廣東省嶺南師院附中東方實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

廣東省嶺南師院附中東方實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A.或 B.或C. D.2．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線(xiàn)，它被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線(xiàn)的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線(xiàn)的畫(huà)法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長(zhǎng)的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫(huà)一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來(lái)的弧線(xiàn)就是斐波那契螺旋線(xiàn)．下圖為該螺旋線(xiàn)在正方形邊長(zhǎng)為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標(biāo)系（規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為1），則接下來(lái)的一段圓弧所在圓的方程為（）A. B.C. D.3．在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的傾斜角是A.30° B.60°C.120° D.150°4．某地為應(yīng)對(duì)極端天氣搶險(xiǎn)救災(zāi)，需調(diào)用A，B兩種卡車(chē)，其中A型卡車(chē)x輛，B型卡車(chē)y輛，以備不時(shí)之需，若x和y滿(mǎn)足約束條件則最多需調(diào)用卡車(chē)的數(shù)量為（）A.7 B.9C.13 D.145．已知、分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)右支一點(diǎn)，為的內(nèi)心，若成立，給出下列結(jié)論：①點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a；②離心率；③；④當(dāng)軸時(shí)，上述結(jié)論正確的是（）A.①② B.②③C.①②③ D.②③④6．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則（）A.2 B.3C.5 D.87．過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，并交C于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn).若以線(xiàn)段AB為直徑的圓與有2個(gè)公共點(diǎn)，則C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.8．命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，9．設(shè)，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，隨機(jī)變量Y滿(mǎn)足，則當(dāng)a在上增大時(shí)，關(guān)于的表述下列正確的是（）X013PabA增大 B.減小C.先增大后減小 D.先減小后增大10．等比數(shù)列的第4項(xiàng)與第6項(xiàng)分別為12和48，則公比的值為（）A. B.2C.或2 D.或11．圓的圓心坐標(biāo)與半徑分別是（）A. B.C. D.12．礦山爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)處炸開(kāi)的礦石的運(yùn)動(dòng)軌跡可看作是不同的拋物線(xiàn)，根據(jù)地質(zhì)、炸藥等因素可以算出這些拋物線(xiàn)的范圍，這個(gè)范圍的邊界可以看作一條拋物線(xiàn)，叫“安全拋物線(xiàn)”，如圖所示．已知某次礦山爆破時(shí)的安全拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則這次爆破時(shí)，礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為（）A. B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則且”是_______命題(填“真”或“假”).14．已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線(xiàn)：有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，P是與在第一象限的公共點(diǎn).線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____________.15．已知三角形OAB頂點(diǎn)，，，則過(guò)B點(diǎn)的中線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_____.16．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別是，，且的面積為，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線(xiàn)上點(diǎn)都在軸及其右側(cè)，且曲線(xiàn)上的任一點(diǎn)到軸的距離比它到圓的圓心的距離小1（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于點(diǎn)，若,求面積18．（12分）已知函數(shù)，，其中.（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)（1）證明：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正弦值20．（12分）如圖所示，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和為4.（1）求a的值和橢圓C的方程；（2）過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)作AB的平行線(xiàn)交橢圓于P，Q，求的面積21．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)A，B是橢圓C的上，下頂點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)PA與橢圓C的另一交點(diǎn)為E，直線(xiàn)PB與橢圓C的另一交點(diǎn)為F．證明：直線(xiàn)EF過(guò)定點(diǎn)22．（10分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O為底面正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，且PA=AD.（1）求證：PB∥平面EAC；（2）求直線(xiàn)BD與平面EAC所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，因?yàn)椴坏仁接薪?，則，即，即，解得或.故選：A.II卷2、C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個(gè)圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進(jìn)而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過(guò)點(diǎn)，因?yàn)槊恳欢螆A弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點(diǎn)的連線(xiàn)平行于軸，因?yàn)橄乱欢螆A弧半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C3、D【解析】根據(jù)直線(xiàn)方程得到直線(xiàn)的斜率后可得直線(xiàn)的傾斜角.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，因，故，故選D.【點(diǎn)睛】直線(xiàn)的斜率與傾斜角的關(guān)系是：，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在，注意傾斜角的范圍.4、B【解析】畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】設(shè)調(diào)用卡車(chē)的數(shù)量為z，則，其中x和y滿(mǎn)足約束條件，作出可行域如圖所示：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)時(shí)，縱截距最大，最大.故選：B5、C【解析】利用雙曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)以及題意對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于①，設(shè)內(nèi)切圓與的切點(diǎn)分別為，則由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得,因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a，所以①正確，對(duì)于②，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，即，解得，因?yàn)?，所以，所以②正確，對(duì)于③，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由雙曲線(xiàn)的定義可得，，因?yàn)椋?，所以，所以，所以③正確，對(duì)于④，當(dāng)軸時(shí)，可得，此時(shí)，所以，所以④錯(cuò)誤，故選：C6、D【解析】使用遞推公式逐個(gè)求解，直到求出即可.【詳解】因?yàn)樗裕?，?故選：D7、A【解析】求得以為直徑的圓的圓心和半徑，求得直線(xiàn)的方程，利用圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑列不等式，化簡(jiǎn)后求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，，所以為直徑的圓的圓心為，半徑為.直線(xiàn)的方程為，由于以線(xiàn)段為直徑的圓與相交，所以，，，，，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A8、D【解析】利用全稱(chēng)量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱(chēng)量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：D.9、A【解析】先求得參數(shù)b，再去依次去求、、，即可判斷出的單調(diào)性.【詳解】由得則，由得a在上增大時(shí),增大.故選：A10、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；詳解】解：依題意、，所以，即，所以；故選：C11、C【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案.【詳解】由題可知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為3，故選.12、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，結(jié)合拋物線(xiàn)的性質(zhì)求出p值即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，p>0，解得，于是得拋物線(xiàn)的方程為，由得，，即拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，，所以礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、假【解析】列舉特殊值，判斷真假命題.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，命題“若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則且”是假命題.故答案為：假14、##4.5【解析】設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，由題意，，則，所以，從而有，最后利用均值不等式即可求解.【詳解】解：設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，由題意，，則，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，故答案為：.15、【解析】先求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由距離公式得出過(guò)B點(diǎn)的中線(xiàn)長(zhǎng).【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)，則過(guò)B點(diǎn)的中線(xiàn)長(zhǎng)為.故答案為：16、【解析】根據(jù)的面積和短軸長(zhǎng)得出a，b，c的值，從而得出的范圍，得到關(guān)于的函數(shù)，從而求出答案【詳解】由已知得，故，∵的面積為，∴，∴，又，∴，，∴，又，∴，∴.即的取值范圍為.故答案為點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，函數(shù)最值的計(jì)算，熟練掌握橢圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意直接列或根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求軌跡方程（2）待定系數(shù)法設(shè)直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，利用韋達(dá)定理解出直線(xiàn)方程，再求面積【小問(wèn)1詳解】解法1：配方法可得圓的方程為，即圓的圓心為，設(shè)的坐標(biāo)為，由已知可得，化簡(jiǎn)得，曲線(xiàn)的方程為解法2：配方可得圓的方程為，即圓的圓心為，由題意可得上任意一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于該點(diǎn)到圓心的距離，由拋物線(xiàn)的定義可得知，點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，所以曲線(xiàn)的方程為【小問(wèn)2詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由，可得的斜率存在，設(shè)為，，過(guò)的直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，可得，設(shè)，的橫坐標(biāo)分別為，，可得，，由拋物線(xiàn)的定義可得，解得，即直線(xiàn)的方程為，可得到直線(xiàn)的距離為，，所以的面積為18、（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）要證，只要證，由于時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】，，即證：，即證：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增綜上所述：，即19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）依題意可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，即可得證；（2）取的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，連接，即可得到為與底面所成角，令，，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：證明：在正中，為的中點(diǎn)，∴∵平面平面，平面平面，且．∴平面，又∵平面∴．又∵，且，平面．∴平面【小問(wèn)2詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，在正中，，平面平面，平面平面，∴平面，連接，則為與底面所成角，即．不妨取，，，，∴以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，，∴，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則由令，則，又因?yàn)槊?，取作為面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角為，∴，∴，因此二面角的正弦值為20、（1）a＝2，（2）【解析】（1）由題意可得a＝2，，求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意可求出的坐標(biāo)，則可求出直線(xiàn)PQ的方程，然后將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出的值，從而可求出的值【小問(wèn)1詳解】由橢圓定義可得2a＝4，所以a＝2，又因點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得：，所以a的值為2，橢圓C的方程為【小問(wèn)2詳解】由橢圓的方程可得，，，所以，所以直線(xiàn)PQ的方程為，設(shè)，，由可得，所以，，所以，所以21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，通過(guò)解方程組，即可求出答案.（2）法一：設(shè)，，；當(dāng)時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出直線(xiàn)PA的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后即可求出直線(xiàn)EF的方程，從而證明直線(xiàn)EF過(guò)定點(diǎn).法二：首先根據(jù)時(shí)直線(xiàn)EF的方程為，可判斷出直線(xiàn)EF過(guò)的定點(diǎn)M必在y軸上，設(shè)為；然后同方法一，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)，即可求出的值.【小問(wèn)1詳解】由題意，知，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】法一：設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)PA的方程為，由，得解得，所以．所以同理可得所以直線(xiàn)EF的斜率為，所以直線(xiàn)EF的方程為，整理得，所以直線(xiàn)EF過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)在y軸上，EF的方程為，顯然過(guò)點(diǎn)綜上，直線(xiàn)EF過(guò)定點(diǎn)法二：當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，E，F(xiàn)分別與B，A重合，直線(xiàn)EF的方程為，若直線(xiàn)EF過(guò)定點(diǎn)M，則M必在y軸上，可設(shè)當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，設(shè)，，，則直線(xiàn)PA的方程為，由，得，解得，所以，所以，同理可得，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，所以，整理得，因?yàn)椋?，解得，即所以直線(xiàn)EF過(guò)定點(diǎn)22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用線(xiàn)面平行的判斷定理，證明線(xiàn)線(xiàn)平行，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】連結(jié)EO，由題意可得O為BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，∴PB∥E