2025屆安徽省皖江名校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆安徽省皖江名校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,若則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.在直角梯形中,,,,,點(diǎn)為上一點(diǎn),且,當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),()A. B.2 C. D.3.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對(duì)于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為84.如圖,長方體中,,,點(diǎn)T在棱上,若平面.則()A.1 B. C.2 D.5.雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是()A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.4x±y=0 D.x±4y=06.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì),平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡診,其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士,則不同的分配方案有A.72種 B.36種 C.24種 D.18種7.函數(shù)f(x)=lnA. B. C. D.8.a(chǎn)為正實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,,則a=()A.2 B. C. D.19.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件11.在中,為上異于,的任一點(diǎn),為的中點(diǎn),若,則等于()A. B. C. D.12.已知三棱錐P﹣ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上,PA,PB,AB=4,CA=CB,面PAB⊥面ABC,則球O的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的一條漸近線為,且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.14.已知a,b均為正數(shù),且,的最小值為________.15.在棱長為的正方體中,是面對(duì)角線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).以下四個(gè)命題:①存在兩點(diǎn),使;②存在兩點(diǎn),使與直線都成的角;③若,則四面體的體積一定是定值;④若,則四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.16.的展開式中,的系數(shù)為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品,如果年返修率不超過千分之一,則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀,現(xiàn)獲得該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:年份20112012201320142015201620172018年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)(萬臺(tái))2345671011該產(chǎn)品的年利潤(百萬元)2.12.753.53.2534.966.5年返修臺(tái)數(shù)(臺(tái))2122286580658488部分計(jì)算結(jié)果:,,,,注:年返修率=(1)從該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù),以表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大,如果去掉該年的數(shù)據(jù),試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(百萬元)關(guān)于年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)(萬臺(tái))的線性回歸方程(精確到0.01).附:線性回歸方程中,,.18.(12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)19.(12分)為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司的工作狀況,假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同,現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員,并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù),整理如下:甲公司員工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350乙公司員工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下:甲公司規(guī)定每件0.65元,乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個(gè)數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù);(2)為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況,從這10天中隨機(jī)抽取1天,他所得的勞務(wù)費(fèi)記為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).20.(12分)新高考,取消文理科,實(shí)行“”,成績由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對(duì)新高考的了解情況,隨機(jī)調(diào)查50人(把年齡在稱為中青年,年齡在稱為中老年),并把調(diào)查結(jié)果制成下表:年齡(歲)頻數(shù)515101055了解4126521(1)分別估計(jì)中青年和中老年對(duì)新高考了解的概率;(2)請(qǐng)根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表,是否有95%的把握判斷對(duì)新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關(guān)?了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年中老年總計(jì)附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若從年齡在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查,記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為,求的分布列以及.21.(12分)如圖,四棱錐的底面ABCD是正方形,為等邊三角形,M,N分別是AB,AD的中點(diǎn),且平面平面ABCD.(1)證明:平面PNB;(2)問棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使平面DEM,求的值22.(10分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù),()有幾個(gè)零點(diǎn),并證明你的結(jié)論;(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù),得到有解,則,得,,得到,再根據(jù),有,即,可化為,根據(jù),則的解集包含求解,【詳解】因?yàn)?,所以有解,即有解,所以,得,,所以,又因?yàn)?,所以,即,可化為,因?yàn)椋缘慕饧?,所以或,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題,2、B【解析】

由題,可求出,所以,根據(jù)共線定理,設(shè),利用向量三角形法則求出,結(jié)合題給,得出,進(jìn)而得出,最后利用二次函數(shù)求出的最大值,即可求出.【詳解】由題意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵點(diǎn)在線段上,設(shè),則,即,又因?yàn)樗?,所以,?dāng)時(shí),等號(hào)成立.所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理,以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值,考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.3、D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.4、D【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可知;結(jié)合即可證明,進(jìn)而求得.由線段關(guān)系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中,,點(diǎn)T在棱上,若平面.則,則,所以,則,所以,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】試題分析:漸近線方程是﹣y2=1,整理后就得到雙曲線的漸近線.解:雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1.故選A.點(diǎn)評(píng):本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程,把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程.屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生,每個(gè)村一名,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,根據(jù)排列組合進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生,每個(gè)村一名,有2種方法,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,若甲村有1外科,2名護(hù)士,則有C3若甲村有2外科,1名護(hù)士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分配問題,解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配,屬于??碱}型.7、C【解析】因?yàn)閒x=lnx2-4x+4x-23=8、B【解析】

,選B.9、B【解析】

復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,可得關(guān)于a的不等式組,解得a的范圍.【詳解】,由其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

先求出滿足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ).解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷.11、A【解析】

根據(jù)題意,用表示出與,求出的值即可.【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè),則,又,,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量,是基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由題意畫出圖形,找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O,通過求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑,則答案可求.【詳解】如圖;設(shè)AB的中點(diǎn)為D;∵PA,PB,AB=4,∴△PAB為直角三角形,且斜邊為AB,故其外接圓半徑為:rAB=AD=2;設(shè)外接球球心為O;∵CA=CB,面PAB⊥面ABC,∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB;且DC.∴O在CD上;故有:AO2=OD2+AD2?R2=(R)2+r2?R;∴球O的表面積為:4πR2=4π.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,考查思維能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為,再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn),能求出雙曲線方程.【詳解】解:設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為,∵雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn),∴,∴雙曲線方程為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線方程的求法,考查拋物線、雙曲線簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于中檔題.14、【解析】

本題首先可以根據(jù)將化簡為,然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【詳解】因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng),即、時(shí)取等號(hào),故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值,基本不等式公式為,在使用基本不等式的時(shí)候要注意“”成立的情況,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.15、①③④【解析】

對(duì)于①中,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與點(diǎn)重合時(shí),可判斷①正確;當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與直線所成的角最小為,可判定②不正確;根據(jù)平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面,高之和為的棱錐,可判定③正確;四面體在上下兩個(gè)底面和在四個(gè)側(cè)面上的投影,均為定值,可判定④正確.【詳解】對(duì)于①中,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與點(diǎn)重合時(shí),,所以①正確;對(duì)于②中,當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與直線所成的角最小,此時(shí)兩異面直線的夾角為,所以②不正確;對(duì)于③中,設(shè)平面兩條對(duì)角線交點(diǎn)為,可得平面,平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面,高之和為的棱錐,所以四面體的體積一定是定值,所以③正確;對(duì)于④中,四面體在上下兩個(gè)底面上的投影是對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線長度均為1的四邊形,其面積為定義,四面體在四個(gè)側(cè)面上的投影,均為上底為,下底和高均為1的梯形,其面積為定值,故四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值,所以④正確.故答案為:①③④.【點(diǎn)睛】本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中涉及到棱柱的集合特征,異面直線的關(guān)系和椎體的體積,以及投影的綜合應(yīng)用,著重考查了推理與論證能力,屬于中檔試題.16、16【解析】

要得到的系數(shù),只要求出二項(xiàng)式中的系數(shù)減去的系數(shù)的2倍即可【詳解】的系數(shù)為.故答案為:16【點(diǎn)睛】此題考查二項(xiàng)式的系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】

(1)先判斷得到隨機(jī)變量的所有可能取值,然后根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)計(jì)算得到相應(yīng)的概率,進(jìn)而得到分布列和期望.(2)由于去掉年的數(shù)據(jù)后不影響的值,可根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出;然后再根據(jù)去掉年的數(shù)據(jù)后所剩數(shù)據(jù)求出即可得到回歸直線方程.【詳解】(1)由數(shù)據(jù)可知,,,,,五個(gè)年份考核優(yōu)秀.由題意的所有可能取值為,,,,,,,.故的分布列為:所以.(2)因?yàn)?,所以去掉年的?shù)據(jù)后不影響的值,所以.又去掉年的數(shù)據(jù)之后,所以,從而回歸方程為:.【點(diǎn)睛】求線性回歸方程時(shí)要涉及到大量的計(jì)算,所以在解題時(shí)要注意運(yùn)算的合理性和正確性,對(duì)于題目中給出的中間數(shù)據(jù)要合理利用.本題考查概率和統(tǒng)計(jì)的結(jié)合,這也是高考中常出現(xiàn)的題型,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.(2)同樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.【詳解】(1)令,,則,而,,故.(2)令,,則,而,,故,化簡得到.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),此類問題一般是先把函數(shù)分解為簡單函數(shù)的復(fù)合,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得所求的導(dǎo)數(shù),本題屬于容易題.19、(1)平均數(shù)為360,眾數(shù)為330;(2)見詳解;(3)甲公司:7020(元),乙公司:7281(元)【解析】

(1)將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加,再除以總的天數(shù)10,即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù).從中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多,故為眾數(shù);(2)由題意能求出的可能取值為340,360,370,420,440,分別求出相對(duì)應(yīng)的概率,由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)利用(1)(2)的結(jié)果,可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).【詳解】解:(1)由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為.眾數(shù)為330.(2)設(shè)乙公司員工1天的投遞件數(shù)為隨機(jī)變量,則當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的分布列為204219228273291(元);(3)由(1)估計(jì)甲公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)為(元)由(2)估計(jì)乙公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)為(元).【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表的應(yīng)用,考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題.20、(1);(2)見解析,有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián);(3)分布列見解析,.【解析】

(1)分別求出中青年、中老年對(duì)高考了解的頻數(shù),即可求出概率;(2)根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表,求出的觀測(cè)值,對(duì)照表格,即可得出結(jié)論;(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,可能取值為0,1,2,分別求出概率,列出隨機(jī)變量分布列,根據(jù)期望公式即可求解.【詳解】(1)由題中數(shù)據(jù)可知,中青年對(duì)新高考了解的概率,中老年對(duì)新高考了解的概率.(2)列聯(lián)表如圖所示了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年22830老年81220總計(jì)302050,所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián).(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)可能取值為0,1,2,則;;.所以的分布列為012.【點(diǎn)睛】本題考查概率、獨(dú)立性檢驗(yàn)及隨機(jī)變量分布列和期望,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)證明見解析;(2)存在,.【解析】

(1)根據(jù)題意證出,,再由線面垂直的判定定理即可證出.(2)連接AC交DM于點(diǎn)Q,連接EQ,利用線面平行的性質(zhì)定理可得,從而可得,在正方形ABCD中,由即可求解.【詳解】(1)證明:在正方形ABCD中,M,N分別是AB,AD的中點(diǎn),∴,,.∴.∴.又,∴,∴.∵為等邊三角形,N是AD的中點(diǎn),∴.又平面平面ABCD,平面PAD,平面平面,∴平面ABCD.又平面ABCD,∴.∵平面PNB,,∴平面PNB.(2)解:存在.如圖,連接AC交DM于點(diǎn)Q,連接EQ.∵平面DEM,平面PAC,平面平面,∴.∴.在正方形ABCD中,,且.∴,∴.故.所以棱PA上存在點(diǎn)E,使平面DEM,此時(shí),E是棱A的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理,考查了學(xué)生的推理能力以及空間想象能力,屬于空間幾何中的基礎(chǔ)題.22、(1)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;(2)有2個(gè)零點(diǎn),證明見解析;

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