2022北京中考數(shù)學(xué)二模分類《幾何綜合壓軸題》含答案解析

2022北京中考數(shù)學(xué)二模分類——幾何綜合壓軸題手拉手中點(diǎn)問(wèn)題（附加2題）一線三垂倍長(zhǎng)2題相似3題1題猜證類等腰結(jié)論共計(jì)6題1題1題14題一、手拉手共5小題1.2022密云二模27如圖,在等邊中,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)是邊上的和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)重合),將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,.(1)依據(jù)題意,補(bǔ)全圖形;(2)與的大小,并證明;(3)用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.2.（2022豐臺(tái)二模題）如圖，在△=120°D是中點(diǎn)，連接點(diǎn)M在線段AD上不與點(diǎn)D重合)MBE在CA的延長(zhǎng)線上且=MB.（1）比較∠ABM與∠的大小，并證明；（2）用等式表示線段AM，ABAE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.3.（2022西城二模在中,,過(guò)點(diǎn)作射線,使重合),點(diǎn)(點(diǎn)在線段與點(diǎn)線的異側(cè)點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)上,且.(1)與點(diǎn)重合時(shí),的式子表示)不重合時(shí),與的位置關(guān)系是,若,則的長(zhǎng)為；((2)①用等式表示②用等式表示線段與點(diǎn)與.之間的數(shù)量關(guān)系,并證明；之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.4.（2022大興二模27如圖，，∠CAB=∠CDB=α，線段CD與AB相交于點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，將射線AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（°<<180°）交線段CD于點(diǎn)H,（1）若α=60°，求證：CD=AD+BD（2）請(qǐng)你直接用等式表示出線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）△=，=，在△ABC的外側(cè)作直線5.（2022東城二模如圖，在中，?a?a)CD,,關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)交直線于點(diǎn)E．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）連接，求證：=；⊥F,2,（3）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。2022燕山二模27在RtABC中,∠ACB=90°,是⊥于E,連結(jié)P在射線BC不重合）．（1）如果∠=30°①如圖1，DE與之間的數(shù)量關(guān)系是②如圖2P在線段CBDPDP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°DF,BF圖2CP、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)3P=（0°<<90°）DP,將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段DF,連結(jié)BF,請(qǐng)直接寫(xiě)出、BFBP三者的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．AAADDDBCEEPBCEBC二、中點(diǎn)問(wèn)題共5小題附加.2020ABCP在BCP為旋轉(zhuǎn)中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜＜180）得線段，連接APBQ．（1）如圖1PC，畫(huà)出n60時(shí)的圖形，直接寫(xiě)出和AP的數(shù)量及位置關(guān)系；（2＝120時(shí)，若點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，連接PM．判斷和AP的數(shù)量關(guān)系，并證明．附加（2021?通州區(qū)一模）已知點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°，得到線段ACB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120BDAD中點(diǎn)BMCM．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)PCM上時(shí)，求證：PMBD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P不在線段CM上，寫(xiě)出線段與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明．（2022順義二模27ABCACB=90PD為射線DPPD=BCCPP為中心，將線段PD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°（0n<180）得線段.（）如圖，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出n的值;（）當(dāng)n=135°時(shí)，M為線段的中點(diǎn)，連接PM.①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形。②用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。.2022朝陽(yáng)二模在正方形ABCDE為M在上N在上⊥，垂足為點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：=；（2）將圖1向上平移，使得F為的中點(diǎn)，此時(shí)與相交于點(diǎn)H，①依題意補(bǔ)全圖2；②用等式表示線段MH,HF,FN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（2022房山二模如圖ABCDABC=∠BCDA作DC交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB交邊于點(diǎn)FAFC作CH∥AF交AE于點(diǎn)H，連接BH。（1）≌△EAF；（）如圖2的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，求的值。10.（2022石景山二模27題）ABC中，∠ACB=90°,CA=CB,D是AB的中點(diǎn)，E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,CDE，將線段B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，過(guò)點(diǎn)F作FHDE于H，交射線BC于點(diǎn)G.(1)如圖1AE<EC時(shí)，比較∠ADE與∠的大?。挥玫仁奖硎揪€段與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明：(2)如圖2AE>EC時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段DE,CG,AC之間的數(shù)量關(guān)系.11.（2022門(mén)頭溝二模27題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CEAD，交AD于點(diǎn)，交ABF，作點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)G，連接和GC，過(guò)點(diǎn)B作BMGC交GC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．（1根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；②比較∠BCF與∠BCM的大小，并證明．（2）過(guò)點(diǎn)B作BN交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，用等式表示線段AG，與BM的數(shù)量關(guān)系，并證明．AAEEFFDDCBCB三、一線三垂直共1小題12.（2022海淀二模27題）ABBC，∠ABC=90°，直線l是過(guò)點(diǎn)B的一條動(dòng)直線（不與直線ABBC重合，分別過(guò)點(diǎn)C作直線l的垂線，垂足為D，．（1）如圖1時(shí)，①求證：；+=②連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥于H，過(guò)點(diǎn)A作AF∥交DH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段DF，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）在直線l運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若DE的最大值為3，直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)．AAlEDBCBC圖1四、猜證類共1小題2022昌平二模27MON=OP是∠MONA上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于OPB在射線上，連接交，過(guò)點(diǎn)A作ON的垂線，分別交OPON于點(diǎn)，，作∠OAE的平分線，射線與OP分別交于點(diǎn)，G.（1）①依題意補(bǔ)全圖形；②求∠BAEα的式子表示）（2）寫(xiě)出一個(gè)α的值，使得對(duì)于射線OM上任意的點(diǎn)A總有OD＝2AF（點(diǎn)A不與點(diǎn)OMMAAPPONON四、等腰△結(jié)論共1小題14.（2022平谷二模272022北京中考數(shù)學(xué)二模分類——綜合壓軸題手拉手中點(diǎn)問(wèn)題（附加2題）一線三垂倍長(zhǎng)2題相似3題1題猜證類等腰結(jié)論共計(jì)6題1題1題14題一、手拉手共5小題1.（2022密云二模如圖,在等邊中,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)是邊上的和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)重合),將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,.(1)依據(jù)題意,補(bǔ)全圖形;(2)與的大小,并證明;(3)用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.【答案】（1）圖1）∠BDE=∠證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=∵線段PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PEPE=PD∴△是等邊三角形∴∠PED=60°∴∠ABC=PE和BDO△DOE和△BOP中∵∠EOD=BOP∴∠BDE=BPE2）BD=BP+BE法1證明：如圖3過(guò)點(diǎn)D作DH//AC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H∴∠BDH=∠BAC=60°，∠=∠ACB=∴△是等邊三角形，BD=BH=DH∵△是等邊三角形，∠EDP=60°，ED=PD∴∠=PDHBED≌HPDBE=PH∴∵BH=BP+PH∴BD=BP+BE圖3法2如圖4圖4思路：過(guò)點(diǎn)E作EG平行于BC交于點(diǎn)G,利用四點(diǎn)共圓或者相似可得可證∠EBD=∠EPD=60，得三角形BGE是等邊三角形，再證ΔGDE≌ΔBPE,結(jié)論可得。法3如圖50圖5思路：過(guò)點(diǎn)P作PF平行于AC交于點(diǎn)F可證ΔPBEΔPFD,結(jié)論可得.法4如圖6圖6思路：過(guò)點(diǎn)D作PF平行于BC交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F可證ΔDFEΔDBP,結(jié)論可得.（豐臺(tái)二模=120°D是點(diǎn)M在線段AD上(不與點(diǎn)AD重合)MBE在CA的延長(zhǎng)線上且=MB.（1）比較∠ABM與∠的大小，并證明；（2）用等式表示線段AM，ABAE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【答案】【導(dǎo)角】DBCM上∴MB∴∠MBDMCD∴∠ABC－∠MBDACB－∠即∠ABMACM∵M(jìn)E...................………………2分∴ME∴∠AEMACM∴∠ABMAEM.......................………………3分（21【截長(zhǎng)補(bǔ)短＋證明等邊三角形＋全等】FAF=AB120°∴∠60°∴△FBA是等邊三角形∴BF，∠FBA60°∵∠EAB＋∠AEM＋∠EMB＋∠ABM＋∠，∠AEM=ABM，∠1=∠2∴∠EABEMB＝∴BM，∠EBM60°∴△BEM是等邊三角形∴∠FBA－∠EBAEBM＋∠EBA即∠FBEABM.FEAMABAF=AEEFAE＋AM∴△FEB≌△AMB法2【截長(zhǎng)補(bǔ)短＋構(gòu)造等邊三角形＋全等】在AB上截取一點(diǎn)，AM.=120°D是∴∠EABBADDAC60°∴△AMM’是等邊三角形∴AM，∠BM’MEAM120°又∵∠AEM∴△EAM≌△BM’M∴∴AB=AM’＋BM’AE＋3.（2022西城二模在.........................7分中,,過(guò)點(diǎn)作射線,使重合),點(diǎn)(點(diǎn)在線段與點(diǎn)線的異側(cè)點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)上,且.(1)與點(diǎn)重合時(shí),與的位置關(guān)系是,若,則的長(zhǎng)為;(用含的式子表示)(2)①用等式表示②用等式表示線段與點(diǎn)與不重合時(shí),.之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.a【答案】）⊥CB′，；·······························································2分2（）①∠BAC∠DAE．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=ACB．∴∠BAC=180°－∠ACB．∵∠DAE＋∠ACD=90°，∠ACD∠ACB，∴∠DAE=90°－∠ACD－∠ACB．∴∠BAC=2∠DAE．·························································4分BECDDE．證明：作∠DAF∠DAEAF交射線DB于點(diǎn)F，如圖，則∠EAF=DAE＋∠DAF=2DAE．∵∠BAC=2∠DAE，∴∠BAC∠EAF．∴∠BAC－∠EAC=EAF－∠EAC，即∠BAE=CAF．∵∠ABC=ACB，∠ACD∠ACB，∴∠ABE=ACF．ABAC，∴△ABE≌△ACF．BECF，=AF．∵ADAD，∴△AED≌△AFD．DEDF．CFCDDFCDDE．BECDDE．·····························································7分法1：構(gòu)造半角模型證明：作∠DAF=∠DAE，交射線′于點(diǎn)，如圖，則∠EAF=DAE＋∠DAF=2∠DAE．∵∠BAC=2∠DAE，∴∠BAC=∠EAF．∴∠BAC－∠=∠EAF－∠EAC，即∠BAE=∠CAF．∵∠∠ACB，∠ACD=∠ACB，∴∠ABE=ACF．∵AB=AC，∴△ABE≌△ACF．∴BE=CFAE=AF．∵AD=AD，∴△AED≌△．∴DE=DF∴CF=CD＋DF=CD＋．∴BE=CD＋．7分法2：截長(zhǎng)補(bǔ)短①在BC上截取BM=CD，連接AM，再證明△ABM≌△ACD法3：截長(zhǎng)補(bǔ)短②在上截取CM=BE，連接，再證明△ABE≌△4.（2022大興二模27如圖，，∠CAB=∠CDB=α，線段CD與AB相交于點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，將射線AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（°<<180°）交線段CD于點(diǎn)H,（1）若α=60°，求證：CD=AD+BD（2）請(qǐng)你直接用等式表示出線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）【答案】（）證明：由題意知，∠DAH=α∵∠CAB=∠CDB=α∴∠DAH=CAB∴∠HAC.∵∠∠BOD，∴∠B=∠C.∵又，∴△≌△.…..........................................…………3分∴BD=CH，∴△ADH是等腰三角形.∵∠CAB=α=60°，∴△是等邊三角形.∴AD=HD.∵CD=HD+CH∴CD=AD+BD.…………5分（）證法（一）證明：過(guò)A⊥CD于M由題意知，∠∵∠CAB=∠CDB=α∴∠∠CAB∴∠DAB=.∵∠∠BOD，∴∠∠C.∵又，∴△≌△.∴BD=CH∴△ADH是等腰三角形.??2?2∵⊥CD∴∠HAM=2DM=HM=AD·sin+BD.∴DH=2AD·sin?∵CD=HD+CH∴CD=2AD·sin2證法（二）在△ADB的外側(cè)作∠αBD的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥DE于N∵∠CAB=∠CDB=α=∠∴∠∵∠∠BOD，∴∠∠C.∵又，∴△≌△ACDBE=CD，AE=AD∴△是等腰三角形.??2?2∵AN⊥DE∴∠1=2=2DN=EN=AD·sin∴DE=2AD·sin?2∵BE=DE+BD∴CD=2ADsin+BD.△=，=，在△ABC的外側(cè)作直線5.（2022東城二模如圖，在中，?a?a)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D,,交直線于點(diǎn)E．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）連接，求證：=；（3）過(guò)點(diǎn)A作⊥于點(diǎn)F，用等式表示線段,2,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明?！敬鸢浮浚┭a(bǔ)全圖形如圖：圖1（2）證明：如圖2點(diǎn)DC關(guān)于直線對(duì)稱，AD=AC,ED=EC在△和△中，===△△=AB=AC==圖2(3)法1：如圖3圖3結(jié)論：DE=BE+2EF證明：在上取一點(diǎn)使CG=BE。在△和△中，AB=ACABE=ACEBE=CG△△AE=AG⊥EF=FGEC=BE+2EFDE=BE+2EF法2：如圖4：圖4思路導(dǎo)航：作⊥N證得EF=EN由于△是等腰三角形，據(jù)三線合一得：DN=BN可以轉(zhuǎn)化：DE=DN+NE=BN+NE=BE+NE+NE=BE+2NE=BE+2EF，得證。法3：如圖5圖5思路導(dǎo)航：作⊥在線段ED上作GK=GE，可證;得DK=BE;再證GE=GF,可以轉(zhuǎn)化：DE=DK+KG+GE=BE+KG+GE=BE+2EF，得證。2022燕山二模27在RtABC中,∠ACB=90°,是⊥于E,連結(jié)P在射線BC不重合）．（1）如果∠=30°①如圖1，DE與之間的數(shù)量關(guān)系是②如圖2P在線段CBDPDP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°DF,BF圖2CP、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)P=（0°<<90°）DP,將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段DF,連結(jié)BF,請(qǐng)直接寫(xiě)出DEBP、、三者的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．AAADDDBCEEPBCEBC【答案】二、中點(diǎn)問(wèn)題共5小題附加.2020ABCP在BCP為旋轉(zhuǎn)中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜＜180）得線段，連接APBQ．（1）如圖1PC，畫(huà)出n60時(shí)的圖形，直接寫(xiě)出和AP的數(shù)量及位置關(guān)系；（2＝120時(shí)，若點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，連接PM．判斷和AP的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】）＝，BQAP，如圖1所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60AB＝BCAC，又∵PC＝AC，∴∠APC，∵∠ACB＝∠∠＝60∴∠APC＝∴∠BAP＝∵將線段PC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°得線段PQ，∴PCPQ，∠CPQ＝60∴ABAC＝CPPQAPQ90∴∠BAP∠APQ＝180∴ABPQ，∴四邊形ABQP是平行四邊形，∴BQAP，∥AP；（2AP＝2MP，理由如下：如圖2CP為邊作等邊三角形CHP，連接BH，∵△CHP和△CBA都是等邊三角形，∴CBCA，＝CHACBHCP＝∠CPH＝°，∴∠BCHACP，在△ACP和△??=??{∠???=∠???，??=??∴△ACP≌△BCH（SAS，∴APBH，∵將線段PC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得線段PQ，∴CPPQ，∠CPQ＝°，∵∠CPH+CPQ＝180∴點(diǎn)HPQ三點(diǎn)共線，∵BM＝MQPQCP＝HP，∴BH2MP，∴AP＝2MP．附加（2021?通州區(qū)一模）已知點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°，得到線段ACB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120BDAD中點(diǎn)BMCM．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)PCM上時(shí)，求證：PMBD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P不在線段CM上，寫(xiě)出線段與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明．【解答】解：（1）有題意可得，∠CAP＝°，且AP＝AC，∴△APC是等邊三角形，∴∠APC＝∴∠BPM＝°，又∵∠PBD＝120∴∠BPM+PBD＝180∴PM∥BD．（2）猜想，CM⊥MBCM=√3MB，理由如下：如圖，延長(zhǎng)BM至點(diǎn)G，使得MF＝MB，BCGCPC，∵AM＝MDGMBM，∴四邊形AGCB是平行四邊形，∴AGBDAGBD，∴∠BAG180°﹣∠ABD＝60∴∠CAG120°，∵△APC是等邊三角形，∴ACCP，∠CPB＝120°，∵PBDB＝，∴△CAGCPB（∴CGCB，∠AFC＝∠PCB，∴∠GCB60∴△CBG是等邊三角形，∵GM＝BM，∴CM⊥BMCM=√3MB．7.（2022順義二模ABCACB=90D為射線DPPD=BCCP，以P為中心，將線段PD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（<n180）得線段.（）如圖，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出n的值;（）當(dāng)n=135°時(shí)，M為線段的中點(diǎn)，連接PM.①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形。②用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明?！敬鸢浮浚?）°證明：∵四邊形ACPE是平行四邊形∴∥∴∠∠∵∠ACB=90°，∴∠CAP=45°∠APE∴n=45°（2）①如右圖CP＝2PM．4分分析：此題已知了M是的中點(diǎn)，求證的是CP和PM的關(guān)系。先觀察度量就可以推斷出是二倍關(guān)系，所以方法一：倍長(zhǎng)PM;方法二：作中位線。證法（一）證明：延長(zhǎng)PM到點(diǎn)QQM＝．連接，．……………5分∵M(jìn)AE的中點(diǎn)，∴AMEM．又∵＝，∴四邊形APEQ是平行四邊形．∴＝AQPE//AQ．∴∠QAP＝180°－∠DPE180°－135°＝45∵∠ACB＝°，AC＝，∴∠CAP＝∠CBA＝45°．∴∠CAP＝∠QAP．…………6分∵ACBCPDBCPD，∴＝．∴△CAP≌△QAP．∴CPQP2PM．…………7分此問(wèn)也可以連接，△為等腰三角形，平分∠CAQ，根據(jù)等腰三角形三線合一得AP垂直平分，于是CP=QP=2PM.證法（二）延長(zhǎng)到NPN=EP，連接∵M(jìn)AE的中點(diǎn)，∴AMEM．∴∥AN，AN=2PM∵∠ACB＝°，AC＝，∴∠CAP＝∠CBA＝45°．∵∠DPE==135°∴∠NPA=45°∠∵PE=PD=CB=AC=PNAP=PA∴△ACP≌△CP=AN=2PM.2022朝陽(yáng)二模27在正方形中，E為M在N在⊥，垂足為點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：=；（2）將圖1向上平移，使得F為的中點(diǎn)，此時(shí)與相交于點(diǎn)H，①依題意補(bǔ)全圖2；②用等式表示線段MH,HF,FN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明【答案】）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BCCD，B=．………………分=1∴∵⊥∴+，=，垂足為點(diǎn)F，∴+=∴MCB=．……………2分∴=．……………3分即=．（2）①補(bǔ)全圖形如圖所示。……………4分②=+．……………5分法1：對(duì)角線的對(duì)稱性證明：如圖，連接HB,HD,．∵F為的中點(diǎn)，且．⊥．∴=6．分∵四邊形ABCD是正方形，∴=．∵，=，∴．∴=，=．∴=．=∴=．∴=．∴+=．1∴+．∴==．∴HF=DE．21由（）知=，∴=．7．=+2法2：截長(zhǎng)補(bǔ)短法3：利用角平分線構(gòu)造全等法4：倒角法5：構(gòu)造一線三垂直模型法6：利用斜邊中線（2022房山二模如圖ABCDABC=∠BCDA作DC交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB交邊于點(diǎn)FAFC作CH∥AF交AE于點(diǎn)H，連接BH。（1）≌△EAF；（）如圖2的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，求的值?！酒叫兴倪呅涡再|(zhì)＋全等證明】證明：ABC=BCD，AE∥，EFAB∴∠ABE=AEB，∠FEC=∠FCE,BAH=∠FEAAB=AE，F(xiàn)E=FC又∵CH∥AHCF為平行四邊形FE=FC=AH∴△ABH≌△EAF………………3分G（2證明：延長(zhǎng)BM，EF，兩延長(zhǎng)線交于點(diǎn)?！進(jìn)為AF的中點(diǎn)∴=FM又∵AB∥EF∴∠ABM=∠FGM∵∠AMB=∠FMG∴△ABM≌△FGM(AAS)∴AB=又∵AB∥EF∴△ABH∽△EGH∵DC，EFAB，AF，∠ABC=∠BCD∴四邊形AHCF為平行四邊形，△ABE和△為等腰三角形，∴∠ABE=∠FEC=∠AEB=∠FCE∴△ABE∽△FEC∴=設(shè)比值是a===a，===?=?=a?=(a?)，，=+=a+=(a+)ABAHEGEH(a+)FE(a?)FEaFEFE∵△ABH∽△EGH∴===∴(a?)a=a+1∴a2?a?1=0解得：a=1+21?舍去)BEEC=1+2∴………………7分10.（2022石景山二模27題）ABC中，∠ACB=90°,CA=CB,D是AB的中點(diǎn)，E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,CDE，將線段B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，過(guò)點(diǎn)F作FHDE于H，交射線BC于點(diǎn)G.(1)如圖1AE<EC時(shí)，比較∠ADE與∠的大??；用等式表示線段與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明：(2)如圖2AE>EC時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段DE,CG,AC之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】方法一：在EC上截取EK=AE.連BK.1因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以DE=BK，DE∥BK，所以∠ADE=∠ABK，所以∠ABK=∠BFG.2由旋轉(zhuǎn)知AB=FB，∠GBF=90°-∠ABC=45°=∠A.在△BGF與△AKB中，∠BFG=∠ABK,BF=AB,∠GBF=∠A，所以△BGF△AKB（）.所以BG=AK=2AE.BDGHEKC方法二：在△BFG與△ADE中，∠GBF=∠A,∠BFG=∠ADE,所以△BFG～△ADE.所以BG:AE=BF:AD=AB:AD=2:1,所以BG=2AD.BDCAEFGH同上問(wèn)方法二，易證△～△從而推出FG=2DE.在Rt△FCG中，??2+??2=??2而CF=AC，所以??2+??2=(2??)2=4??2BDCGNKAEFH方法二：逆用旋轉(zhuǎn)型全等。作BK⊥FH于，BK交AF于N.我們有∠CBN+∠BGK=90°=∠CFG+∠BGK,所以∠CBN=∠CFG.顯然△BCN△FCG.CN=CG,BN=FG.因?yàn)镈H⊥FH,BK⊥FH,所以DH∥BK,所以BN:DE=AB:AD=2:1,所以BN=2DE.Rt?BCN222所以??+??=2??=4??2.22()2??+??=??11.（2022門(mén)頭溝二模27題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CEAD，交AD于點(diǎn)，交ABF，作點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)G，連接和GC，過(guò)點(diǎn)B作BMGC交GC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．（1根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；②比較∠BCF與∠BCM的大小，并證明．（2）過(guò)點(diǎn)B作BN交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，用等式表示線段AG，與BM的數(shù)量關(guān)系，并證明．AAEEFFDDCBCB277分））①略；……………2分AEGFDCBM②=，理由如下：=，∵∴+=，+=.∵點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)G，∴≌.∴.∴=.??即=.……………4分（2：EN2=1BMAG，理由如下：2ANEGFDCBM∵≌.∴AG，CG.∴+=.∵⊥，∴==..+=∵=，∴∴.CEAE=∴.∴=.∴CE2.∽CE∵⊥，⊥，∴∥.∵D是的中點(diǎn)，∴=，=1.2∵=，⊥，⊥，∴=∴=1BM.2∴EN2=1BMAG.……………7分2法2：“一線三垂直模型”相似∵△AGCCMB????????∴∴∴∴==?==????∴2EN2=?BM三、一線三垂共1小題12.（2022海淀二模27題）ABBC，∠ABC=90°，直線l是過(guò)點(diǎn)B的一條動(dòng)直線（不與直線ABBC重合，分別過(guò)點(diǎn)C作直線l的垂線，垂足為D，．（1）如圖1時(shí)，①求證：+=；②連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥于H，過(guò)點(diǎn)A作AF∥交DH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段DF，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）在直線l運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若DE的最大值為3，直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)．AAlEDBCBC圖1【答案】（DFDE的數(shù)量關(guān)系為BE2+DE2=232）2）①根據(jù)ASA證明△ABD≌△BCE，推出AD=BEBD=CE，由此得到．+=②利用同角的余角相等推出∠ABD=∠DAF．利用三角形外角性質(zhì)推出∠HED=∠ADF．進(jìn)而證明△ADF≌△BEA．得到DF=AE．利用勾股定理證得2+2=AE2，由此得到BE2+DE2=2．（2）當(dāng)直線l在∠ABC外部時(shí)，由（1）知△≌△BCE．得到DE=DB+BE=DB+AD，則，3218?+DB=DE-BE=3-xAB2=2x，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答24【第（1）小問(wèn)①詳解】①證明：∵∠ABC=90°，∴∠∠CBD=90°．∵⊥l∠CEB=90°．∴∠CBD+∠=90°．∴∠ABD=∠．∵⊥l∠ADB=90°=∠CEB．∵AB=BC△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE．∵，∴+=．+=【第（1）小問(wèn)②詳解】②補(bǔ)全圖形如圖：圖2線段，，的數(shù)量關(guān)系為BE2+DE2=2．證明如下：∵∥，∴∠BAF+ABC=180°．∵∠ABC=90°，∴∠=90°．∴∠BAD+DAF=90°．∵⊥l∠ADB=90°．∴∠BAD+∠ABD∠∠DAF．∵⊥AE于，∴∠=90°．∴∠HDE+HED=90°．∵∠∠ADF+∠HDE=90°，∴∠∠ADF．∵由（1）中全等，有AD=BEADF≌△BEA．∴DF=AE．∵在中，2+【第（2）詳解】2AE2，∴BE2DE22．=+=法1：當(dāng)直線l在∠ABC外部時(shí)，由（）知△ABD≌△．∴AD=BE，BD=CE，∴DE=DB+BE=DB+AD，23182+設(shè)AD=xBE=x，DB=DE-BE=3-x，∴2=2+DB2=x+(3?x2=2x?24332∴當(dāng)時(shí)，AB有最小值，即AB=22．24322故當(dāng)取最大值3時(shí)，為圖3法2：圖4圖5圖6圖7圖8322如圖4~8，只有圖8當(dāng)四邊形ADEC是矩形的時(shí)，最大等于AC的長(zhǎng)度，此時(shí)AB=法3：圖9如圖，由（）知△ABD≌△BCEAD=BE,BD=CE令A(yù)D=BE=x,BD=CE=y再△ABD中，x2+y2=AB2∵（）2≥0∴≥2xy∴1x2+y21111（x2+y2）+（x2+y2（x2+y2）+（2xy）=(x+y)222222∵x+y≤39AB2292322AB2AB322AB322故當(dāng)取最大值3時(shí)，為四、猜證類共1小題2022昌平二模27MON=OP是∠MONA上一點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)稱點(diǎn)BONAB交A作ONON于點(diǎn)，作∠OAE的平分線，射線AQ與，ON分別交于點(diǎn)FG.（1）①依題意補(bǔ)全圖形；②求∠BAEα的式子表示）（2）寫(xiě)出一個(gè)α的值，使得對(duì)于射線OM上任意的點(diǎn)A總有OD＝2AF（點(diǎn)A不與點(diǎn)OMMAAPPOONN【答案】）①M(fèi)APCDFOGEBNQ………2分解：②A關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，∴OA=OB.∵∠MON=∴∠O