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廣東省茂名地區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.22.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.3.函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.4.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.5.關(guān)于函數(shù),下列說法正確的是()A.函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D.將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖像6.某幾何體的三視圖如圖所示,若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,若動(dòng)點(diǎn)滿足,則的取值范圍是()A. B.C. D.8.設(shè)為的兩個(gè)零點(diǎn),且的最小值為1,則()A. B. C. D.9.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是,則()A.2 B.3 C.-2 D.-310.已知集合,,則()A. B.C. D.11.已知數(shù)列的首項(xiàng),且,其中,,,下列敘述正確的是()A.若是等差數(shù)列,則一定有 B.若是等比數(shù)列,則一定有C.若不是等差數(shù)列,則一定有 D.若不是等比數(shù)列,則一定有12.對(duì)于函數(shù),若滿足,則稱為函數(shù)的一對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”.若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”,則的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若變量,滿足約束條件則的最大值是______.14.已知函數(shù),若,則___________.15.在一塊土地上種植某種農(nóng)作物,連續(xù)5年的產(chǎn)量(單位:噸)分別為9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.則該農(nóng)作物的年平均產(chǎn)量是______噸.16.已知向量滿足,且,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在底面為菱形的四棱柱中,平面.(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)滿足.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)點(diǎn),分別是曲線上第一象限,第二象限上兩點(diǎn),且滿足,求的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的零點(diǎn);(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),求證:;(3)若,且不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.20.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),直線與曲線相交于,,求的值.22.(10分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸并取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并說明其表示什么軌跡;(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,求曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
求得拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點(diǎn),由三角形的面積公式,計(jì)算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運(yùn)用拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過,即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
根據(jù)排除,,利用極限思想進(jìn)行排除即可.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)?,恒成立,排除,,?dāng)時(shí),,當(dāng),,排除,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷,利用函數(shù)值的符號(hào)以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】解:由,得,∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.5、B【解析】
化簡(jiǎn)到,根據(jù)定義域排除,計(jì)算單調(diào)性知正確,得到答案.【詳解】,故函數(shù)的定義域?yàn)?,故錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,故正確;當(dāng),關(guān)于的對(duì)稱的直線為不在定義域內(nèi),故錯(cuò)誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)?,故不可能為,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,定義域,對(duì)稱,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.6、C【解析】
由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.7、D【解析】
設(shè)出的坐標(biāo)為,依據(jù)題目條件,求出點(diǎn)的軌跡方程,寫出點(diǎn)的參數(shù)方程,則,根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍,可求得結(jié)果.【詳解】設(shè),則∵,∴∴∴為點(diǎn)的軌跡方程∴點(diǎn)的參數(shù)方程為(為參數(shù))則由向量的坐標(biāo)表達(dá)式有:又∵∴故選:D【點(diǎn)睛】考查學(xué)生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力,熟練掌握代數(shù)式轉(zhuǎn)換,能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積,屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有:①直接法;②定義法;③相關(guān)點(diǎn)法;④參數(shù)法;⑤待定系數(shù)法8、A【解析】
先化簡(jiǎn)已知得,再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1×2,再求出ω的值.【詳解】由題得,設(shè)x1,x2為f(x)=2sin(ωx﹣)(ω>0)的兩個(gè)零點(diǎn),且的最小值為1,∴=1,解得T=2;∴=2,解得ω=π.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上,求出b的值,即得解.【詳解】因?yàn)?,所以所以,又也在直線上,所以,解得所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10、A【解析】
根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運(yùn)算可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:當(dāng)時(shí),,顯然符合是等差數(shù)列,但是此時(shí)不成立,故本說法不正確;B:當(dāng)時(shí),,顯然符合是等比數(shù)列,但是此時(shí)不成立,故本說法不正確;C:當(dāng)時(shí),因此有常數(shù),因此是等差數(shù)列,因此當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí),一定有,故本說法正確;D:當(dāng)時(shí),若時(shí),顯然數(shù)列是等比數(shù)列,故本說法不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義,考查了推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)”,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).又與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn),所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、9【解析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形,即可求出的最大值.【詳解】做出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)取得最大值,聯(lián)立,解得,即,所以最大值為9.故答案為:9.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)題意,利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),其定義域?yàn)?,所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又,所以函數(shù)為奇函數(shù),因?yàn)?,所?故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.15、10【解析】
根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計(jì)算即得.【詳解】由題得,.故答案為:10【點(diǎn)睛】本題考查求平均數(shù),是基礎(chǔ)題.16、【解析】
由數(shù)量積的運(yùn)算律求得,再由數(shù)量積的定義可得結(jié)論.【詳解】由題意,∴,即,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角,掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)由已知可證,即可證明結(jié)論;(2)根據(jù)已知可證平面,建立空間直角坐標(biāo)系,求出坐標(biāo),進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo),由空間向量的二面角公式,即可求解.【詳解】方法一:(1)依題意,且∴,∴四邊形是平行四邊形,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵平面,∴,∵且為的中點(diǎn),∴,∵平面且,∴平面,以為原點(diǎn),分別以為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,∴設(shè)平面的法向量為,則,∴,取,則.設(shè)平面的法向量為,則,∴,取,則.∴,設(shè)二面角的平面角為,則,∴二面角的正弦值為.方法二:(1)證明:連接交于點(diǎn),因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?,所以為中點(diǎn),又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,所以為中點(diǎn),∴在中,且,∵平面,平面,∴平面(2)略,同方法一.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明,考查空間向量法求面面角,意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),屬于中檔題.18、(1)();(2)【解析】
(1)由已知,曲線的參數(shù)方程消去t后,要注意x的范圍,再利用普通方程與極坐標(biāo)方程的互化公式運(yùn)算即可;(2)設(shè),,由(1)可得,,相加即可得到證明.【詳解】(1),∵,∴,∴,由題可知:,:().(2)因?yàn)?,設(shè),,則,,.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.19、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】
(1)令,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出極小值,進(jìn)而求解;(2)轉(zhuǎn)化思想,要證,即證,即證,構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證;(3)不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,,設(shè),分類討論進(jìn)而求解.【詳解】解:(1)令,所以,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減;所以,所以的零點(diǎn)為.(2)由題意,,要證,即證,即證,令,則,由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,即,所以原不等式成立.(3)不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,,設(shè),,記,△,①當(dāng)△時(shí),即時(shí),恒成立,故單調(diào)遞增.于是當(dāng)時(shí),,又,故,當(dāng)時(shí),,又,故,又當(dāng)時(shí),,因此,當(dāng)時(shí),,②當(dāng)△,即時(shí),設(shè)的兩個(gè)不等實(shí)根分別為,,又,于是,故當(dāng)時(shí),,從而在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,此時(shí),于是,即舍去,綜上,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】(1)考查函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn);(2)考查轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)求極值;(3)考查分類討論思想,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的求導(dǎo);屬于難題.20、(1)(2)【解析】
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),不等式為.若,則,解得或,結(jié)合得或.若,則,不等式恒成立,結(jié)合得.綜上所述,不等式解集為.(Ⅱ)則的圖象與直線所圍成的四邊形為梯形,令,得,令,得,則梯形上底為,下底為11,高為..化簡(jiǎn)得,解得,結(jié)合,得的取值范圍為.點(diǎn)睛:含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.21、(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由(為參數(shù))直接消去參數(shù),可得直線的普通方程,把兩邊同時(shí)乘以,結(jié)合,可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)把代入,化為關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解:(Ⅰ)由(為參數(shù)),消去參數(shù),可得.∵,∴,即.∴曲線的直角坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)把代入,
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