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2024屆西南名校高考模擬金典卷數(shù)學(xué)試題(五)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,若,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.42.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為的共軛復(fù)數(shù)),則的值為()A.1 B.2 C. D.3.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.4.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),令.有以下6個(gè)論斷:①是奇函數(shù)時(shí),是奇函數(shù);②是偶函數(shù)時(shí),是奇函數(shù);③是偶函數(shù)時(shí),是偶函數(shù);④是奇函數(shù)時(shí),是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù);⑥對(duì)任意的實(shí)數(shù),.那么正確論斷的編號(hào)是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤5.已知等差數(shù)列中,,,則數(shù)列的前10項(xiàng)和()A.100 B.210 C.380 D.4006.自2019年12月以來(lái),在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,研究表明,該新型冠狀病毒具有很強(qiáng)的傳染性各級(jí)政府反應(yīng)迅速,采取了有效的防控阻擊措施,把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級(jí)要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記,有3個(gè)不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶,負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生,現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去,且每個(gè)住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記,則不同的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.72種7.在四面體中,為正三角形,邊長(zhǎng)為6,,,,則四面體的體積為()A. B. C.24 D.8.已知雙曲線:的左右焦點(diǎn)分別為,,為雙曲線上一點(diǎn),為雙曲線C漸近線上一點(diǎn),,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.已知空間兩不同直線、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于10.在中,,,,點(diǎn)滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.711.“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.如圖所示,已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位:),則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè),若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍_____.14.已知中,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),的面積為,則線段的取值范圍是__________.15.已知一組數(shù)據(jù)1.6,1.8,2,2.2,2.4,則該組數(shù)據(jù)的方差是_______.16.展開(kāi)式中項(xiàng)系數(shù)為160,則的值為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說(shuō)明理由.18.(12分)試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式,其中M,N.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.20.(12分)已知橢圓的離心率為,直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)(均異于左、右頂點(diǎn)).(1)求橢圓的方程;(2)已知直線,為橢圓的右頂點(diǎn).若直線交于點(diǎn),直線交于點(diǎn),試判斷是否為定值,若是,求出定值;若不是,說(shuō)明理由.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列前項(xiàng)的和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
解出,分別代入選項(xiàng)中的值進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】解:,.當(dāng)時(shí),,此時(shí)不成立.當(dāng)時(shí),,此時(shí)成立,符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.2、D【解析】
按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出,再寫(xiě)出,進(jìn)而求出.【詳解】,,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模,考查基本運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
首先求得時(shí),的取值范圍.然后求得時(shí),的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時(shí),的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí),.”,所以令,得,因?yàn)?,,所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.4、A【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù),則,所以,所以是偶函數(shù);當(dāng)是奇函數(shù)時(shí),則,所以,所以是偶函數(shù);當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時(shí),例如:,則,,此時(shí),故⑥錯(cuò)誤;故③④正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義,掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
設(shè)公差為,由已知可得,進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式,即可求解.【詳解】設(shè)公差為,,,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
先將4名醫(yī)生分成3組,其中1組有2人,共有種選法,然后將這3組醫(yī)生分配到3個(gè)不同的住戶中去,有種方法,由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是排列組合知識(shí),解此類題時(shí)一般先組合再排列,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
推導(dǎo)出,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,推導(dǎo)出,從而,進(jìn)而四面體的體積為,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:在四面體中,為等邊三角形,邊長(zhǎng)為6,,,,,,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,且,,,,平面,平面,,四面體的體積為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查四面體體積的求法,考查空間中線線,線面,面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.8、D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為,為雙曲線上的一點(diǎn),為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn),且都位于第一象限,且,可知為的三等分點(diǎn),且,點(diǎn)在直線上,并且,則,,設(shè),則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),離心率的求法,考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見(jiàn)有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).9、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線也成立,故不正確;答案C中的直線可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線也有可能垂直于直線,故不正確.應(yīng)選答案C.10、D【解析】
利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積.【詳解】在中,,,,點(diǎn)滿足,可得則==【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.11、A【解析】
先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的等價(jià)條件,得到,分析即得解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則,解得,故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件的判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
由三視圖知,該幾何體是一個(gè)圓錐,其母線長(zhǎng)是5,底面直徑是6,據(jù)此可計(jì)算出答案.【詳解】由三視圖知,該幾何體是一個(gè)圓錐,其母線長(zhǎng)是5,底面直徑是6,該幾何體的表面積.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖的知識(shí),幾何體的表面積的計(jì)算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出,從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).即可得的最大值為,令,得函數(shù)取得最小值,由有實(shí)數(shù)解,,進(jìn)而得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解:,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).所以的最大值為,令,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,又因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解,那么,即,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是:.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問(wèn)題,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.14、【解析】
設(shè),利用正弦定理,根據(jù),得到①,再利用余弦定理得②,①②平方相加得:,轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題求解.【詳解】設(shè),所以,即①由余弦定理得,即②,①②平方相加得:,即,令,設(shè),在上有解,所以,解得,即,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于難題.15、0.08【解析】
先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得,.故答案為:0.08.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差,明確方差的計(jì)算公式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).16、-2【解析】
表示該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng),令其指數(shù)為3,再代回原表達(dá)式構(gòu)建方程求得答案.【詳解】該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為令,所以,則故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù),屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)不存在.【解析】
(1)由已知,利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求,利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為,由不等式的傳遞性,可求的最小值;(2)由基本不等式可求的最小值為,而,故不存在.【詳解】(1)由,得,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).故,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為;(2)由(1)知,.由于,從而不存在,使得成立.【考點(diǎn)定位】基本不等式.18、y=2sin2x.【解析】
計(jì)算MN,計(jì)算得到函數(shù)表達(dá)式.【詳解】∵M(jìn),N,∴MN,∴在矩陣MN變換下,→∴曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y=2sin2x.【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣變換,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.19、(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意零點(diǎn)分段即可確定不等式的解集為;(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為,求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為試題解析:(I)當(dāng)時(shí),化為,當(dāng)時(shí),不等式化為,無(wú)解;當(dāng)時(shí),不等式化為,解得;當(dāng)時(shí),不等式化為,解得.所以的解集為.(II)由題設(shè)可得,所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為,,,的面積為.由題設(shè)得,故.所以a的取值范圍為20、(1)(2)定值為0.【解析】
(1)根據(jù)直線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo),即得c,再根據(jù)離心率得,(2)先設(shè)直線方程以及各點(diǎn)坐標(biāo),化簡(jiǎn),再聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)橹本€過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),所以,因?yàn)殡x心率為,所以,(2),設(shè)直線,則因此由得,所以,因此即【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程以及直線與橢圓位置關(guān)系,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.21、(1)見(jiàn)證明;(2)【解析】
(1)設(shè)是的中點(diǎn),連接、,先證明是平行四邊形,再證明平面,即(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S的正方向,建空間直角坐標(biāo)系,分別計(jì)算各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算平面法向量,利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:設(shè)是的中點(diǎn),連接、,是的中點(diǎn),,,,,,,是平行四邊形,,,,,,,,由余弦定理得,,,,平面,,;(2)由(1)得平面,,平面平面,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S的正方向,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,
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