2025屆上海市北郊高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

2025屆上海市北郊高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列滿足：，則數(shù)列前項(xiàng)的和為A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，則（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b4．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%5．已知的共軛復(fù)數(shù)是，且（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知三棱柱的所有棱長均相等，側(cè)棱平面，過作平面與平行，設(shè)平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個(gè)角的大小關(guān)系為()A． B．C． D．7．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點(diǎn)，使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若．則該雙曲線的離心率為A．2 B．3 C． D．9．已知f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a>0，則（）A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)10．某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱長為（）．A． B． C．1 D．11．以，為直徑的圓的方程是A． B．C． D．12．射線測厚技術(shù)原理公式為，其中分別為射線穿過被測物前后的強(qiáng)度，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為被測物厚度，為被測物的密度，是被測物對(duì)射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對(duì)鋼板的半價(jià)層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（）（注：半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，，結(jié)果精確到0.001）A．0.110 B．0.112 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合,,則__________．14．若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為240，則實(shí)數(shù)的值為________.15．已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，其中，，則的值為_______________．16．在中，已知，則的最小值是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線（為參數(shù)）通過伸縮變換，得到曲線，設(shè)直線（為參數(shù))與曲線相交于不同兩點(diǎn)，.（1）若，求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)，若，求直線的斜率.19．（12分）為迎接2022年冬奧會(huì)，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核．記表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定為考核優(yōu)秀．為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：（Ⅰ）從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；（Ⅲ）記表示學(xué)生的考核成績在區(qū)間的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效．請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說明理由．20．（12分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，,已知，.（1）求；（2）若的面積，求.21．（12分）如圖,四棱錐,側(cè)面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為棱上的動(dòng)點(diǎn),且.(I)求證：為直角三角形；(II)試確定的值，使得二面角的平面角余弦值為.22．（10分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析：通過對(duì)an﹣an+1=2anan+1變形可知，進(jìn)而可知，利用裂項(xiàng)相消法求和即可．詳解：∵，∴，又∵=5，∴，即，∴，∴數(shù)列前項(xiàng)的和為，故選A．點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.2、C【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，寫出共軛復(fù)數(shù)，寫出共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即得【詳解】解析：，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第三象限．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵．3、B【解析】

先利用冪函數(shù)的定義求出m的值，得到冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，再利用冪函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得到a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴點(diǎn)（2，8）在冪函數(shù)f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，屬于中檔題.4、B【解析】試題分析：由題意故選B．考點(diǎn)：正態(tài)分布5、D【解析】

設(shè)，整理得到方程組，解方程組即可解決問題．【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，解得：，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，此點(diǎn)位于第四象限.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)知識(shí)，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

利用圖形作出空間中兩直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由圖可知過且與平行的平面為平面，所以直線即為直線，由題易知，的補(bǔ)角，分別為，設(shè)三棱柱的棱長為2，在中，，；在中，，；在中，，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計(jì)算，考查了學(xué)生的作圖，用圖能力，體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).7、B【解析】

由可得；由過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,則,進(jìn)而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.8、D【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度，的長度即點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程即可得出點(diǎn)坐標(biāo)，最后將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果。【詳解】根據(jù)題意可畫出以上圖像，過點(diǎn)作垂線并交于點(diǎn)，因?yàn)?，在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，，即，，因?yàn)閳A的半徑為，是圓的半徑，所以，因?yàn)椋?，，所以，三角形是直角三角形，因?yàn)椋?，，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得，解得，，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線中可得，化簡得，，，，故選D?！军c(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學(xué)生的邏輯思維能力，是難題。9、A【解析】試題分析：由題意得，F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a)，∵a>0，∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)>F(a)，若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)≥F(a)，若f(a)<g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2f(a)，∴F(-a)=F(a)，綜上可知F(-a)≥F(a)，同理可知F(1+a)≥F(1-a)，故選A.考點(diǎn)：1.函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點(diǎn)睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì)，避免了由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1-a與1+a大小不明確的討論，從而使解題過程得以優(yōu)化，另外，不要忘記定義域，如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題，通常先在原點(diǎn)一側(cè)的區(qū)間(對(duì)奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對(duì)周期函數(shù)而言)考慮，然后推廣到整個(gè)定義域上.10、B【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的棱長．【詳解】解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，所以，該四棱錐體的最長的棱長為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解析】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法一一求出，從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得圓心為，的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，又，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，化簡整理得，所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，建立方程組，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)題意知,，代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因?yàn)?所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查知識(shí)的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)相融合;重點(diǎn)考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接根據(jù)集合和集合求交集即可.【詳解】解:,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.14、－3【解析】

依題意可得二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為即可得到方程，解得即可；【詳解】解：∵二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，∴解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)題意，判斷出，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再令數(shù)列中的，，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，列出等式，求出和的值即可.【詳解】解：由，其中，，可得，則，令，，可得.①又令數(shù)列中的，，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以.②根據(jù)①②得出，.所以.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：，然后再結(jié)合余弦定理整理為，再由cosC的余弦定理得到a，b的關(guān)系式，最后利用基本不等式求解即可.詳解：已知，可得，將角A,B,C的余弦定理代入得，由，當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)，故cosC的最小值為.點(diǎn)睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用，能正確轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、≤x≤【解析】由題知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，當(dāng)且僅當(dāng)(a＋b)·(a－b)≥0時(shí)取等號(hào)，∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.18、（1）；（2）.【解析】

（1）由l參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立可得A、B兩點(diǎn)參數(shù)和，再利用M點(diǎn)的參數(shù)為A、B兩點(diǎn)參數(shù)和的一半即可求M的坐標(biāo)；（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義得到，再利用計(jì)算即可，但要注意判別式還要大于0.【詳解】（1）由已知，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），其普通方程為，當(dāng)時(shí)，將（為參數(shù)）代入得，設(shè)直線l上A、B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則，所以的坐標(biāo)為；（2）將代入得，則，因?yàn)榧?，所以，故，由得，所?【點(diǎn)睛】本題考查了伸縮變換、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；（Ⅱ）結(jié)合圖表得到6人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，從而求出滿足條件的概率即可；（Ⅲ）求出滿足的成績有16個(gè)，求出滿足條件的概率即可．【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件，由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學(xué)中，有7名同學(xué)考核優(yōu)秀，所以所求概率約為（Ⅱ）設(shè)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人，至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件，因?yàn)楸碇谐煽冊诘?人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，所以基本事件空間包含15個(gè)基本事件，事件包含9個(gè)基本事件，所以（Ⅲ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足的成績有16個(gè)，所以所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效．【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題．20、（1）；（2）【解析】

試題分析：（1）根據(jù)余弦定理求出B,帶入條件求出，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求其余弦，再利用兩角差的余弦定理即可求出；（2）根據(jù)（1）及面積公式可得，利用正弦定理即可求出.試題解析：（1）由，得，∴.∵，∴.由，得，∴.∴.（2）由（1），得.由及題設(shè)條件，得，∴.由，得，∴，∴.點(diǎn)睛：解決三角形中的角邊問題時(shí)，要根據(jù)條件選擇正余弦定理，將問題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問題或角的問題，利