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江西省臨川一中,南昌二中,九江一中,新余一中等九校重點中學(xué)協(xié)作體2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)為坐標原點,拋物線的焦點為,為拋物線上一點.若,則的面積為()A. B.C. D.2.在正方體中,,則()A. B.C. D.3.已知圓,圓相交于P,Q兩點,其中,分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為()A.3 B.4C.6 D.4.在空間直角坐標系中,點關(guān)于原點對稱的點的坐標為()A. B.C. D.5.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為S,若,且,則S3等于()A.28 B.26C.28或-12 D.26或-106.拋擲兩枚硬幣,若記出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為,,,則下列判斷中錯誤的是().A. B.C. D.7.函數(shù),若實數(shù)是函數(shù)的零點,且,則()A. B.C. D.無法確定8.已知橢圓的左,右兩個焦點分別為,若橢圓C上存在一點A,滿足,則橢圓C的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.9.在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,,,則()A. B.1C.2 D.410.年月日我國公布了第七次全國人口普查結(jié)果.自新中國成立以來,我國共進行了七次全國人口普查,如圖為我國歷次全國人口普查人口性別構(gòu)成及總?cè)丝谛詣e比(以女性為,男性對女性的比例)統(tǒng)計圖,則下列說法錯誤的是()A.第五次全國人口普查時,我國總?cè)丝跀?shù)已經(jīng)突破億B.第一次全國人口普查時,我國總?cè)丝谛詣e比最高C.我國歷次全國人口普查總?cè)丝跀?shù)呈遞增趨勢D.我國歷次全國人口普查總?cè)丝谛詣e比呈遞減趨勢11.已知A,B,C是橢圓M:上三點,且A(A在第一象限,B關(guān)于原點對稱,,過A作x軸的垂線交橢圓M于點D,交BC于點E,若直線AC與BC的斜率之積為,則()A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.12.有這樣一道題目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五兩,今三十日屠訖,向共屠幾何?”其意思為:“有一個姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5兩肉,共屠了30天,問一共屠了多少兩肉?"在這個問題中,該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為()A.35 B.75C.155 D.315二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.圓與圓的公共弦長為______14.如圖,設(shè)正方形ABCD與正方形ABEF的邊長都為1,若平面ABCD,則異面直線AC與BF所成角的大小為______15.已知矩形的長為2,寬為1,以該矩形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為___________.16.定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”,則_________.若“黃金橢圓”兩個焦點分別為、,P為橢圓C上的異于頂點的任意一點,點M是的內(nèi)心,連接并延長交于點N,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在二項式展開式中,第3項和第4項的二項式系數(shù)比為.(1)求n的值及展開式中的常數(shù)項;(2)求展開式中系數(shù)最大的項是第幾項.18.(12分)已知等差數(shù)列中,,,等比數(shù)列中,,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)記,求的最小值19.(12分)如圖,四棱錐中,,.(1)證明:平面;(2)在線段上是否存在一點,使直線與平面所成角的正弦值等于?20.(12分)已知四邊形是菱形,四邊形是矩形,平面平面,,,G是的中點(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值21.(12分)為了解某城中村居民收入情況,小明利用周末時間對該地在崗居民月收入進行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)直方圖估算:(1)在該地隨機調(diào)查一位在崗居民,該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率;(2)該地區(qū)在崗居民月收入的平均數(shù)和中位數(shù);22.(10分)已知橢圓:()的焦點坐標為,長軸長是短軸長的2倍(1)求橢圓的方程;(2)已知直線不過點且與橢圓交于兩點,從下面①②中選取一個作為條件,證明另一個成立.①直線的斜率分別為,則;②直線過定點.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先由拋物線方程求出點的坐標,準線方程為,再由可求得點的橫坐標為4,從而可求出點的縱坐標,進而可求出的面積【詳解】由題意可得點的坐標,準線方程為,因為為拋物線上一點,,所以點的橫坐標為4,當時,,所以,所以的面積為,故選:D2、A【解析】根據(jù)空間向量基本定理,結(jié)合空間向量加法的幾何意義進行求解即可.【詳解】因為,而,所以有,故選:A3、A【解析】求得,由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為,半徑;圓的圓心為,所以,由、兩式相減并化簡得,即直線的方程為,到直線的距離為,所以,所以四邊形的面積為.故選:A4、C【解析】根據(jù)點關(guān)于原點對稱的性質(zhì)即可知答案.【詳解】由點關(guān)于原點對稱,則對稱點坐標為該點對應(yīng)坐標的相反數(shù),所以.故選:C5、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式列出方程求解,直接計算S3即可.【詳解】由可得,即,所以,又,解得,所以,即,當時,,所以,當時,,所以,故選:C6、A【解析】把拋擲兩枚硬幣的情況均列舉出來,利用古典概型的計算公式,把,,算出來,判斷四個選項的正誤.【詳解】兩枚硬幣,記為與,則拋擲兩枚硬幣,一共會出現(xiàn)的情況有四種,A正B正,A正B反,A反B正,A反B反,則,,,所以A錯誤,BCD正確故選:A7、A【解析】利用函數(shù)在遞減求解.【詳解】因為函數(shù)在遞減,又實數(shù)是函數(shù)的零點,即,又因為,所以,故選:A8、C【解析】根據(jù)題意可知當A為橢圓的上下頂點時,即可滿足橢圓C上存在一點A,使得,由此可得,解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對稱性可知,當A為橢圓的上下頂點時,最大,故只需即可滿足題意,設(shè)O為坐標原點,則只需,即有,所以,解得,故選:C9、C【解析】直接運用正弦定理可得,解得詳解】由正弦定理,得,所以故選:C10、D【解析】根據(jù)統(tǒng)計圖判斷各選項的對錯.【詳解】由統(tǒng)計圖第五次全國人口普查時,男性和女性人口數(shù)都超過6億,故總?cè)丝跀?shù)超過12億,A對,由統(tǒng)計圖,第一次全國人口普查時,我國總?cè)丝谛詣e比為107.56,超過余下幾次普查的人口的性別比,B對,由統(tǒng)計圖可知,我國歷次全國人口普查總?cè)丝跀?shù)呈遞增趨勢,C對,由統(tǒng)計圖可知,第二次,第三次,第四次,第五次時總?cè)丝谛詣e比呈遞增趨勢,D錯,D錯,故選:D.11、C【解析】設(shè)出點,,的坐標,將點,分別代入橢圓方程兩式作差,構(gòu)造直線和的斜率之積,得到,即可求橢圓的離心率,利用,求出,可知點在軸上,且為的中點,則.【詳解】設(shè),,,則,,,兩式相減并化簡得,即,則,則AB錯誤;∵,,∴,又∵,∴,即,解得,則點在軸上,且為的中點即,則正確.故選:C.12、C【解析】構(gòu)造等比數(shù)列模型,利用等比數(shù)列的前項和公式計算可得結(jié)果.【詳解】由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數(shù)列,記首項為,公比為,前項和為,所以,,因此前5天所屠肉的總兩數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列模型,考查了等比數(shù)列的前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程,即該直線截其中一圓求弦長即可【詳解】圓與圓兩式相減得,公共弦所在直線方程為:圓,圓心為到公共弦的距離為:公共弦長故答案為:14、##【解析】建立空間直角坐標系,利用空間向量法求出異面直線所成角;【詳解】解:如圖建立空間直角坐標系,則、、、,所以,,設(shè)直線與所成角為,則,因為,所以;故答案為:15、或##或【解析】分兩種情況進行解答,①以邊長為2的邊為軸旋轉(zhuǎn),②以邊長為1的邊為軸旋轉(zhuǎn).進行解答即可【詳解】解:①以邊長為2的邊為軸旋轉(zhuǎn),表面積兩個底面積側(cè)面積,即:,②以邊長為1的邊為軸旋轉(zhuǎn),表面積兩個底面積側(cè)面積,即:,故答案為:或16、①.②.【解析】第一空,直接套入“黃金橢圓”新定義即可,第二空,從內(nèi)切圓入手,找到等量關(guān)系,進而得到,求解即可【詳解】由題,,所以如圖,連接,設(shè)內(nèi)切圓半徑為,則,即,∴,∴,∴∴,∴故答案為:;【點睛】本題從新定義出發(fā),第一空直接套用定義可得答案,第二空升華,需要在理解新定義的基礎(chǔ)上,借助內(nèi)切圓的相關(guān)公式求解,層層遞進,是一道好題.關(guān)鍵點在于找到“”這一關(guān)系三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),常數(shù)項為(2)5【解析】(1)求出二項式的通項公式,求出第3項和第4項的二項式系數(shù),再利用已知條件列方程求出的值,從而可求出常數(shù)項,(2)設(shè)展開式中系數(shù)最大的項是第項,則,從而可求出結(jié)果【小問1詳解】二項式展開式的通項公式為,因為第3項和第4項的二項式系數(shù)比為,所以,化簡得,解得,所以,令,得,所以常數(shù)項為【小問2詳解】設(shè)展開式中系數(shù)最大的項是第項,則,,解得,因為,所以,所以展開式中系數(shù)最大的項是第5項18、(1)(2)0【解析】(1)利用等差數(shù)列通項公式基本量的計算可求得,進而利用等比數(shù)列的基本量的計算即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可知,則,觀察分析即可解【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,所以由,,得所以,從而,,所以,,q=3,所以【小問2詳解】由(1)可知,所以,當n=1時,為正值﹐所以;當n=2時,為負值﹐所以;當時,為正值﹐所以又綜上:當n=3時,有最小值019、(1)詳解解析;(2)存在.【解析】(1)利用勾股定理證得,結(jié)合線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論;(2)以A為原點建立空間直角坐標系,設(shè)點,,求得平面的法向量,利用已知條件建立關(guān)于的方程,進而得解.【小問1詳解】取中點為,連接,在中,,,,又,,所以,又,,而,所以,又,,,又,,平面.【小問2詳解】以A為坐標原點,以為x軸,為y軸,為z軸建立空間直角坐標系,則,,,,設(shè)點,因為點F在線段上,設(shè),,,設(shè)平面的法向量為,,,則,令,則,設(shè)直線CF與平面所成角為,,解得或(舍去),,此時點F是的三等分點,所以在線段上是存在一點,使直線與平面所成角的正弦值等于.20、(1)證明見解析(2)【解析】(1)設(shè),線段的中點為H,分別連接,可證,從而可得平面;(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,求出平面的一個法向量和平面的一個法向量后可求二面角的余弦值.【小問1詳解】證明:設(shè),線段的中點為H,分別連接又因為G是的中點,所以因為四邊形為矩形,據(jù)菱形性質(zhì)知,O為的中點,所以,且,所以,且,所以四邊形是平行四邊形,所以又因為平面,平面,所以平面【小問2詳解】解:據(jù)四邊形是菱形的性質(zhì)知,又因為平面平面,平面,平面平面,故平面,所以以分別為x軸,y軸,以過與的交點O,且垂直于平面的直線為z軸建立空間直角坐標系如圖所示,則有,所以設(shè)平面的一個法向量,則令,則,且,所以設(shè)平面的一個法向量,則令,則,且,所以所以,所以二面角的正弦值為21、(1)(2)平均數(shù)為;中位數(shù)為.【解析】(1)直接根據(jù)概率和為1計算得到答案.(2)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義直接計算得到答案.【小問1詳解】該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率為:【小問2詳解】居民月收入的平均數(shù)為:.第一組概率為,第二組概率為,第三組概率為,設(shè)居民月收入的中位數(shù)為,則,解得.22、(1)(2)證明見解析【解析】(1)由條件可得,解
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