綜合檢測（基礎卷）（解析版）

試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁選擇性必修第一冊期末綜合檢測基礎A版解析版學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知向量，，，則下列結論正確的是（）A．， B．， C．， D．以上都不對【答案】C【分析】根據(jù)所給向量，求數(shù)量積和數(shù)量關系，即可得解.【詳解】，所以，，，，所以，，所以，故選：C.【點睛】本題考查了向量的平行和垂直的判斷，考查了向量的數(shù)量積和平行向量數(shù)量關系的應用，屬于基礎題.2．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】傾斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關系，同角三角函數(shù)基本關系式即可得出結果.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系，同角三角函數(shù)基本關系式，考查計算能力，屬于基礎題.3．如圖在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱且，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，，，，，，再計算即可.【詳解】解：因為底面是邊長為1的正方形，側棱且，則，，，，，，則故選：B.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，向量的模的計算公式，是中檔題.4．已知直線，其中，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】直線的充要條件是或．故選A．5．我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”．已知是一對相關曲線的焦點，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當時，這一對相關曲線中橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，在橢圓中，，即在雙曲線中，即，則所以，由題知，則橢圓離心率，選A.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據(jù)的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.6．已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點，在軸上，中心在原點，點的坐標為，為雙曲線右支上一動點，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先畫出圖像，再結合雙曲線第一定義，三角形三邊關系，當點為與雙曲線的交點時，取到最小值【詳解】如圖，由雙曲線第一定義得①，又由三角形三邊關系可得②（當點為與雙曲線的交點時取到等號），①+②得：，故，由雙曲線為等軸雙曲線，且焦距為8可得，，則，，，則故選：D【點睛】本題考查利用雙曲線第一定義求解到兩定點之間距離問題，數(shù)形結合與轉化思想，屬于中檔題7．點是正方體的側面內的一個動點，若與的面積之比等于2，則點的軌跡是（）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【答案】A【分析】先根據(jù)條件與的面積之比等于2，可得，然后建立平面直角坐標系求出點的軌跡方程，即可判斷.【詳解】如圖正方體中，可知平面，平面，則，，即,以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，設正方體棱長為，設，則，，整理得，點的軌跡是圓的一部分，故選：A.【點睛】本題考查動點軌跡的判斷，解題的關鍵是找出與動點相關的等量關系，利用軌跡方程或曲線的定義判斷.8．如圖，，分別是雙曲線的兩個焦點，以坐標原點為圓心，為半徑的圓與該雙曲線左支交于，兩點，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】連結，利用幾何關系表示，,并結合橢圓的定義，得到離心率.【詳解】連結，則，并且，，，，即.故選：D【點睛】思路點睛：本題考查橢圓離心率的取值范圍，求橢圓離心率是?？碱}型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關系找到的等量關系求解.二、多選題9．已知曲線，下列說法正確的是（）A．若，則為雙曲線B．若且，則為焦點在軸的橢圓C．若，則不可能表示圓D．若，則為兩條直線【答案】ABD【分析】由，的取值，根據(jù)橢圓、雙曲線、圓與直線方程的特征，判斷曲線表示的形狀即可．【詳解】若，則為焦點在橫軸或縱軸上的雙曲線，所以正確；若且，可得，，所以為焦點在軸上的橢圓，所以正確；若，，是單位圓，所以不正確；若，則化為，表示兩條直線，所以正確；故選：．10．在平面上有相異兩點，，設點在同一平面上且滿足(其中，且)，則點的軌跡是一個圓，這個圓稱為阿波羅尼斯圓.設，，為正實數(shù)，下列說法正確的是（）A．當時，此阿波羅尼斯圓的半徑B．當時，以為直徑的圓與該阿波羅尼斯圓相切C．當時，點在阿波羅尼斯圓圓心的左側D．當時，點在阿波羅尼斯圓外，點在圓內【答案】AD【分析】設，根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，求得其方程，然后逐項判斷.【詳解】設，所以，因為，所以，A.當時，此阿波羅尼斯圓的半徑，故正確；B.當時，以為直徑的圓為，阿波羅尼斯圓為，圓心距為，兩半徑之和為，兩半徑之差的絕對值為，不相切，故錯誤；C.當時，圓心的橫坐標為，所以點在阿波羅尼斯圓圓心的右側，故錯誤；D.當時，點與圓心的距離，在阿波羅尼斯圓外，點與圓心的距離，在圓內，故正確；故選：AD11．我們把離心率為的雙曲線稱為黃金雙曲線。如圖所示，、是雙曲線的實軸頂點，、是虛軸頂點，、是焦點，過右焦點且垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點，則下列命題正確的是（）A．雙曲線是黃金雙曲線B．若，則該雙曲線是黃金雙曲線C．若，則該雙曲線是黃金雙曲線D．若，則該雙曲線是黃金雙曲線【答案】BCD【分析】A選項，，不是黃金雙曲線；通過計算得到BCD是黃金雙曲線.【詳解】A選項，，不是黃金雙曲線；B選項，，化成，即，又，解得，是黃金雙曲線；C選項，∵，∴，∴，化簡得，由選項知是黃金雙曲線；D選項，∵，∴軸，，且是等腰，∴，即，由選項知是黃金雙曲線.綜上，BCD是黃金雙曲線.故選：BCD.【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出再求離心率）；（2）方程法（通過已知得到關于的方程，解方程得解）.12．如圖，棱長為的正方體中，為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是（）A．直線與所成的角可能是B．平面平面C．三棱錐的體積為定值D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】BC【分析】對于A，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線D1P與AC所成的角為；對于B，由A1D1AA1，A1D1AB，得A1D1平面A1AP，從而平面D1A1P平面A1AP；對于C，三棱錐D1﹣CDP的體積為定值；對于D，平面APD1截正方體所得的截面不可能是直角三角形．【詳解】對于A，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，，設∴直線D1P與AC所成的角為，故A錯誤；對于B，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP，∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正確；對于C，，P到平面CDD1的距離BC＝1，∴三棱錐D1﹣CDP的體積：為定值，故C正確；對于D，平面APD1截正方體所得的截面不可能是直角三角形，故D錯誤；故選：BC．【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．三、填空題13．已知圓：與圓：，則兩圓的公共弦所在的直線方程為______.【答案】【分析】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程．【詳解】將圓：化為，聯(lián)立兩圓方程兩圓方程相減，得兩圓公共弦所在直線的方程為.故答案為：.【點睛】本題考查兩圓相交，求公共弦所在直線方程．不需要求出交點坐標，只要兩圓方程相減即得．14．已知圓，過點的直線交圓于A，B兩點，則的取值范圍為____________．【答案】【分析】由點與圓的位置關系判斷出點在圓內部，由圓的對稱性求出的最小值，再由弦恰好為直徑求出的最大值.【詳解】由題意可知，該圓的圓心為因為，所以點在圓內部由圓的對稱性可知，當為弦的中點時，弦最短且當弦恰好為直徑時，弦最長，即則故答案為：15．如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點為的中點，若，則______.【答案】0【分析】根據(jù)向量的運算法則依次代換成形式，即可得出未知數(shù)的值.【詳解】在四棱柱中，底面是平行四邊形，點為的中點，所以由題：所以即.故答案為：0【點睛】此題考查空間向量的基本運算，根據(jù)線性運算關系依次表示出所求向量即可.16．雙曲線的的離心率為，當時，直線與雙曲線交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，則的值________.【答案】【分析】首先求出雙曲線方程，設、兩點的坐標分別為，，，，線段的中點為，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理，結合已知條件求解即可．【詳解】解：當時，，所以，又，得所以雙曲線的方程為．設、兩點的坐標分別為，，，，線段的中點為，，由，得（判別式△，，，點，，在圓上，，．故答案為：【點睛】本題考查了雙曲線的標準方程及其性質，考查直線與雙曲線相交問題及中點弦問題，屬于中檔題．四、解答題17．已知圓，圓，問：m為何值時，（1）圓和圓外切？（2）圓與圓內含？（3）圓與圓只有一個公共點？【答案】（1）或；（2）；（3）m的值為或或或2.【分析】把圓，圓的方程化為標準方程，（1）根據(jù)圓心距等于半徑之和即可求解.（2）根據(jù)圓心距小于半徑之差即可.（3）根據(jù)兩圓相切包含內切、外切即可求解.【詳解】把圓，圓的方程化為標準方程，得圓，圓.（1）如果圓與圓外切，那么，即，解得或，即當或時，兩圓外切.（2）如果圓與圓內含，那么，即，解得，即當時，兩圓內含.（3）如果圓與圓只有一個公共點，那么兩個圓相切，因此或，解得或或或，即當m的值為或或或2時，兩圓只有一個公共點.【點睛】本題考查了圓與圓的位置關系，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.18．如圖所示，在三棱柱中，平面，，，，點，分別在棱和棱上，且，，點為棱的中點.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）以為原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建系，可得點、M、、D的坐標，進而可得的坐標，利用數(shù)量積公式，即可得證；（2）分別求得平面和平面的法向量，利用向量法即可求得二面角的余弦值，即可得二面角的正弦值；（3）求得的坐標，由（2）可得平面的法向量，利用線面角的夾角公式，即可求得結果.【詳解】（1）證明：依題意，以為原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，，，，，，，，.依題意，，所以，所以.（2）因為，，所以平面，所以是平面的一個法向量，又，.設為平面的法向量，則，即，不妨設，可得，，∴，∴二面角的正弦值為.（3）依題意，，由（2）知為平面的一個法向量，設與平面所成角為，所以，∴直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線線垂直的證明，線面角、二面角的求法，易錯點為求二面角的正弦值，需用三角函數(shù)進行轉化，而求線面角時，法向量與直線方向向量所成角的余弦值即為線面角的正弦值，不需要轉化，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.19．已知點在圓上運動，點坐標為.（1）求線段中點的軌跡方程；（2）若直線與坐標軸交于兩點，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用中點坐標公式，進而求解線段中點的軌跡方程即可（2）利用點到直線的距離公式，進行求面積的取值范圍即可【詳解】（1）已知點在圓上運動，點坐標為設的中點為，，由中點坐標公式可知，所以代入圓中，故線段中點的軌跡方程為（2）圓化為，圓心，半徑為1，圓心到直線l的距離為，則圓上一動點到直線的距離的最小值是，最大值是，又，所以面積【點睛】關鍵點睛：利用中點坐標公式以及點到直線的距離公式求解即可，屬于基礎題20．已知等腰梯形，如圖（1）所示，，，沿將△折起，使得平面平面，如圖（2）所示，連接，得三棱錐.（1）求證：圖（2）中平面；（2）求圖（2）中的二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質定理即可證面；（2）構建以C為原點，CB為x軸、CA為y軸、過C點垂直于面的直線為z軸的空間直角坐標系，即可得，，，，可求得二面角對應的法向量，進而根據(jù)法向量夾角與二面角關系即可求得二面角的正弦值【詳解】（1）等腰梯形，，，知：且，，即Rt△中∴，又面面，面，而面面∴面（2）如下圖示，構建以C為原點，CB為x軸、CA為y軸、過C點垂直于面的直線為z軸的空間直角坐標系，由題意知：，，，則，，，令為面ABD的一個法向量，則，若y=1，有令為面CBD的一個法向量，則，若y=1，有∴與的夾角為，則，故根據(jù)二面角與向量夾角的關系，知：二面角的正弦值為【點睛】本題考查了空間向量與立體幾何，利用面面垂直的性質定理證明線面垂直，應用平面的法向量，結合向量數(shù)量積的坐標表示求法向量夾角的正弦值，進而可得二面角的正弦值21．已知橢圓:的左右焦點分別是,點在橢圓上，，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于、兩點，求實數(shù)，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及點到直線的距離公式即可求出，從而求得橢圓的方程；（2）將直