上海市浦東實驗2025屆高二數學第一學期期末檢測試題含解析

上海市浦東實驗2025屆高二數學第一學期期末檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在正方體中，（）A. B.C. D.2．已知，若，則（）A. B.C. D.3．在中，內角所對的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.4．已知定義在上的函數的導函數為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.5．已知是空間的一個基底，，，，若四點共面．則實數的值為（）A. B.C. D.6．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．復數的共軛復數是A. B.C. D.8．已知點，，直線：與線段相交，則實數的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.9．圓的圓心和半徑分別是（）A.， B.，C.， D.，10．如圖，是對某位同學一學期次體育測試成績（單位：分）進行統(tǒng)計得到的散點圖，關于這位同學的成績分析，下列結論錯誤的是（）A.該同學的體育測試成績總的趨勢是在逐步提高，且次測試成績的極差超過分B.該同學次測試成績的眾數是分C.該同學次測試成績的中位數是分D.該同學次測試成績與測試次數具有相關性，且呈正相關11．如圖所示，已知三棱錐，點，分別為，的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.12．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知四面體中，，分別在，上，且，，若，則________.14．已知P，A，B，C四點共面，對空間任意一點O，若，則______.15．若函數處取極值，則___________16．記為等比數列的前n項和，若，公比，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的準線方程是.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）設直線與拋物線相交于，兩點，為坐標原點，證明：.18．（12分）某校為了了解在校學生的支出情況，組織學生調查了該校2014年至2020年學生的人均月支出y(單位：百元)的數據如下表：年份2014201520162017201820192020年份代號t1234567人均月支出y3.94.34.65.45.86.26.9（1）求2014年至2020年中連續(xù)的兩年里，兩年人均月支出都超過4百元的概率；（2）求y關于t的線性回歸方程；（3）利用（2）中的回歸方程，預測該校2022年的人均月支出.附：最小二乘估計公式：，19．（12分）如圖所示，平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，，，（1）求證：平面ADE；（2）求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值20．（12分）某校高二年級全體學生參加了一次數學測試，學校利用簡單隨機抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學的數學測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數據的中位數相等且平均數也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.21．（12分）內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若，且是銳角三角形，求c的值22．（10分）如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據正方體的性質，結合向量加減法的幾何意義有，即可知所表示的向量.【詳解】∵，而，∴，故選：B2、B【解析】先求出的坐標，然后由可得，再根據向量數量積的坐標運算求解即可.【詳解】因為，，所以，因為，所以，即，解得.故選：B3、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構造方程求得結果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.4、D【解析】構造函數，用導數判斷函數單調性，即可求解.【詳解】根據題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調遞減函數，∴，即，，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則正確；故選：.5、A【解析】由共面定理列式得，再根據對應系數相等計算.【詳解】因為四點共面，設存在有序數對使得，則，即，所以得.故選：A6、B【解析】建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出向量的坐標，再利用向量的夾角公式計算即可.【詳解】如圖，以O為坐標原點，過點O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，則，，，，，設的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.7、B【解析】因,故其共軛復數.應選B.考點：復數的概念及運算.8、A【解析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數形結合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實數的取值范圍是或，故選：A.9、D【解析】先化為標準方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標準方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.10、C【解析】根據給定的散點圖，逐一分析各個選項即可判斷作答.【詳解】對于A，由散點圖知，8次測試成績總體是依次增大，極差為，A正確；對于B，散點圖中8個數據的眾數是48，B正確；對于C，散點圖中的8個數由小到大排列，最中間兩個數都是48，則次測試成績的中位數是分，C不正確；對于D，散點圖中8個點落在某條斜向上的直線附近，則次測試成績與測試次數具有相關性，且呈正相關，D正確.故選：C11、A【解析】連接，先根據已知條件表示出，再根據求得結果.【詳解】連接，如下圖所示：因為為的中點，所以，又因為為的中點，所以，所以，故選：A.12、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足：，，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】連接，根據題意，結合空間向量加減法運算求解即可.【詳解】解：連接∵四面體中，，分別在，上，且，∴∴∴.故答案為：14、【解析】由條件可得存在實數，使得，再用向量表示出向量，即可得出答案.詳解】P，A，B，C四點共面,則存在實數，使得所以即所以，解得故答案為：15、3【解析】=．因為f（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3.考點：利用導數研究函數的極值16、4【解析】根據給定條件列式求出數列的首項即可計算作答.【詳解】依題意，，解得，所以.故答案為：4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過韋達定理求解直線的斜率關系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因為拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點：直線與拋物線的位置關系；拋物線的標準方程18、（1）；（2）；（3）7.8百元.【解析】（1）應用列舉法，結合古典概型計算公式進行進行求解即可；（2）根據題中所給的公式進行計算求解即可；（3）根據（2）的結論，利用代入法進行求解即可.【小問1詳解】2014年至2020年中連續(xù)的兩年有、、、、、共6種組合，其中只有不滿足連續(xù)兩年人均月支出都超過4百元，所以連續(xù)兩年人均月支出都超過4百元的概率為；【小問2詳解】由已知數據分別求出公式中的量.，，，，所求回歸方程為；小問3詳解】由（2）知，，將2022年的年份代號代入（2）中的回歸方程，得，故預測該校2022年人均月支出為7.8百元.19、（1）見解析（2）【解析】（1）根據，，從而證明平面平面ADE，從而平面ADE。（2）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出點的空間坐標，根據向量法求解即可?！驹斀狻浚?）∵四邊形ABEF為矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，,,設是平面CDF的一個法向量，則即令，解得又是平面AEFB的一個法向量，∴平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為.【點睛】此題考查立體幾何線面平行證明和二面角求法，線面平行可先證面面平行得到，屬于簡單題目。20、（1），（2）【解析】（1）根據莖葉圖得甲班中位數為，由此能求出，根據由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學中隨機抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據莖葉圖可知1班中位數為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為21、（1）或（2）【解析】（1）利用正弦定理邊化角，然后可解；（2）利用余弦定理求出c，然后檢驗可得.【小問1詳解】，即或【小問2詳解】因為是銳角三角形，所以因為所以由余弦定理得：即，解得或若，則，所以，不滿足題意；若，因為，且，所以，此時是銳角三角形.所以.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據勾