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銅川市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖像,若為奇函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.2.已知展開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,,若,則的值為()A.1 B.-1 C.8l D.-813.記為數(shù)列的前項(xiàng)和數(shù)列對(duì)任意的滿(mǎn)足.若,則當(dāng)取最小值時(shí),等于()A.6 B.7 C.8 D.94.下列四個(gè)圖象可能是函數(shù)圖象的是()A. B. C. D.5.已知向量,滿(mǎn)足||=1,||=2,且與的夾角為120°,則=()A. B. C. D.6.已知直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn),則()A.或1 B.或2 C.或 D.或17.已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為,,分別是雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上,且,則()A.9 B.5 C.2或9 D.1或58.設(shè)為非零實(shí)數(shù),且,則()A. B. C. D.9.若,,,點(diǎn)C在AB上,且,設(shè),則的值為()A. B. C. D.10.某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān),且已證得“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí),該命題不成立,那么()A.當(dāng)時(shí),該命題不成立 B.當(dāng)時(shí),該命題成立C.當(dāng)時(shí),該命題不成立 D.當(dāng)時(shí),該命題成立11.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.12.設(shè),則關(guān)于的方程所表示的曲線(xiàn)是()A.長(zhǎng)軸在軸上的橢圓 B.長(zhǎng)軸在軸上的橢圓C.實(shí)軸在軸上的雙曲線(xiàn) D.實(shí)軸在軸上的雙曲線(xiàn)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,為其前項(xiàng)和,若,且,則公比的值為_(kāi)____.14.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.15.函數(shù)的定義域是__________.16.已知橢圓Г:,F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點(diǎn),A為橢圓Г的上頂點(diǎn),延長(zhǎng)AF2交橢圓Г于點(diǎn)B,若為等腰三角形,則橢圓Г的離心率為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿(mǎn)足,,其中,,,.⑴若,,(),求證:數(shù)列是等比數(shù)列;⑵若數(shù)列是等比數(shù)列,求,的值;⑶若,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.18.(12分)運(yùn)輸一批海鮮,可在汽車(chē)、火車(chē)、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時(shí)、120千米/小時(shí)、600千米/小時(shí),每千米的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過(guò)程中每小時(shí)的損耗為m元(),運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾(千米).設(shè)用汽車(chē)、火車(chē)、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用(包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi))分別為(元)、(元)、(元).(1)請(qǐng)分別寫(xiě)出、、的表達(dá)式;(2)試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.19.(12分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓分別交于,若直線(xiàn)、、的斜率成等差數(shù)列,請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)已知數(shù)列滿(mǎn)足,且,,成等比數(shù)列.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21.(12分)如圖在棱錐中,為矩形,面,(1)在上是否存在一點(diǎn),使面,若存在確定點(diǎn)位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求二面角的余弦值.22.(10分)已知函數(shù),.(1)若不等式對(duì)恒成立,求的最小值;(2)證明:.(3)設(shè)方程的實(shí)根為.令若存在,,,使得,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出,根據(jù)是奇函數(shù),可得的取值,再求其最小值.【詳解】解:由題意知,將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得,再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖像,,因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以,解得,因?yàn)?,所以的最小值?故選:【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),可求得,再通過(guò)賦值求得以及結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,故可得,令,故可得,又因?yàn)椋?,則,解得令,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),以及通過(guò)賦值法求系數(shù)之和,屬綜合基礎(chǔ)題.3、A【解析】
先令,找出的關(guān)系,再令,得到的關(guān)系,從而可求出,然后令,可得,得出數(shù)列為等差數(shù)列,得,可求出取最小值.【詳解】解法一:由,所以,由條件可得,對(duì)任意的,所以是等差數(shù)列,,要使最小,由解得,則.解法二:由賦值法易求得,可知當(dāng)時(shí),取最小值.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查的是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng),采用了賦值法,屬于中檔題.4、C【解析】
首先求出函數(shù)的定義域,其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),即可排除A、D,再根據(jù)時(shí)函數(shù)值,排除B,即可得解.【詳解】∵的定義域?yàn)?,其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到,∵為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).可排除A、D項(xiàng).當(dāng)時(shí),,∴B項(xiàng)不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力,一般根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),即可排除三個(gè)不符的選項(xiàng),屬于中檔題.5、D【解析】
先計(jì)算,然后將進(jìn)行平方,,可得結(jié)果.【詳解】由題意可得:∴∴則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題。6、D【解析】
求得直線(xiàn)的斜率,利用曲線(xiàn)的導(dǎo)數(shù),求得切點(diǎn)坐標(biāo),代入直線(xiàn)方程,求得的值.【詳解】直線(xiàn)的斜率為,對(duì)于,令,解得,故切點(diǎn)為,代入直線(xiàn)方程得,解得或1.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)切線(xiàn)方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)漸近線(xiàn)方程求得,再利用雙曲線(xiàn)定義即可求得.【詳解】由于,所以,又且,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由漸近線(xiàn)方程求雙曲線(xiàn)方程,涉及雙曲線(xiàn)的定義,屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】
取,計(jì)算知錯(cuò)誤,根據(jù)不等式性質(zhì)知正確,得到答案.【詳解】,故,,故正確;取,計(jì)算知錯(cuò)誤;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.9、B【解析】
利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.【詳解】解:,,又在上,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用,向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線(xiàn)定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用.10、C【解析】
寫(xiě)出命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題,結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知,命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時(shí)該命題不成立,則當(dāng)時(shí)該命題也不成立”,由于當(dāng)時(shí),該命題不成立,則當(dāng)時(shí),該命題也不成立,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查逆否命題與原命題等價(jià)性的應(yīng)用,解題時(shí)要寫(xiě)出原命題的逆否命題,結(jié)合逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷,考查邏輯推理能力,屬于中等題.11、A【解析】
由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過(guò),即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
根據(jù)條件,方程.即,結(jié)合雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線(xiàn)的類(lèi)型.【詳解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,
方程,即,表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線(xiàn),
故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征,依據(jù)條件把已知的曲線(xiàn)方程化為是關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
將已知由前n項(xiàng)和定義整理為,再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比,最后由數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),舍根得解.【詳解】因?yàn)榧从值缺葦?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),故故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項(xiàng)和關(guān)系求公比,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案15、【解析】由,得,所以,所以原函數(shù)定義域?yàn)?,故答案?16、【解析】
由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊,設(shè),由題可得的長(zhǎng),在三角形中,三角形中由余弦定理可得的值相等,可得的關(guān)系,從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖,若為等腰三角形,則|BF1|=|AB|.設(shè)|BF2|=t,則|BF1|=2a?t,所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t,解得a=2t,即|AB|=|BF1|=3t,|AF1|=2t,設(shè)∠BAO=θ,則∠BAF1=2θ,所以Г的離心率e=,結(jié)合余弦定理,易得在中,,所以,即e==,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【解析】試題分析:(1)(),所以,故數(shù)列是等比數(shù)列;(2)利用特殊值法,得,故;(3)得,所以,得,可證數(shù)列是等差數(shù)列.試題解析:(1)證明:若,則當(dāng)(),所以,即,所以,又由,,得,,即,所以,故數(shù)列是等比數(shù)列.(2)若是等比數(shù)列,設(shè)其公比為(),當(dāng)時(shí),,即,得,①當(dāng)時(shí),,即,得,②當(dāng)時(shí),,即,得,③②①,得,③②,得,解得.代入①式,得.此時(shí)(),所以,是公比為1的等比數(shù)列,故.(3)證明:若,由,得,又,解得.由,,,,代入得,所以,,成等差數(shù)列,由,得,兩式相減得:即所以相減得:所以所以,因?yàn)?,所以,即?shù)列是等差數(shù)列.18、(1),,.(2)當(dāng)時(shí),此時(shí)選擇火車(chē)運(yùn)輸費(fèi)最??;當(dāng)時(shí),此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最?。划?dāng)時(shí),此時(shí)選擇火車(chē)或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【解析】
(1)將運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)相加得出總費(fèi)用的表達(dá)式.(2)作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】(1),,.(2),故,恒成立,故只需比較與的大小關(guān)系即可,令,故當(dāng),即時(shí),,即,此時(shí)選擇火車(chē)運(yùn)輸費(fèi)最省,當(dāng),即時(shí),,即,此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.當(dāng),即時(shí),,,此時(shí)選擇火車(chē)或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【點(diǎn)睛】本題考查了常見(jiàn)函數(shù)的模型,考查了分類(lèi)討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2)是,【解析】
(1)根據(jù)及可得,再將點(diǎn)代入橢圓的方程與聯(lián)立解出,即可求出橢圓的方程;(2)可設(shè)所在直線(xiàn)的方程為,,,,將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立,用根與系數(shù)的關(guān)系求出,然后將直線(xiàn)、、的斜率、、分別用表示,利用可求出,從而可確定點(diǎn)恒在一條直線(xiàn)上,結(jié)合圖形即可求出的面積.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,即,又,所以,①因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,②由①②解得,所以橢圓C的方程為.(1)可知,,可設(shè)所在直線(xiàn)的方程為,由,得,設(shè),,,則,,設(shè)直線(xiàn)、、的斜率分別為、、,因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn),所以,即,所以,又,因?yàn)橹本€(xiàn)、、的斜率成等差數(shù)列,所以,即,化簡(jiǎn)得,即點(diǎn)恒在一條直線(xiàn)上,又因?yàn)橹本€(xiàn)方程為,且,所以是定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程,直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問(wèn)題,屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)因?yàn)?,所以,所以,所以?shù)列是等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的公差為,由可得,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,所以,所以,因?yàn)?,所以,解得(舍去)或,所以,所以.?)由(1)知,,所以,所以.21、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)要證明PC⊥面ADE,由已知可得AD⊥PC,只需滿(mǎn)足即可,從而得到點(diǎn)E為中點(diǎn);(2)求出面ADE的法向量,面PAE的法向量,利用空間向量的數(shù)量積,求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值.【詳解】(1)法一:要證明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需即可,所以由,即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn).法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-XYZ,由題意知PD=CD=1,,設(shè),,,由,得,即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn).(2)由(1)知,,,,,,設(shè)面ADE的法向量為,面PAE的法向量為由的法向量為得,得,同理求得所以,故所求二面角P-AE-D的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的平面角的求法,考查直線(xiàn)與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.22、(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)由題意可得,,令,利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞減,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)不等式轉(zhuǎn)化為,令,,利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性即可得到答案;(3)由題意可得,進(jìn)而可將不等式轉(zhuǎn)化為,再利用單調(diào)性可得,記,,再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增,即,即
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