高考數(shù)學理科二輪總復習練習專題七　解析幾何第3講

第3講圓錐曲線基本量的運算1．(2016·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線eq\f(x2,7)－eq\f(y2,3)＝1的焦距是________．答案2eq\r(10)解析由題意知，a2＝7，b2＝3，則c2＝7＋3＝10，故焦距為2c＝2eq\r(10).2．(2017·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P，Q，其焦點是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是________．答案2eq\r(3)解析漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，右準線方程為x＝eq\f(3,2)，得P，Q坐標分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，±\f(\r(3),2))).PQ＝eq\r(3)，F(xiàn)1F2＝2c＝4，所以四邊形F1PF2Q的面積等于eq\f(1,2)×4×eq\r(3)＝2eq\r(3).3．(2016·江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點，直線y＝eq\f(b,2)與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________．答案eq\f(\r(6),3)解析聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(b,2)，))解得B，C兩點坐標為Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)a,2)，\f(b,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)，\f(b,2)))，又F(c,0)，則eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)a,2)－c，\f(b,2)))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)－c，\f(b,2)))，由∠BFC＝90°，可得eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，代入坐標，可得c2－eq\f(3,4)a2＋eq\f(b2,4)＝0.①又因為b2＝a2－c2，代入①式可化簡為eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，則橢圓的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(2,3))＝eq\f(\r(6),3).江蘇高考對圓錐曲線基本量的運算考查，一般以填空題為主，若是考查雙曲線和拋物線，則試題為容易題，若是考查橢圓或圓錐曲線與直線、圓的綜合，試題為中檔題，考查重點是圓錐曲線的幾何性質(zhì)，特別是離心率的有關計算.熱點一圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)例1(1)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且PT的最小值不小于eq\f(\r(3),2)(a－c)，則橢圓的離心率的取值范圍為________．(2)如圖，已知點A，F(xiàn)分別是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左頂點與右焦點，過A，F(xiàn)作與x軸垂直的直線分別與兩條漸近線交于P，Q，R，S，若S△ROS＝2S△POQ，則雙曲線的離心率是__________．(3)已知拋物線C1：x2＝2y的焦點為F，以F為圓心的圓C2交C1于A，B兩點，交C1的準線于C，D兩點，若四邊形ABCD是矩形，則圓C2的標準方程為________．答案(1)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(\r(2),2)))(2)eq\r(2)(3)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝4解析(1)依題意得切線長PT＝eq\r(PF\o\al(2,2)－b－c2)，∴當且僅當PF2取得最小值時，PT取得最小值，而(PF2)min＝a－c，∴eq\r(a－c2－b－c2)≥eq\f(\r(3),2)(a－c)，∴0＜eq\f(b－c,a－c)≤eq\f(1,2)，解得eq\f(3,5)≤e＜eq\f(\r(2),2)，故離心率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(\r(2),2))).(2)由題意得A(－a,0)，F(xiàn)(c,0)，直線PQ，RS的方程分別為x＝－a，x＝c，與漸近線y＝±eq\f(b,a)x聯(lián)立可求得P(－a，b)，Q(－a，－b)，Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(bc,a)))，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(bc,a)))，則S△ROS＝eq\f(1,2)·eq\f(2bc,a)·c＝eq\f(bc2,a)，S△POQ＝eq\f(1,2)a×2b＝ab，于是由S△ROS＝2S△POQ，得eq\f(bc2,a)＝2ab，即eq\f(c2,a2)＝2，又因為e>1，所以e＝eq\r(2).(3)拋物線C1：x2＝2y的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以圓C2的圓心坐標為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).因為四邊形ABCD是矩形，且BD為直徑，AC為直徑，而Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))為圓C2的圓心，所以點F為該矩形的兩條對角線的交點，故點F到直線CD的距離與點F到AB的距離相等．又點F到直線CD的距離為d＝1，所以直線AB的方程為y＝eq\f(3,2)，從而Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(3,2)))，故圓C2的半徑r＝AF＝eq\r(\r(3)－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2)))2)＝2，所以圓C2的方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝4.思維升華(1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關系是求解問題的關鍵．(2)在求解有關離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點，建立關于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍．跟蹤演練1(1)(2017·江蘇南京三模)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線eq\f(x2,2m2)－eq\f(y2,3m)＝1的焦距為6，則所有滿足條件的實數(shù)m構成的集合是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))解析∵雙曲線的焦距為6，∴c＝3，由a2＋b2＝c2，得2m2＋3m＝9，且m＞0，解得m＝eq\f(3,2)，m＝－3(舍)，∴m構成的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))).(2)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1與拋物線y2＝－12x有相同的焦點，則雙曲線的兩條漸近線的方程為________________．答案y＝±eq\f(\r(2),4)x解析由題意得a2＋1＝9?a＝±2eq\r(2)，而雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(1,a)x，即y＝±eq\f(\r(2),4)x.(3)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F1的直線l與橢圓交于A，B兩點．若AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，則橢圓C的離心率為________．答案eq\f(\r(5),3)解析設AB＝3t(t＞0)，則BF2＝4t，AF2＝5t，則AB＋BF2＋AF2＝12t.∵AB＋BF2＋AF2＝4a，∴12t＝4a，即t＝eq\f(1,3)a.又F1A＋AF2＝2a，∴F1A＝2a－eq\f(5,3)a＝eq\f(1,3)a，F(xiàn)1B＝eq\f(2,3)a，BF2＝eq\f(4,3)a.由AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5知，AB⊥BF2，故F1B2＋BFeq\o\al(2,2)＝4c2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a))2＝4c2，得eq\f(5,9)a2＝c2.∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,9)，即e＝eq\f(\r(5),3).熱點二直線與圓錐曲線例2如圖，點A(1，eq\r(3))為橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,n)＝1上一定點，過點A引兩直線與橢圓分別交于B，C兩點．(1)求橢圓的方程；(2)若直線AB，AC與x軸圍成以點A為頂點的等腰三角形．①求直線BC的斜率；②求△ABC的面積的最大值，并求出此時直線BC的方程．解(1)把點A(1，eq\r(3))代入eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,n)＝1，得n＝6，故橢圓方程為eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,6)＝1.(2)①顯然題中等腰三角形腰所在的直線不可能與x軸垂直，因此其斜率必存在，設兩腰的斜率分別為k1，k2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\r(3)＝k1x－1，,\f(x2,2)＋\f(y2,6)＝1，))得點B的橫坐標為x＝1－eq\f(6＋2\r(3)k1,k\o\al(2,1)＋3)(x＝1為點A的橫坐標)，∴點B的縱坐標為y＝eq\r(3)－eq\f(2\r(3)k\o\al(2,1)＋6k1,k\o\al(2,1)＋3)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6＋2\r(3)k1,k\o\al(2,1)＋3)，\r(3)－\f(2\r(3)k\o\al(2,1)＋6k1,k\o\al(2,1)＋3))).同理可得點C的坐標為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6＋2\r(3)k2,k\o\al(2,2)＋3)，\r(3)－\f(2\r(3)k\o\al(2,2)＋6k2,k\o\al(2,2)＋3))).∵k1＋k2＝0，∴直線BC的斜率為kBC＝eq\r(3).②設直線BC的方程為y＝eq\r(3)x＋m，代入方程eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,6)＝1，得6x2＋2eq\r(3)mx＋m2－6＝0，∴BC＝eq\f(2\r(3),3)eq\r(12－m2).又點A到直線BC的距離為d＝eq\f(|m|,2)，∴S＝eq\f(1,2)·BC·d＝eq\f(\r(3),6)eq\r(m212－m2)＝eq\f(\r(3),6)eq\r(－m2－62＋36)，∴當m2＝6，即m＝eq\r(6)或m＝－eq\r(6)時，△ABC的面積取得最大值eq\r(3).此時，直線BC的方程為eq\r(3)x－y±eq\r(6)＝0.思維升華解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程組求解點的坐標或利用根與系數(shù)的關系求解．涉及中點問題也可以用點差法．跟蹤演練2在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與直線y＝kx(k＞0)相交于A，B兩點(從左至右)，過點B作x軸的垂線，垂足為C，直線AC交橢圓于另一點D.(1)若橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)，點B的坐標為(eq\r(2)，1)，求橢圓的方程；(2)若以AD為直徑的圓恰好經(jīng)過點B，求橢圓的離心率．解(1)由題意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(2,a2)＋\f(1,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝2，))所以橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)方法一設B(x1，y1)，D(x2，y2)，則A(－x1，－y1)，C(x1,0)．因為A，C，D三點共線，所以eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2x1，y1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)，得2x1(y1＋y2)＝(x1＋x2)y1，即eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(y1,2x1)＝eq\f(k,2).又B，D均在橢圓上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))①－②，得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)，所以直線BD的斜率k′＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(2,k)·eq\f(b2,a2).由于以AD為直徑的圓恰好經(jīng)過點B，所以AB⊥BD，即k·k′＝－1，所以a2＝2b2，所以橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).方法二設B(t，kt)，則A(－t，－kt)，C(t,0)，所以直線AD的方程為y＝eq\f(k,2)(x－t)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(k,2)x－t，))消y，得b2x2＋eq\f(a2k2,4)(x－t)2＝a2b2，即(4b2＋a2k2)x2－2a2k2tx＋a2k2t2－4a2b2＝0,所以xA＋xD＝eq\f(2a2k2t,4b2＋a2k2)，從而xD＝eq\f(2a2k2t,4b2＋a2k2)＋t，即Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a2k2＋4b2,4b2＋a2k2)t，\f(a2k3,4b2＋a2k2)t))，所以直線BD的斜率k′＝eq\f(\f(a2k3,4b2＋a2k2)t－kt,\f(3a2k2＋4b2,4b2＋a2k2)t－t)＝－eq\f(2b2,a2k).由于以AD為直徑的圓恰好經(jīng)過點B，所以AB⊥BD，即k·k′＝－1，所以a2＝2b2，所以橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).1．已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2＝24y的焦點重合，其中一條漸近線的傾斜角為30°，則該雙曲線的標準方程為____________．答案eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1解析由拋物線x2＝24y，得焦點坐標為(0,6)，∵雙曲線的一個焦點與拋物線x2＝24y的焦點相同，∴c＝6.設雙曲線的標準方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，又雙曲線的一條漸近線的傾斜角為30°，∴eq\f(a,b)＝eq\f(\r(3),3)，即b＝eq\r(3)a，又∵c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝27，∴雙曲線的標準方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1.2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，A1，A2，B1，B2為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為________．答案2eq\r(7)－5解析直線A1B2的方程為eq\f(x,－a)＋eq\f(y,b)＝1，直線B1F的方程為eq\f(x,c)＋eq\f(y,－b)＝1.二者聯(lián)立解得Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ac,a－c)，\f(ba＋c,a－c)))，又Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ac,a－c)，\f(ba＋c,2a－c)))在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，故eq\f(c2,a－c2)＋eq\f(a＋c2,4a－c2)＝1，e2＋10e－3＝0，解得e＝2eq\r(7)－5.3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右頂點分別為A，B，過右焦點F的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(點P在x軸上方)．(1)若QF＝2FP，求直線l的方程；(2)設直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2.是否存在常數(shù)λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．解(1)因為a2＝4，b2＝3，所以c＝eq\r(a2－b2)＝1，所以F的坐標為(1,0)，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l的方程為x＝my＋1，代入橢圓方程，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，則y1＝eq\f(－3m＋6\r(1＋m2),4＋3m2)，y2＝eq\f(－3m－6\r(1＋m2),4＋3m2).若QF＝2PF，則eq\f(－3m－6\r(1＋m2),4＋3m2)＋2×eq\f(－3m＋6\r(1＋m2),4＋3m2)＝0，解得m＝eq\f(2\r(5),5)，故直線l的方程為eq\r(5)x－2y－eq\r(5)＝0.(2)由(1)知，y1＋y2＝eq\f(－6m,4＋3m2)，y1y2＝eq\f(－9,4＋3m2)，所以my1y2＝eq\f(－9m,4＋3m2)＝eq\f(3,2)(y1＋y2)，所以eq\f(k1,k2)＝eq\f(y1,x1＋2)·eq\f(x2－2,y2)＝eq\f(y1my2－1,y2my1＋3)＝eq\f(\f(3,2)y1＋y2－y1,\f(3,2)y1＋y2＋3y2)＝eq\f(1,3)，故存在常數(shù)λ＝eq\f(1,3)，使得k1＝eq\f(1,3)k2.A組專題通關1．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的一條漸近線的傾斜角為30°，則該雙曲線的離心率為________．答案eq\f(2\r(3),3)解析由題意可得eq\f(1,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以a＝eq\r(3)，則c＝2，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(3),3).2．設拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是________．答案y2＝8x解析由準線方程x＝－2，得－eq\f(p,2)＝－2，且拋物線的開口向右(或焦點在x軸的正半軸上)，所以y2＝2px＝8x.3．若中心在原點、焦點在坐標軸上的雙曲線的一條漸近線方程為x＋3y＝0，則此雙曲線的離心率為________．答案eq\f(\r(10),3)或eq\r(10)解析漸近線方程可寫為y＝－eq\f(1,3)x，當焦點在x軸上時，可設a＝3k，b＝k(k>0)，則c＝eq\r(10)k，e＝eq\f(\r(10),3)；當焦點在y軸上時，可設a＝t，b＝3t(t>0)，則c＝eq\r(10)t，e＝eq\r(10).4．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點到相應準線的距離等于實軸長，則雙曲線的離心率為________．答案eq\r(2)＋1解析由題意可得c－eq\f(a2,c)＝2a，則c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0.又e>1，所以e＝eq\r(2)＋1.5．設F1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1的焦點，點A，B在橢圓上，若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(F2B,\s\up6(→))，則點A的坐標是________．答案(0，±1)解析設直線F1A的反向延長線與橢圓交于點B′，又∵eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(F2B,\s\up6(→))，由橢圓的對稱性，可得eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(B′F1,\s\up6(→))，設A(x1，y1)，B′(x2，y2)，又∵F1A＝eq\f(\r(6),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(3\r(2),2)))，F(xiàn)1B′＝eq\f(\r(6),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3\r(2),2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(3\r(2),2)))＝5×\f(\r(6),3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3\r(2),2)))，,x1＋\r(2)＝5－\r(2)－x2，))解得x1＝0，∴點A的坐標為(0，±1)．6．設橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1與函數(shù)y＝taneq\f(x,4)的圖象相交于A1，A2兩點，若點P在橢圓C上，且直線PA2的斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4)))解析由題意，得A1，A2兩點關于原點對稱，設A1(x1，y1)，A2(－x1，－y1)，P(x0，y0)，則eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)＝1，eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，即yeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,4)(4－xeq\o\al(2,1))，yeq\o\al(2,0)＝eq\f(3,4)(4－xeq\o\al(2,0))，兩式相減整理，得eq\f(y0＋y1,x0＋x1)＝－eq\f(3,4)×eq\f(x0－x1,y0－y1)＝－eq\f(3,4)×eq\f(1,kPA1).因為直線PA2的斜率的取值范圍是[－2，－1]，所以－2≤eq\f(y0＋y1,x0＋x1)≤－1，所以－2≤－eq\f(3,4)·eq\f(1,kPA1)≤－1，解得eq\f(3,8)≤kPA1≤eq\f(3,4).7．設橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)過點(0,4)，離心率為eq\f(3,5).(1)求C的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線被C所截線段的中點坐標．解(1)將(0,4)代入C的方程得eq\f(16,b2)＝1，∴b＝4，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，即1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25)，∴a＝5，∴C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)過點(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)，設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝eq\f(3－\r(41),2)，x2＝eq\f(3＋\r(41),2)，∴AB的中點坐標x＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq\f(6,5)，即中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(6,5))).8．設F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，F(xiàn)1到直線l的距離為2eq\r(3).(1)求橢圓C的焦距；(2)如果eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，求橢圓C的方程．解(1)設焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離eq\r(3)c＝2eq\r(3)，故c＝2.所以橢圓C的焦距為4.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y1＜0，y2＞0，直線l的方程為y＝eq\r(3)(x－2)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－2，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得(3a2＋b2)y2＋4eq\r(3)b2y－3b4＝0.解得y1＝eq\f(－\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)，y2＝eq\f(－\r(3)b22－2a,3a2＋b2).因為eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，所以－y1＝2y2.即eq\f(\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)＝2·eq\f(－\r(3)b22－2a,3a2＋b2)，解得a＝3.而a2－b2＝4，所以b＝eq\r(5).故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.B組能力提高9．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，若曲線C經(jīng)過點P(1,3)，則其焦點到準線的距離為________．答案eq\f(9,2)解析由題意設拋物線方程為y2＝2px，又因為過點P(1,3)，則p＝eq\f(9,2).即為焦點到準線的距離．10．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線3x＋eq\r(6)y＋3＝0垂直，以C的右焦點F為圓心的圓(x－c)2＋y2＝2與它的漸近線相切，則雙曲線的焦距為________．答案2eq\r(5)解析由已知，得eq\f(b,a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,\r(6))))＝－1，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(6),3).由點F(c,0)到漸近線y＝eq\f(\r(6),3)x的距離d＝eq\f(\f(\r(6),3)c,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2＋－12))＝eq\r(2)，可得c＝eq\r(5)，則2c＝2eq\r(5).11．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為________________．答案eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1解析由圓C：x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，因為雙曲線的右焦點為圓C的圓心(3,0)，所以c＝3，又雙曲線的兩條漸近線bx±ay＝0均和圓C相切，所以eq\f(3b,\r(a2＋b2))＝2，即eq\f(3b,c)＝2，又因為c＝3，所以b＝2，即a2＝5，所以該雙曲線的方程為eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1.12．已知F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，若M為橢圓上一點，且△MF1F2的內(nèi)切圓的周長等于3π，則滿足條件的點M有________個．答案2解析由橢圓方程eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1可得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝3.由橢圓的定義可得MF1＋MF2＝2a＝10，且F1F2＝2c＝6，∴△MF1F2的周長為MF1＋MF2＋F1F2＝10＋6＝16.設△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，由題意可得2πr＝3π，解得r＝eq\f(3,2).設M(x0，y0)，則＝eq\f(1,2)(MF1＋MF2＋F1F2)·r＝eq\f(1,2)·F1F2·|y0|，即eq\f(1,2)×16×eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)×6·|y0|，解得|y0|＝4.∴y0＝±4，∴M(0,4)或(0，－4)．即滿足條件的點M有2個．13．已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與雙曲線C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則b＝________.答案eq\f(\r(2),2)解析由雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1知漸近線方程為y＝±2x，又∵橢圓與雙曲線有公共焦點，∴橢圓方程可化為b2x2＋(b2＋5)y2＝(b2＋5)b2，聯(lián)立直線與橢圓方程消y，得x2＝eq\f(b2＋5b2,5b2＋20)，又∵C1將線段AB三等分，∴eq\r(1＋22)×2eq\r(\f(b2＋5b2,5b2＋20))＝eq\f(2a,3)，解得b2＝eq\f(1,2).∴b＝eq\f(\r(2),2).14．已知橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，若點M為右準線上一點，點A為橢圓C的左頂點，連結AM交橢圓于點P，則eq\f(PM,AP)的取值范圍是____________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析設點P的橫坐標為x0，則eq\f(PM,AP)＝eq\f(12,x0＋4)－1，∵－4＜x0≤4，∴eq\f(PM,AP)＝eq\f(12,x0＋4)－1≥eq\f(1,2).∴eq\f(PM,AP)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).15．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，且點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在該橢圓上．(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的左焦點F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AOB的面積為eq\f(6\r(2),7)，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程．解(1)由題意可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又a2＝b2＋c2，所以b2＝eq\f(3,4)a2.因為橢圓C經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(\f(9,4),\f(3,4)a2)＝1，解得a＝2，所以b2＝3，故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知F1(－1,0)