2025屆江蘇省無錫市天一中學高二上數學期末監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆江蘇省無錫市天一中學高二上數學期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數在區(qū)間上有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.2．雙曲線的漸近線的斜率是（）A.1 B.C. D.3．已知空間向量，且與垂直，則等于（）A.－2 B.－1C.1 D.24．已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（）A.－1 B.0C.1 D.－65．復數，則對應的點所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．若，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知數列中，，，是的前n項和，則（）A. B.C. D.8．已知點是雙曲線的左焦點，定點，是雙曲線右支上動點，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.109．已知拋物線過點，則拋物線的焦點坐標為（）A. B.C. D.10．已知函數在處的導數為，則（）A. B.C. D.11．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體中最大的側面積是（）A.B.C.D.12．若，則下列結論不正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓與圓的位置關系為______(填相交，相切或相離).14．給定點、、與點，求點到平面的距離______.15．已知直線與直線垂直，則實數的值為___________.16．若函數在[1，3]單調遞增，則a的取值范圍___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）求f(x)在點處的切線方程；（2）求證：18．（12分）已知函數（1）求函數的單調區(qū)間；（2）求函數在區(qū)間上的值域19．（12分）已知的內角的對邊分別為a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長的最大值.20．（12分）在中，已知，，，，分別為邊，的中點，于點.（1）求直線方程；（2）求直線的方程.21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別是，，離心率，請再從下面兩個條件中選擇一個作為已知條件，完成下面的問題：①橢圓C過點；②以點為圓心，3為半徑的圓與以點為圓心，1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上（只能從①②中選擇一個作為已知）（1）求橢圓C的方程；（2）已知過點的直線l交橢圓C于M，N兩點，點N關于x軸的對稱點為，且，M，三點構成一個三角形，求證：直線過定點，并求面積的最大值.22．（10分）已知橢圓的左、右頂點坐標分別是，，短軸長等于焦距.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點，令，利用函數的單調性與導數的關系判斷單調性，數形結合即可求解【詳解】解：由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點，構造函數，則，令，得，令，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，又時，，時，，且，所以，即，所以的范圍故選：D2、B【解析】由雙曲線的漸近線方程為：，化簡即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，漸近線的斜率是.故選：B3、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標運算即可解決.【詳解】∵∴∴，解得，故選：B.4、D【解析】根據向量共面列方程，化簡求得.【詳解】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D5、C【解析】化簡復數，根據復數的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復數，所以復數對應的點為位于第三象限.故選：C.6、B【解析】由題意可知且，構造函數，可得出，由函數的單調性可得出，利用導數求出函數的最小值，可得出關于的不等式，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】因為，則且，由已知可得，構造函數，其中，，所以，函數為上的增函數，由已知，所以，，可得，構造函數，其中，則.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，則，所以，，解得.故選：B.7、D【解析】由，得到為遞增數列，又由，得到，化簡，即可求解.【詳解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以數列為遞增數列，所以，得，即，又由是的前項和，則.故選：D.【點睛】關鍵點睛：本題考查數列求和問題，關鍵在于由已知條件得出，運用裂項相消求和法.8、C【解析】設雙曲線的右焦點為M，作出圖形，根據雙曲線的定義可得，可得出，利用A、P、M三點共線時取得最小值即可得解.【詳解】∵是雙曲線的左焦點，∴，，，，設雙曲線的右焦點為M，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，當且僅當A、P、M三點共線時，等號成立，因此，的最小值為9.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關的線段長度和、差的最值，都可以通過相應的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.9、D【解析】把點代入拋物線方程求出，再化成標準方程可得解.【詳解】因為拋物線過點，所以，所以拋物線方程為，方程化成標準方程為，故拋物線的焦點坐標為.故選：D.10、C【解析】利用導數的定義即可求出【詳解】故選：C11、B【解析】由三視圖還原原幾何體，確定幾何體的結構，計算各面面積可得【詳解】由三視圖，原幾何體是三棱錐，平面，，尺寸見三視圖，，，故選：B12、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性質和基本不等式來判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】，，，，A選項正確；，B選項錯誤；由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，，則等號不成立，所以，C選項正確；，，D選項正確.故選：B.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、相交【解析】求兩圓圓心距，并與半徑之和、半徑之差的絕對值比較即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，∵，∴兩圓相交.故答案為：相交.14、【解析】先求出平面的法向量，再利用點到面的距離公式計算即可.【詳解】設平面的法向量為，點到平面的距離為，，，即，令，得故答案為：.15、【解析】由直線垂直的充要條件列式計算即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，解得故答案為：16、【解析】由在區(qū)間上恒成立來求得的取值范圍.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，在上恒成立，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】（1）求導，進而得到，，寫出切線方程；（2）將轉化為，設，，利用導數法證明.【詳解】（1）函數的定義域是，可得又，所以f(x)在點處的切線方程為整理得（或斜截式方程）（2）要證只需證因為，所以不等式等價于設，，；所以在單調遞減，在單調遞增故又，；所以在單調遞增，在單調遞減故因為且兩個函數的最值點不相等所以有，原不等式得證18、（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；（2）根據函數的單調性求出函數的極值點，從而求出函數的最值即可【詳解】解：（1）由題意得，，令，得，令，得或，故函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為（2）易知，因為,所以（或由，可得）,又當時，，所以函數在區(qū)間上的值域為【點睛】確定函數單調區(qū)間的步驟：第一步，確定函數的定義域；第二步，求；第三步，解不等式，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；解不等式，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間19、（1）（2）6【解析】（1）由可得，再利用正弦定理和三角函數恒等變換公可得，從而可求出角的值，（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理結合基本不等式可得的最大值為4，從而可求出三角形周長的最大值【小問1詳解】由，得

，由正弦定理，得，即.在中，由，得.又，所以.【小問2詳解】根據題意，得，由余弦定理，得，即，整理得，當且僅當時，取等號，所以的最大值為所以.所以的周長的最大值為

.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據給定條件求出點D，E坐標，再求出直線DE方程作答.(2)求出直線AH的斜率，再借助直線的點斜式方程求解作答.【小問1詳解】在中，，，，則邊中點，邊的中點，直線DE斜率，于是得，即，所以直線的方程是：.【小問2詳解】依題意，，則直線BC的斜率為，又，因此，直線的斜率為，所以直線的方程為：，即.21、（1）（2）證明見解析，【解析】（1）若選①，則由題意可得，解方程組求出，從而可求得橢圓方程，若選②，，再結合離心率和求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意設直線MN的方程為，設，，，將直線方程代入橢圓方程中，消去，再利用根與系數的關系，表示出直線的方程，令，求出，結合前面的式子化簡可得線過的定點，表示出的面積，利用基本不等式可求得其最大值【小問1詳解】若選①：由題意知，∴.所以橢圓C的方程為.若選②：設圓與圓相交于點Q.由題意知：.又因為點Q在橢圓上，所以，∴.又因為，∴，∴.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題易知直線MN斜率存在且不為0，因為，故設直線MN方程為，設，，，∴，∴，，因為點N關于x軸對稱點為，所以，所以直線方程為，令，∴.又，∴.所以直線過定點，∴.當且僅當，即時，取等號.所以面積的最大值為.22、（1）；（2）.【解析】（