四川省成都嘉祥外國語學校2025屆高二上數學期末綜合測試模擬試題含解析

四川省成都嘉祥外國語學校2025屆高二上數學期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線被圓截得的弦長為（）A.1 B.C.2 D.32．展開式的第項為（）A. B.C. D.3．已知直線，，若，則實數（）A. B.C.1 D.24．設拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，點坐標為，則的最小值為（）A. B.C. D.5．橢圓焦距為（）A. B.8C.4 D.6．離心率為，長軸長為6的橢圓的標準方程是A. B.或C. D.或7．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A. B.C. D.8．已知等差數列，若，，則（）A.1 B.C. D.39．青花瓷是中華陶瓷燒制工藝的珍品，也是中國瓷器的主流品種之一．如圖，是一青花瓷花瓶，其外形上下對稱，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面．若該花瓶的瓶口直徑為瓶身最小直徑的2倍，花瓶恰好能放入與其等高的正方體包裝箱內，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．某綜合實踐小組設計了一個“雙曲線型花瓶”.他們的設計思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉一周，得到花瓶的側面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關數據：，，，，，其中B是雙曲線的一個頂點.小組中甲、乙、丙、丁四位同學分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結果如下表所示學生甲乙丙丁估算結果（）其中估算結果最接近花瓶的容積的同學是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁11．焦點坐標為的拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.12．設x∈R，則x<3是0<x<3的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數列，的前n項和分別為，若，則=______14．已知點P在圓上，已知，，則的最小值為___________.15．已知直線在兩坐標軸上的截距分別為，，則__________.16．過點作圓的兩條切線，切點為A，B，則直線的一般式方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列}的公差為整數，為其前n項和，，（1）求{}的通項公式：（2）設，數列的前n項和為，求18．（12分）數列中，，且.（1）證明；數列是等比數列.（2）若，求數列的前n項和.19．（12分）已知三角形的三個頂點是，，（1）求邊上的中線所在直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，圓O以原點為圓心，且經過點.（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O交于兩點A，B，求弦長.21．（12分）在中，其頂點坐標為.（1）求直線的方程；（2）求的面積.22．（10分）一杯100℃的開水放在室溫25℃的房間里，1分鐘后水溫降到85℃，假設每分鐘水溫變化量和水溫與室溫之差成正比（1）分別求2分鐘，3分鐘后的水溫；（2）記n分鐘后的水溫為，證明：是等比數列，并求出的通項公式；（3）當水溫在40℃到55℃之間時（包括40℃和55℃），為最適合飲用的溫度，則在水燒開后哪個時間段飲用最佳．（參考數據：）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用直線和圓相交所得的弦長公式直接計算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以由直線和圓相交所得的弦長公式可得弦長為：.故選：C.2、B【解析】由展開式的通項公式求解即可【詳解】因為，所以展開式的第項為，故選：B3、D【解析】根據兩條直線的斜率相等可得結果.【詳解】因為直線，，且，所以，故選：D.4、B【解析】設點P在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，進而把問題轉化為求|PM|+|PD|的最小值，即可求解【詳解】解：由題意，設點P在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，當D，P，M三點共線時，|PM|+|PD|取得最小值為故選：B5、A【解析】由題意橢圓的焦點在軸上，故，求解即可【詳解】由題意，，故橢圓的焦點在軸上故焦距故選：A6、B【解析】試題解析：當焦點在x軸上：當焦點在y軸上：考點：本題考查橢圓的標準方程點評：解決本題的關鍵是焦點位置不同方程不同7、A【解析】分析：根據離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.8、C【解析】利用等差數列的通項公式進行求解.【詳解】設等差數列的公差為，因為，，所以，解得.故選：C.9、C【解析】由題意作出軸截面，最短直徑為2a，根據已知條件點（2a，2a）在雙曲線上，代入雙曲線的標準方程，結合a，b，c的關系可求得離心率e的值【詳解】由題意作出軸截面如圖：M點是雙曲線與截面正方形的交點之一，設雙曲線的方程為：最短瓶口直徑為A1A2＝2a，則由已知可得M是雙曲線上的點，且M（2a，2a）故，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），化簡后得，解得故選：C10、D【解析】根據幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對幾何體的體積進行估計即可.【詳解】可將幾何體看作一個以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學的估算，故選：D11、D【解析】依次確定選項中各個拋物線的焦點坐標即可.【詳解】對于A，的焦點坐標為，A錯誤；對于B，的焦點坐標為，B錯誤；對于C，焦點坐標為，C錯誤；對于D，的焦點坐標為，D正確.故選：D.12、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義可得出結論.【詳解】，因此，“”是“”必要不充分條件.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用等差數列的性質和等差數列的前項和公式可得，再令即可求解.【詳解】由等差數列的性質和等差數列的前項和公式可得：因為，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用等差數列的性質可得，再轉化為前項和公式的形式，代入的值即可.14、【解析】推導出極化恒等式，即，結合最小值為，求出最小值.【詳解】由題意，取線段AB中點，則，，兩式分別平方得：①，②，①－②得：，因為圓心到距離為，所以最小值為，又，故最小值為：.故答案為：15、##【解析】根據截距定義，分別令，可得.【詳解】由直線，令得，即令，得，即，故.故答案為：16、【解析】已知圓的圓心，點在以為直徑的圓上，兩圓相減就是直線的方程.【詳解】，圓心，點在以為直徑的圓上，，所以圓心是，以為直徑的圓的圓的方程是，直線是兩圓相交的公共弦所在直線，所以兩圓相減就是直線的方程，，所以直線的一般式方程為.故答案為：【點睛】結論點睛：過圓外一點引圓的切線，那么以圓心和圓外一點連線段為直徑的圓與已知圓相減，就是切點所在直線方程，或是兩圓相交，兩圓相減，就是公共弦所在直線方程.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據題意利用等差數列的性質列出方程，即可解得答案；（2）根據（1）的結果，求出的表達式，利用裂項求和的方法求得答案.小問1詳解】設等差數列{}的公差為d，則,整理可得：，∵d是整數，解得，從而，所以數列{}的通項公式為：;【小問2詳解】由（1）知，，所以18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據遞推公式，結合等差數列的定義、等比數列的定義進行證明即可；（2）運用裂項相消法進行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數列是首項為0，公差為1的等差數列，∴，∴，從而，∴數列是首項為2，公比為2的等比數列；【小問2詳解】由（1）知，則，∴，∴.19、（1）；（2）【解析】（1）先求出BC的中點坐標，再利用兩點式求出直線的方程；（2）先求出BC邊上的高所在直線的斜率，再利用點斜式求出直線的方程.【詳解】（1）設線段的中點為因為，，所以的中點，所以邊上的中線所在直線的方程為，即（2）因為，，所以邊所在直線的斜率，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的方程為，即【點睛】本題主要考查直線方程的求法，屬于基礎題.20、（1）（2）【解析】（1）根據兩點距離公式即可求半徑，進而得圓方程；（2）根據直線與圓的弦長公式即可求解【小問1詳解】由，所以圓O的方程為；【小問2詳解】由點O到直線的距離為所以弦長21、（1）（2）【解析】（1）先求出AB的斜率，再利用點斜式寫出方程即可；（2）先求出，再求出C到AB的距離即可得到答案.【小問1詳解】由已知，，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】，C到直線AB的距離為，所以的面積為.22、（1）2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃；（2）證明見解析，，；（3）在水燒開后4到7分鐘飲用最佳.【解析】(1)根據給定條件設第n分鐘后的水溫為，探求出與的關系即可計算作答.(2)利用(1)的信息，列式變形、推導即可得證，進而求出的通項公式.(3)由(2)的結論列不等式，借助對數函數的性質求解即得.【小問1詳解】設第n分鐘后的水溫為，正比例系數為k，記，依題意，，當時，