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天津市軍糧城第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末監(jiān)測試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.已知直線,圓.點為直線上的動點,過點作圓的切線,切點分別為.當(dāng)四邊形面積最小時,直線方程是()A. B.C. D.2.直線與曲線有且僅有個公共點,則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.3.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增,則滿足的x取值范圍是()A. B.C. D.4.已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是()A. B.C. D.5.已知集合,集合,則等于()A. B.C. D.6.已知函數(shù),且,則A. B.C. D.7.全集,集合,則()A. B.C. D.8.若a=20.5,b=logπ3,c=log20.3,則()A. B.C. D.9.定義域為的函數(shù)滿足,當(dāng)時,,若時,對任意的都有成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.10.已知函數(shù)對于任意兩個不相等實數(shù),都有成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.正方體中,分別是,的中點,則直線與所成角的余弦值是_______.12.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則的最小值是________.13.已知一容器中有兩種菌,且在任何時刻兩種菌的個數(shù)乘積為定值,為了簡單起見,科學(xué)家用來記錄菌個數(shù)的資料,其中為菌的個數(shù),現(xiàn)有以下幾種說法:①;②若今天值比昨天的值增加1,則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多10;③假設(shè)科學(xué)家將B菌的個數(shù)控制為5萬,則此時(注:)則正確的說法為________.(寫出所有正確說法的序號)14.《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著,其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題,如圖所示,弧田是由弧AB和弦AB所圍成的圖中陰影部分若弧田所在圓的半徑為1,圓心角為,則此弧田的面積為____________.15.寫出一個最小正周期為2的奇函數(shù)________16.已知函數(shù),方程有四個不相等的實數(shù)根(1)實數(shù)m的取值范圍為_____________;(2)的取值范圍為______________三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知(1)若,求的值;(2)若,且,求的值18.已知函數(shù).(1)當(dāng)有是實數(shù)解時,求實數(shù)的取值范圍;(2)若,對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.已知函數(shù),(1)求在上的最小值;(2)記集合,,若,求的取值范圍.20.已知向量,(1)若與垂直,求實數(shù)的值;(2)求向量在方向上的投影21.已知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點對稱,當(dāng)時,.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】求得點C到直線l的距離d,根據(jù),等號成立時,求得點P,進(jìn)而求得過的圓的方程,與已知圓的方程聯(lián)立求解.【詳解】設(shè)點C到直線l的距離為,由,此時,,方程為,即,與直線聯(lián)立得,因為共圓,其圓心為,半徑為,圓的方程為,與聯(lián)立,化簡整理得,答案:B2、A【解析】如圖所示,直線過點,圓的圓心坐標(biāo)直線與曲線相切時,,直線與曲線有且僅有個公共點,則實數(shù)的取值范圍是考點:直線與圓相交,相切問題3、A【解析】由偶函數(shù)性質(zhì)得函數(shù)在上的單調(diào)性,然后由單調(diào)性解不等式【詳解】因為偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,故越靠近軸,函數(shù)值越小,因為,所以,解得:.故選:A4、A【解析】由為上減函數(shù),知遞減,遞減,且,從而得,解出即可【詳解】因為為上的減函數(shù),所以有,解得:,故選:A.5、A【解析】根據(jù)題意先解出集合B,進(jìn)而求出交集即可.詳解】由題意,,則.故選:A.6、A【解析】,,,,.故選:A.7、B【解析】先求出集合A,再根據(jù)補(bǔ)集定義求得答案.【詳解】由題意,,則.故選:B.8、D【解析】利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【詳解】∵a=20.5>1,1>b=logπ3>0,c=log20.3<0,∴a>b>c.故選D【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】由可求解出和時,的解析式,從而得到在上的最小值,從而將不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立,利用分離變量法可將問題轉(zhuǎn)化為,利用二次函數(shù)單調(diào)性求得在上的最大值,從而得到,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時,時,當(dāng)時,,時,時,,即對恒成立即:對恒成立令,,,解得:故選:B10、B【解析】由題可得函數(shù)為減函數(shù),根據(jù)單調(diào)性可求解參數(shù)的范圍.【詳解】由題可得,函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),當(dāng)時,若單減,則對稱軸,得:,當(dāng)時,若單減,則,在分界點處,應(yīng)滿足,即,綜上:故選:B二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】結(jié)合異面直線所成角的找法,找出角,構(gòu)造三角形,計算余弦值,即可【詳解】連接,而,所以直線與所成角即為,設(shè)正方體邊長為1,則,所以余弦值為【點睛】考查了異面直線所成角的計算方法,關(guān)鍵得出直線與所成角即為,難度中等12、【解析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性求解.【詳解】依題意可知,得,所以,故當(dāng)時,取得最小值.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱性.正弦函數(shù)的對稱軸方程是,對稱中心是13、③【解析】對于①通過取特殊值即可排除,對于②③直接帶入計算即可.【詳解】當(dāng)nA=1時,PA=0,故①錯誤;若PA=1,則nA=10,若PA=2,則nA=100,故②錯誤;B菌的個數(shù)為nB=5×104,∴,∴.又∵,∴故選③14、【解析】根據(jù)題意所求面積,再根據(jù)扇形和三角形面積公式,進(jìn)行求解即可.【詳解】易知為等腰三角形,腰長為,底角為,,所以,弧田的面積即圖中陰影部分面積,根據(jù)扇形面積及三角形面積可得:所以.故答案為:.15、【解析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可考慮正弦型函數(shù),,再利用周期計算,選擇一個作答即可.【詳解】由最小正周期為2,可考慮三角函數(shù)中的正弦型函數(shù),,滿足,即是奇函數(shù);根據(jù)最小正周期,可得.故函數(shù)可以是中任一個,可取.故答案為:.16、①.②.【解析】利用數(shù)形結(jié)合可得實數(shù)m的取值范圍,然后利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得,再利用正弦函數(shù)的對稱性及二次函數(shù)的性質(zhì)即求.【詳解】作出函數(shù)與函數(shù)的圖象,則可知實數(shù)m的取值范圍為,由題可知,,∵,∴,即,又,,∴,又函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,即.故答案為:;.【點睛】關(guān)鍵點點睛;本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及正弦函數(shù)的性質(zhì)可得,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即解.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)利用誘導(dǎo)公式化簡可得,然后利用二倍角公式求解即可;(2)由條件可得,,然后根據(jù)求解即可.【小問1詳解】因為,所以【小問2詳解】因為,所以,所以18、(1);(2)【解析】(1)由題意可知實數(shù)的取值范圍為函數(shù)的值域,結(jié)合三角函數(shù)的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)可知時函數(shù)取得最小值,當(dāng)時函數(shù)取得最大值,實數(shù)的取值范圍是.(2)由題意可得時函數(shù)取得最大值,當(dāng)時函數(shù)取得最小值,原問題等價于,求解不等式組可得實數(shù)的取值范圍是.試題解析:(1)因為,可化得,若方程有解只需實數(shù)的取值范圍為函數(shù)的值域,而,又因為,當(dāng)時函數(shù)取得最小值,當(dāng)時函數(shù)取得最大值,故實數(shù)的取值范圍是.(2)由,當(dāng)時函數(shù)取得最大值,當(dāng)時函數(shù)取得最小值,故對一切恒成立只需,解得,所以實數(shù)的取值范圍是.點睛:二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”,它們常結(jié)合在一起,有關(guān)二次函數(shù)的問題,數(shù)形結(jié)合,密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.一般從:①開口方向;②對稱軸位置;③判別式;④端點函數(shù)值符號四個方面分析.19、(1)答案見解析(2)【解析】(1)按對稱軸與區(qū)間的相對位置關(guān)系,分三種情況討論求最小值;(2)分與解不等式,再分析的情況即可求解.【小問1詳解】解:(1)由,拋物線開口向上,對稱軸為,在上的最小值需考慮對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系.(i)當(dāng)時,;(ii)當(dāng)時,;(ⅲ)當(dāng)時,【小問2詳解】(2)解不等式,即,可得:當(dāng)時,不等式的解為;當(dāng)時,不等式的解為.(i)當(dāng)時,要使不等式的解集與有交集,由得:,此時對稱軸為,∴只需,即,得.所以此時(ii)當(dāng)時,要使不等式的解集與有交集,由得:,此時對稱軸為,∴只需,即,得.所以此時無解.綜上所述,的取值范圍.20、(1);(2).【解析】(1)利用坐標(biāo)運算表示出,由向量垂直的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得結(jié)果;(2)根據(jù)可直接求得結(jié)果.【詳解】(1)與垂直,解得:(2)向量在方向上的投影為:【點睛】本題考查向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示、向量在方向上的投影的求解;關(guān)鍵是能夠由向量垂直得到數(shù)量積為零、能熟練掌握投影公式,從而利用向量坐標(biāo)運算求得結(jié)果
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