廣西賀州市平桂管理區(qū)平桂高級中學2025屆數學高二上期末考試模擬試題含解析

廣西賀州市平桂管理區(qū)平桂高級中學2025屆數學高二上期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等差數列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.92．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3．兩圓x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直線的方程為（）A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝04．正方體的棱長為，為側面內動點，且滿足，則△面積的最小值為（）A. B.C. D.5．命題：，的否定為（）A.， B.不存在，C.， D.，6．離心率為，長軸長為6的橢圓的標準方程是A. B.或C. D.或7．如果，，…，是拋物線C：上的點，它們的橫坐標依次為，，…，，點F是拋物線C的焦點.若=10，=10+n，則p等于（）A.2 B.C. D.48．已知雙曲線的離心率為2，則（）A.2 B.C. D.19．已知雙曲線的離心率為2，且與橢圓有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．丹麥數學家琴生（Jensen）是19世紀對數學分析作出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設函數在區(qū)間內的導函數為，在區(qū)間內的導函數為，在區(qū)間內恒成立，則稱函數在區(qū)間內為“凸函數”，則下列函數在其定義域內是“凸函數”的是（）A. B.C. D.11．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，12．我國古代銅錢蘊含了“外圓內方”“天地合一”的思想．現有一銅錢如圖，其中圓的半徑為r，正方形的邊長為，若在圓內隨即取點，取自陰影部分的概率是p，則圓周率的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面的法向量分別為，，若，則的值為___14．已知數列則是這個數列的第________項.15．若圓平分圓的周長,則直線被圓所截得的弦長為____________16．定義在R上的函數滿足，其中為自然對數的底數，，則滿足的a的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數列的前n項和為，已知（1）求的通項公式；（2）若，求n的最小值18．（12分）已知某學校的初中、高中年級的在校學生人數之比為9：11，該校為了解學生的課下做作業(yè)時間，用分層抽樣的方法在初中、高中年級的在校學生中共抽取了100名學生，調查了他們課下做作業(yè)的時間，并根據調查結果繪制了如下頻率分布直方圖：（1）在抽取的100名學生中，初中、高中年級各抽取的人數是多少？（2）根據頻率分布直方圖，估計學生做作業(yè)時間的中位數和平均時長（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）另據調查，這100人中做作業(yè)時間超過4小時的人中2人來自初中年級，3人來自高中年級，從中任選2人，恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率是多少19．（12分）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）已知點，直線l與曲線C交于A，B兩點，且，直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，.（1）求證：平面PAC；（2）已知點M是線段PD上的一點，且，當三棱錐的體積為1時，求實數的值.21．（12分）在等差數列中，，前10項和（1）求列的通項公式；（2）若數列是首項為1，公比為2的等比數列，求的前8項和22．（10分）如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內的射影O恰好為AD的中點，M為AB的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】直接利用等差數列的求和公式及等差數列的性質求解.【詳解】解：由題得.故選：B2、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，逐一核對四個選項得答案【詳解】解：對于A：若，則或，故A錯誤；對于B：若，則或與相交，故B錯誤；對于C：若，根據面面垂直的判定定理可得，故C正確；對于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯誤；故選：C3、C【解析】兩圓方程相減得出公共弦所在直線的方程.【詳解】兩圓方程相減得，即x﹣2y+6＝0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6＝0故選：C4、B【解析】建立空間直角坐標系如圖所示，設由，得出點的軌跡方程，由幾何性質求得，再根據垂直關系求出△面積的最小值【詳解】以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，設所以，得，所以因為平面，所以故△面積的最小值為故選：B5、D【解析】含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論即可【詳解】解：命題：，的否定為：，故選：D6、B【解析】試題解析：當焦點在x軸上：當焦點在y軸上：考點：本題考查橢圓的標準方程點評：解決本題的關鍵是焦點位置不同方程不同7、A【解析】根據拋物線定義得個等式，相加后，利用已知條件可得結果.【詳解】拋物線C：的準線為，根據拋物線的定義可知，，，，，所以，所以，所以，所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：利用拋物線的定義解題是解題關鍵，屬于基礎題.8、D【解析】由雙曲線的性質，直接表示離心率，求.【詳解】由雙曲線方程可知，因為，所以，解得：，又，所以.故選：D【點睛】本題考查雙曲線基本性質，意在考查數形結合分析問題和解決問題能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法：

直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構造法：根據條件，可構造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關于的方程.9、B【解析】求出焦點，則可得出，即可求出漸近線方程.【詳解】由橢圓可得焦點為，則設雙曲線方程為，可得，則離心率，解得，則，所以漸近線方程為.故選：B.10、B【解析】根據基本初等函數的導函數公式求各函數二階導函數，判斷其在定義域上是否恒有，即可知正確選項.【詳解】A：，則，顯然定義域內有正有負，故不是“凸函數”；B：，則，故是“凸函數”；C：，則，故不是“凸函數”；D：，則，顯然定義域內有正有負，故不是“凸函數”；故選：B11、C【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結論.【詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.12、B【解析】根據圓和正方形的面積公式結合幾何概型概率公式求解即可.【詳解】由可得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由平面互相垂直可知其對應的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標運算求解即可.【詳解】∵，∴平面的法向量互相垂直，∴，即，解得,故答案為：.14、12【解析】根據被開方數的特點求出數列的通項公式，最后利用通項公式進行求解即可.【詳解】數列中每一項被開方數分別為：6，10，14，18，22，…，因此這些被開方數是以6為首項，4為公差的等差數列，設該等差數列為，其通項公式為：，設數列為，所以，于是有，故答案為：15、6【解析】根據兩圓的公共弦過圓的圓心即可獲解【詳解】兩圓相減得公共弦所在的直線方程為由題知兩圓的公共弦過圓的圓心,所以即,又,所以到直線的距離所以直線被圓所截得的弦長為故答案為:616、【解析】設，求出其導數結合條件得出在上單調遞減，將問題轉化為求解，由的單調性可得答案.【詳解】設，則由，則所以在上單調遞減.又由，即，即，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）12【解析】（1）設的公差為d，根據題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數的求和公式，得到，結合的單調性，即可求解.【小問1詳解】解：設的公差為d，因為，可得，解得，所以，即數列的通項公式為【小問2詳解】解：由，可得，根據二次函數的性質且，可得單調遞增，因為，所以當時，，故n的最小值為1218、（1）初中、高中年級所抽取人數分別為45、55（2）2.375小時，2.4小時（3）【解析】（1）依據分層抽樣的原則列方程即可解決；（2）依據頻率分布直方圖計算學生做作業(yè)時間的中位數和平均時長即可；（3）依據古典概型即可求得恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率.【小問1詳解】設初中、高中年級所抽取人數分別為x、y，由已知可得，解得；【小問2詳解】的頻率為，的頻率為，的頻率為因為，，所以中位數在區(qū)間上，設為x，則，解得，所以學生做作業(yè)時間的中位數為2.375小時；平均時長為小時.故估計學生做作業(yè)時間的中位數為2.375小時，平均時長為2.4小時【小問3詳解】2人來自初中年級，記為，，3人來自高中年級，記為，，，則從中任選2人，所有可能結果有：，，，，，，，，，共10種，其中恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級有6種可能，所以恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率為19、（1），；（2）過，.【解析】（1）根據兩圓內切和外切的性質，結合雙曲線的定義進行求解即可；（2）設出直線l的方程與雙曲線的方程聯立，利用一元二次方程根與系數關系，結合平面向量數量積的坐標表示公式進行求解判斷即可.【小問1詳解】設圓E的圓心為，半徑為r，則，，所以由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點、實軸長為6的雙曲線的右支，所以動圓的圓心E的軌跡方程為，；【小問2詳解】設，，直線l的方程為由得，且，故又，所以又，，所以，即．又故或若，則直線l的方程為，過點，與題意矛盾，所以，故，所以直線l的方程為，過點【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵.20、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證明出，且，從而證明出線面垂直；（2）先用椎體體積公式求出，利用體積之比得到線段之比，從而得到的值.【小問1詳解】證明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因為，且，∴四邊形ABCD為直角梯形.又因為，，易得，，∴，∴.又因為AC，PA是平面PAC的兩條相交直線，∴平面PAC.【小問2詳解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴點M到平面ABC的距離為，∴，∴.21、（1）；（2）347.【解析】（1）設等差數列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項和為22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為O為在平面ABCD內的射影，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以.如圖，連接BD，在中，.設CD的中點為P，連接