廣東省陽山中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析_第1頁
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廣東省陽山中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.青少年視力被社會普遍關(guān)注,為了解他們的視力狀況,經(jīng)統(tǒng)計得到圖中右下角名青少年的視力測量值(五分記錄法)的莖葉圖,其中莖表示個位數(shù),葉表示十分位數(shù).如果執(zhí)行如圖所示的算法程序,那么輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.2.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,,則()A.60 B.80C.90 D.1003.拋物線上點的橫坐標(biāo)為4,則到拋物線焦點的距離等于()A.12 B.10C.8 D.64.已知直線和互相平行,則實數(shù)()A. B.C.或 D.或5.設(shè)斜率為2的直線l過拋物線()的焦點F,且和y軸交于點A,若(O為坐標(biāo)原點)的面積為4,則拋物線方程為()A. B.C. D.6.設(shè)為等差數(shù)列的前項和,若,,則公差的值為()A. B.2C.3 D.47.在空間直角坐標(biāo)系中,點關(guān)于軸的對稱點為點,則點到直線的距離為()A. B.C. D.68.如圖,在棱長為1的正方體中,點B到直線的距離為()A. B.C. D.9.設(shè)為空間中的四個不同點,則“中有三點在同一條直線上”是“在同一個平面上”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件10.已知隨機變量服從正態(tài)分布,,則()A. B.C. D.11.若等比數(shù)列滿足,,則數(shù)列的公比為()A. B.C. D.12.已知雙曲線,且三個數(shù)1,,9成等比數(shù)列,則下列結(jié)論正確的是()A.的焦距為 B.的漸近線方程為C.的離心率為 D.的虛軸長為二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若橢圓的焦點在軸上,過點作圓的切線,切點分別為,,直線恰好經(jīng)過橢圓的上焦點和右頂點,則橢圓的方程是________________14.已知,若在區(qū)間上有且只有一個極值點,則a的取值范圍是______15.射擊隊某選手命中環(huán)數(shù)的概率如下表所示:命中環(huán)數(shù)10987概率0.320.280.180.120.1該選手射擊兩次,兩次命中環(huán)數(shù)相互獨立,則他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為_________________.(結(jié)果用小數(shù)表示)16.在學(xué)習(xí)《曲線與方程》的課堂上,老師給出兩個曲線方程;,老師問同學(xué)們:你想到了什么?能得到哪些結(jié)論?下面是四位同學(xué)的回答:甲:曲線關(guān)于對稱;乙:曲線關(guān)于原點對稱;丙:曲線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積;?。呵€與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積;四位同學(xué)回答正確的有______(選填“甲、乙、丙、丁”)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知點,點B為直線上的動點,過B作直線的垂線,線段AB的中垂線與交于點P(1)求點P的軌跡C的方程;(2)若過點的直線l與曲線C交于M,N兩點,求面積的最小值.(O為坐標(biāo)原點)18.(12分)我國是世界最大的棉花消費國、第二大棉花生產(chǎn)國,其中,新疆棉產(chǎn)量約占國內(nèi)產(chǎn)量的87%,消費量約占國內(nèi)消費量的67%.新疆棉的品質(zhì)高:纖維柔長,潔白光澤,彈性良好,各項質(zhì)量指標(biāo)均超國家標(biāo)準(zhǔn).尤其是被授予“中國彩棉之鄉(xiāng)”稱號的新疆建設(shè)兵團一四八團生產(chǎn)的天然彩棉,株型緊湊,吐絮集中,品質(zhì)優(yōu)良,色澤純正、艷麗,手感柔軟,適合中高檔紡織.新疆彩棉根據(jù)色澤、手感、纖維長度等評分指標(biāo)打分,得分在區(qū)間內(nèi)分別對應(yīng)四級、三級、二級、一級.某經(jīng)銷商從采購的新蚯彩棉中隨機抽取20包(每包1kg),得分?jǐn)?shù)據(jù)如圖(1)試統(tǒng)計各等級數(shù)量,并估計各等級在該批彩棉中所占比例;(2)用樣本估計總體,經(jīng)銷商參考以下兩種銷售方案進(jìn)行銷售:方案1:不分等級賣出,單價為1.79萬元/噸;方案2:分等級賣出,不同等級的新疆彩棉售價如下表所示:等級一級二級三級四級售價(萬元/噸)若從經(jīng)銷商老板的角度考慮,采用哪種方案較好?并說明理由19.(12分)2021年2月12日,辛丑牛年大年初一,由賈玲導(dǎo)演的電影《你好,李煥英》上映,截至到2月21日22點8分,票房攀升至40.25億,反超同期上映的《唐人街探案3》,迎來了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕.正是因為影片中母女間的這份簡單、純粹、誠摯的情感觸碰了人們內(nèi)心柔軟的地方,打動了萬千觀眾,才贏得了良好的口碑,不少觀眾都流下了感動的淚水.影片結(jié)束后,某電影院工作人員當(dāng)日隨機抽查了100名觀看《你好,煥英》的觀眾,詢問他們在觀看影片的過程中是否“流淚”,得到以下表格:男性觀眾女性觀眾合計流淚20沒有流淚520合計(1)完成表格中的數(shù)據(jù),并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)?(2)以分層抽樣的方式,從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人,然后從這5人中再隨機抽取2人,求這2人都流淚的概率附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828,20.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD//BC,AB=BC=CD=1,AD=2,直線BC與平面PCD所成角的正弦值為.(1)求證:平面PCD⊥平面PAC;(2)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.21.(12分)如圖1所示,在四邊形ABCD中,,,,將△沿BD折起,使得直線AB與平面BCD所成的角為45°,連接AC,得到如圖2所示的三棱錐(1)證明:平面ABD平面BCD;(2)若三棱錐中,二面角的大小為60°,求三棱錐的體積22.(10分)記數(shù)列的前n項和為,已知點在函數(shù)的圖像上(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前9項和

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】依題意該程序框圖是統(tǒng)計這12名青少年視力小于等于的人數(shù),結(jié)合莖葉圖判斷可得;【詳解】解:根據(jù)程序框圖可知,該程序框圖是統(tǒng)計這12名青少年視力小于等于的人數(shù),由莖葉圖可知視力小于等于的有5人,故選:B2、D【解析】由題設(shè)條件求出,從而可求.【詳解】設(shè)公差為,因為,,故,解得,故,故選:D.3、C【解析】根據(jù)焦半徑公式即可求出【詳解】因為,所以,所以故選:C4、C【解析】根據(jù)題意,結(jié)合兩直線的平行,得到且,即可求解.【詳解】由題意,直線和互相平行,可得且,即且,解得或.故選:C.5、B【解析】根據(jù)拋物線的方程寫出焦點坐標(biāo),求出直線的方程、點的坐標(biāo),最后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的焦點的坐標(biāo)為,所以直線的方程為:,令,解得,因此點的坐標(biāo)為:,因為面積為4,所以有,即,,因此拋物線的方程為.故選:B.6、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】,故選:C7、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意,,,的方向向量,,則點到直線的距離為.故選:C.8、A【解析】以為坐標(biāo)原點,以為單位正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系,取,,利用向量法,根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點,以為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,取,,則,,則點B到直線AC1的距離為.故選:A9、A【解析】由公理2的推論即可得到答案.【詳解】由公理2的推論:過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面,可得在同一平面,故充分條件成立;由公理2的推論:過兩條平行直線,有且只有一個平面,可得,當(dāng)時,同一個平面上,但中無三點共線,故必要條件不成立;故選:A【點睛】本題考查點線面的位置關(guān)系和充分必要條件的判斷,重點考查公理2及其推論;屬于中檔題;公理2的三個推論:經(jīng)過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面;經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面;經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面;10、B【解析】直接利用正態(tài)分布的應(yīng)用和密度曲線的對稱性的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布,所以密度曲線關(guān)于直線對稱,由于,所以,所以,則,所以故選:B.【點睛】本題考查的知識要點:正態(tài)分布的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題11、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為,然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,因為,,所以,所以,解得,故選:D12、D【解析】先求得的值,然后根據(jù)雙曲線的知識對選項進(jìn)行分析,從而確定正確答案.【詳解】方程表示雙曲線,則,成等比數(shù)列,則,所以雙曲線方程為,所以,故雙曲線的焦距為,A選項錯誤.漸近線方程為,B選項錯誤.離心率,C選項錯誤.虛軸長,D選項正確.故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】設(shè)過點的圓的切線為,分類討論求得直線分別與圓的切線,求得直線的方程,從而得到直線與軸、軸的交點坐標(biāo),得到橢圓的右焦點和上頂點,進(jìn)而求得橢圓的方程.【詳解】設(shè)過點的圓的切線分別為,即,當(dāng)直線與軸垂直時,不存在,直線方程為,恰好與圓相切于點;當(dāng)直線與軸不垂直時,原點到直線的距離為,解得,此時直線的方程為,此時直線與圓相切于點,因此,直線的斜率為,直線的方程為,所以直線交軸交于點,交于軸于點,橢圓的右焦點為,上頂點為,所以,可得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為:.14、【解析】求導(dǎo)得,進(jìn)而根據(jù)題意在上有且只有一個變號零點,再根據(jù)零點的存在性定理求解.【詳解】解:,∵在區(qū)間上有且只有一個極值點,∴在上有且只有一個變號零點,∴,解得∴a的取值范圍是.故答案為:15、84【解析】先求出該選手射擊兩次,兩次命中的環(huán)數(shù)都低于9環(huán)的概率,由對立事件的概率可得答案.【詳解】該選手射擊一次,命中的環(huán)數(shù)低于9環(huán)的概率為該選手射擊兩次,兩次命中的環(huán)數(shù)都低于9環(huán)的概率為所以他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為故答案:0.8416、甲、乙、丙、丁【解析】結(jié)合對稱性判斷甲、乙的正確性;通過對比和與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積來判斷丙丁的正確性.【詳解】對于甲:交換方程中和的位置得,所以曲線關(guān)于對稱,甲回答正確.對于乙:和兩個點都滿足方程,所以曲線關(guān)于原點對稱,乙回答正確.對于丙:直線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積為,,,在第一象限,直線與曲線都滿足,,,所以在第一象限,直線的圖象在曲線的圖象上方,所以,丙回答正確.對于丁:圓與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積為,在第一象限,曲線與曲線都滿足,,,,所以在第一象限,曲線的圖象在曲線的圖象下方,所以,丁回答正確.故答案為:甲、乙、丙、丁三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)由已知可得,根據(jù)拋物線的定義可知點的軌跡是以為焦點,為準(zhǔn)線的拋物線,即可得到軌跡方程;(2)設(shè)直線方程為,,,,,聯(lián)立直線與拋物線方程,消元、列出韋達(dá)定理,則,代入韋達(dá)定理,即可求出面積最小值;【小問1詳解】解:由已知可得,,即點到定點的距離等于到直線的距離,故點的軌跡是以為焦點,為準(zhǔn)線的拋物線,所以點的軌跡方程為【小問2詳解】解:當(dāng)直線的傾斜角為時,與曲線只有一個交點,不符合題意;當(dāng)直線的傾斜角不為時,設(shè)直線方程為,,,,,由,可得,,所以,,,,所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即面積的最小值為;18、(1)答案見解析;(2)答案、理由見解析【解析】(1)根據(jù)莖葉圖計算出數(shù)量以及比例.(2)計算出方案的彩棉售價平均值,由此作出決策.【詳解】(1)得分在(0,25]內(nèi)的有19,21,共2個,所以四緩彩棉在該批彩棉中所占比例為;得分在(25,50]內(nèi)的有27,31,36,42,45,48,共6個,所以三級彩棉在該批彩棉中所占比例為;得分在(50,75]內(nèi)的有51,51,58,63,65,68,73,共7個,所以二級彩棉在該批彩棉中所占比例為;得分在(75,100]內(nèi)的有76,79,83,85,92,共5個,所以一級彩棉在該批彩棉中所占比例(2)解答一:選用方案2,理由如下:方案1:不分等級賣出,單價為1.79萬元/噸;設(shè)方案2的彩棉售價平均值為萬元/噸,則因為,所以從經(jīng)銷商老板角度考慮,采用方案2時銷售利潤比較大,應(yīng)選方案2解答二:選用方案1,理由如下:方案1:不分等級賣出,單價為1.79萬元/噸;設(shè)方案2的彩棉售價平均值為則,因為,但(萬元)差別較小所以從經(jīng)銷商老板后期對彩棉分類的人力資源和時間成本角度考慮,采用方案1比較好19、(1)填表見解析;有99.9%的把握認(rèn)為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān);(2)【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)可完善列聯(lián)表,然后計算可得結(jié)論;(2)根據(jù)分層抽樣定義求出5人中流淚與沒有流淚的觀眾人數(shù)并編號,用列舉法寫出作任取2人的所有基本事件,并得出2人都流淚的基本事件,計數(shù)后可計算概率【詳解】解:(1)男性觀眾女性觀眾合計流淚206080沒有流淚15520合計3565100所以有99.9%的把握認(rèn)為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)(2)以分層抽樣的方式,從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人,則流淚的觀眾抽到人,記為,,,,沒有流淚的觀眾抽到人,記為從這5人中抽2人有10種情況,分別是,,,,,,,,,其中這2人都流淚有6種情況,分別是,,,,,所以所求概率20、(1)證明見解析(2)【解析】(1)取的中點,連接,證明,由線面垂直的判定定理可證明平面,再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論,(2)過點作于,以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè),先根據(jù)直線BC與平面PCD所成角的正弦值為,求出,然后再求出平面PAB的法向量,利用向量的夾角公式可求得結(jié)果【小問1詳解】證明:取的中點,連接,因為AD//BC,AB=BC=CD=1,AD=2,所以,∥,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以,因為

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