\t"/gzsx/zj165988/_blank"\o"直線與圓中的定點定值問題"兩圓的公共弦問題】【例9】（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）圓C1:x2+A．27 B．7 C．6 D．【變式9-1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）圓C1:x2+A．555 B．2555 C．3【變式9-2】（2024·河北石家莊·二模）已知圓O1:x2+y2=5與圓O2A．52 B．5 C．15 D．【變式9-3】（2024·河南·二模）若圓C1:x2+y2=1與圓A．2ax+by?1=0 B．2ax+by?3=0C．2ax+2by?1=0 D．2ax+2by?3=0【題型10\t"/gzsx/zj165988/_blank"\o"直線與圓中的定點定值問題"兩圓的公切線問題】【例10】（2024·河北石家莊·三模）已知圓C1:x2+A．1 B．2 C．3 D．4【變式10-1】（23-24高三下·山東·開學(xué)考試）圓C1:x2+A．y=?x+1 B．y=?x+1或y=x+5C．y=?x+5 D．y=x+1或y=2x+5【變式10-2】（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知圓C1:(x+1)2+A．1 B．2 C．3 D．4【變式10-3】（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知圓C1:x2+y2+4x+3=0，圓A．3x+3y=0 B．C．x+35y+8=0 一、單選題1．（2024·北京海淀·三模）已知直線l:kx?y+1?k=0和圓⊙O:x2+y2=r2(r>0)，則“r=A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知圓x2+y2+4mx?2my+m=0m∈R與A．1 B．0或14 C．0或1 D．3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知圓C1:x2+A．x+y+2=0 B．x+y?2=0 C．x+y+1=0 D．x+y?1=04．（2024·青海西寧·二模）已知圓C:x?32+y?42=9，直線l:m+3A．27 B．10 C．22 5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）已知圓C?:x+12+y+12A．4 B．3 C．2 D．16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知P為直線l:x?y+1=0上一點，過點P作圓C:x?12+y2=1的一條切線，切點為A．1 B．2 C．3 D．27．（2024·廣西賀州·一模）已知點P為直線l1:mx?2y?m+6=0與直線l2:2x+my?m?6=0(m∈R)的交點，點Q為圓C:(x+3)A．[22,82] B．(22,88．（2024·廣西南寧·三模）已知圓C:x?42+y2=4，點M在線段y=x（0≤x≤3）上，過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，以AB為直徑作圓A．π B．2π C．5π2二、多選題9．（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知直線l:y=kx?3+3與曲線C:x2+A．0 B．1 C．2 D．310．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知直線l:kx?y?2k+3=0，圓C:x2?2x+A．圓心C的坐標(biāo)為(1,4)B．直線l與圓C始終有兩個交點C．當(dāng)k=2時，直線l與圓C相