河北省滄州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)9月份月考數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章～第二章第3節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線方程直接確定傾斜角.【詳解】由直線與軸垂直，即其傾斜角為.故選：B.2.已知，，，若，則（）A.5 B.4 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由題意可以先求出，再由它們平行可以得到比例關(guān)系從而求出參數(shù)，由此即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，因?yàn)椋?，解得，所?故選：A.3.如果且，那么直線不經(jīng)過(guò)（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橫截距和縱截距的范圍求得正確答案.【詳解】由且，可得同號(hào)，異號(hào)，所以也是異號(hào)；令，得；令，得；所以直線不經(jīng)過(guò)第三象限.故選：C4.在平行六面體中，，分別是，的中點(diǎn).設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間向量線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，.故選：A5.已知直線，?，，則（）A.或 B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】由兩直線平行和垂直的條件，列方程求解.【詳解】已知直線，由，得，且，解得，由，得，故.故選：B.6.已知，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量求出平面的法向量，再由點(diǎn)到平面距離的向量求法即可得.【詳解】易知，，，設(shè)平面的法向量，則即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離．故選：C．7.點(diǎn)到直線（為任意實(shí)數(shù)）的距離的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知直線恒過(guò)點(diǎn)，由此可知到直線的最遠(yuǎn)距離為，最短距離為0，即可得答案.【詳解】解：將直線方程變形為，由，解得，由此可得直線恒過(guò)點(diǎn)，所以到直線的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于到直線的最短距離為0，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．又，所以到直線的距離的取值范圍是．故選：B．8.在正三棱柱中，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合線線關(guān)系求線段的表達(dá)式，利用函數(shù)求最值即可.【詳解】因?yàn)檎庵?，有，所以為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭抢馍弦粍?dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，因?yàn)?，且，所以，于是令，所以，，又函?shù)在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即線段長(zhǎng)度的最小值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段的延長(zhǎng)線（不含點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值可能為（）A. B. C. D.1【答案】BC【解析】【分析】利用已知可求得，，結(jié)合圖形可求得與線段的延長(zhǎng)線（不含點(diǎn)）有公共點(diǎn)的直線的斜率的范圍.【詳解】因?yàn)椋?，，所以直線，，又過(guò)斜率為0的直線與線段的延長(zhǎng)線相交，由圖形可得直線過(guò)點(diǎn)且與線段的延長(zhǎng)線（不含點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為.故選：BC.10.在正方體中，能作為空間的一個(gè)基底的一組向量有（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間中不共面的三個(gè)向量可以作為空間向量的一個(gè)基底，從而求解.【詳解】由題意得：如下圖所示：對(duì)于A項(xiàng)：，，不共面，能作為空間的一個(gè)基底,故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：，所以：，，共面，不能作為空間的一個(gè)基底,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：，，不共面，能作為空間的一個(gè)基底,故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)：，所以：，，共面，不能作為空間的一個(gè)基底,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.，，，四點(diǎn)共面B.與所成角的大小為C.在線段上存在點(diǎn)，使得平面D.在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值【答案】AD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的共面定理可判斷A選項(xiàng)，利用坐標(biāo)法求異面直線夾角可直接判斷B選項(xiàng)，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，設(shè)，，利用坐標(biāo)法驗(yàn)證線面垂直，可判斷C選項(xiàng)；分別證明與上的所有點(diǎn)到平面的距離為定值，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)，則，所以，解得，故，即，，，四點(diǎn)共面，故A正確；因?yàn)?，，所以，所以與所成角的大小為，故B錯(cuò)誤；假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，符合題意，設(shè)（），則，若平面，則，,因?yàn)?，，所以，此方程組無(wú)解，所以在線段上不存在點(diǎn)，使得平面，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，是定值，又的面積是定值，所以在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐體積為定值，故D正確；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距為在軸上的截距的兩倍，則直線的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】當(dāng)縱截距為時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)求得的值，當(dāng)縱截距不為時(shí)，設(shè)直線的截距式方程，代入點(diǎn)求解.【詳解】①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，所以直線的方程為；②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為時(shí)，設(shè)直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，則直線的方程為，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得：，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或，故答案為：y=2x或．13.在四面體中，，，，，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所?又，，所以，所以.又，所以．故答案為：30°14.在中，頂點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在軸上，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】拆線段之和最值問(wèn)題，利用對(duì)稱，將直線同側(cè)折線段化為直線異側(cè)兩定點(diǎn)間的折線段之和，由兩點(diǎn)之間線段最短可知.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，與的交點(diǎn)即為，與軸的交點(diǎn)即為.如圖，兩點(diǎn)之間線段最短可知，的長(zhǎng)即為周長(zhǎng)的最小值.設(shè)，則解得即，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，故周長(zhǎng)的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在梯形中，，，已知，，．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求梯形的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直線的位置關(guān)系及斜率公式計(jì)算即可；（2）法一、計(jì)算對(duì)角線長(zhǎng)結(jié)合三角形面積公式求梯形面積即可；法二、利用兩點(diǎn)距離公式先計(jì)算梯形上下底長(zhǎng)，再求一底邊所在直線，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算梯形的高，利用梯形面積公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由，得，即，由，得，即，所以，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．【小問(wèn)2詳解】方法一：，，設(shè)，又，所以梯形的面積；方法二：，，由，，得直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離．所以梯形的面積．16.空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，設(shè)，．（1）若與互相垂直，求的值；（2）求點(diǎn)到直線的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別求得與的坐標(biāo)，再根據(jù)與互相垂直求解；（2）由求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，所以，．又與互相垂直，所以，解得．小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，所以點(diǎn)到直線的距離．17.如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算異面直線夾角及面面夾角即可.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，顯然，由正三棱柱的特征可知底面，所以底面，又底面，所以，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，易得，所以可以以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，故異面直線的夾角余弦值為；【小問(wèn)2詳解】由上可知，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，取，即，易知面的一個(gè)法向量為，由圖象可知二面角為鈍角，設(shè)其為，所以，則.18.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，且，，平面平面，．（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)用理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，即可證明平面平面；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：在中，，，由余弦定理，得，所以，即．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．【小?wèn)2詳解】設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，連接，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又，所以，即，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，B1,0,0，，，，設(shè)，則，所以．，，設(shè)m=x,y,z是平面的法向量，則即令，則，，即平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成角為，又，則，即，解得．所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí)．19.球面幾何在研究球體定位等問(wèn)題有重要的基礎(chǔ)作用.球面上的線是彎曲的，不存在直線，連接球面上任意兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)條曲線，它們長(zhǎng)短不一，其中這兩點(diǎn)在球面上的最短路徑的長(zhǎng)度稱為兩點(diǎn)間的球面距離.球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門(mén)學(xué)科.如圖1，球的半徑為，，，為球面上三點(diǎn)，曲面（陰影部分）叫做球面三角形.若設(shè)二面角，，分別為，，，則球面三角形的面積為.（1）若平面，平面，平面兩兩垂直，求球面三角形的面積；（2）將圖1中四面體截出得到圖2，若平面三角形為直角三角形，，設(shè)，，.①證明：；②延長(zhǎng)與球交于點(diǎn)，連接，，若直線，與平面所成的角分別為，，且，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值.【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合相應(yīng)公式分析求解即可；（2）①根據(jù)題意結(jié)合余弦定理分析證明；②建系，利用空間向量求線面夾角，利用基本不等式可求正弦值的最小值.【小問(wèn)1詳解】若平面，平面，平面兩兩垂直，有，所以球球