河北省滄州市2024-2025學年高二上學期9月月考數(shù)學試題

2024~2025學年度第一學期高二年級9月份月考數(shù)學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊第一章～第二章第3節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線方程直接確定傾斜角.【詳解】由直線與軸垂直，即其傾斜角為.故選：B.2.已知，，，若，則（）A.5 B.4 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由題意可以先求出，再由它們平行可以得到比例關系從而求出參數(shù)，由此即可得解.【詳解】因為，，，所以，因為，所以，解得，所以.故選：A.3.如果且，那么直線不經過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橫截距和縱截距的范圍求得正確答案.【詳解】由且，可得同號，異號，所以也是異號；令，得；令，得；所以直線不經過第三象限.故選：C4.在平行六面體中，，分別是，的中點.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間向量線性運算，即可得到結果.【詳解】由題意可得，.故選：A5.已知直線，?，，則（）A.或 B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】由兩直線平行和垂直的條件，列方程求解.【詳解】已知直線，由，得，且，解得，由，得，故.故選：B.6.已知，，，，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量求出平面的法向量，再由點到平面距離的向量求法即可得.【詳解】易知，，，設平面的法向量，則即令，則，，所以平面的一個法向量為，所以點到平面的距離．故選：C．7.點到直線（為任意實數(shù)）的距離的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知直線恒過點，由此可知到直線的最遠距離為，最短距離為0，即可得答案.【詳解】解：將直線方程變形為，由，解得，由此可得直線恒過點，所以到直線的最遠距離為，此時直線垂直于到直線的最短距離為0，此時直線經過點．又，所以到直線的距離的取值范圍是．故選：B．8.在正三棱柱中，，，，為棱上的動點，為線段上的動點，且，則線段長度的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標系，設動點坐標，結合線線關系求線段的表達式，利用函數(shù)求最值即可.【詳解】因為正三棱柱中，有，所以為的中點，取中點，連接，如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，則，因為是棱上一動點，設，且，因為，且，所以，于是令，所以，，又函數(shù)在上為增函數(shù)，所以當時，，即線段長度的最小值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知點，，直線過點且與線段的延長線（不含點）有公共點，則直線的斜率的取值可能為（）A. B. C. D.1【答案】BC【解析】【分析】利用已知可求得，，結合圖形可求得與線段的延長線（不含點）有公共點的直線的斜率的范圍.【詳解】因為，，，所以直線，，又過斜率為0的直線與線段的延長線相交，由圖形可得直線過點且與線段的延長線（不含點）有公共點，則直線的斜率的取值范圍為.故選：BC.10.在正方體中，能作為空間的一個基底的一組向量有（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間中不共面的三個向量可以作為空間向量的一個基底，從而求解.【詳解】由題意得：如下圖所示：對于A項：，，不共面，能作為空間的一個基底,故A項正確；對于B項：，所以：，，共面，不能作為空間的一個基底,故B項錯誤；對于C項：，，不共面，能作為空間的一個基底,故C項正確；對于D項：，所以：，，共面，不能作為空間的一個基底,故D項錯誤.故選：AC.11.如圖，在棱長為的正方體中，，，，分別是，，，的中點，則下列說法正確的有（）A.，，，四點共面B.與所成角的大小為C.在線段上存在點，使得平面D.在線段上任取一點，三棱錐的體積為定值【答案】AD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量的共面定理可判斷A選項，利用坐標法求異面直線夾角可直接判斷B選項，假設在線段上存在點，設，，利用坐標法驗證線面垂直，可判斷C選項；分別證明與上的所有點到平面的距離為定值，即可判斷D選項.【詳解】以為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，設，則，所以，解得，故，即，，，四點共面，故A正確；因為，，所以，所以與所成角的大小為，故B錯誤；假設在線段上存在點，符合題意，設（），則，若平面，則，,因為，，所以，此方程組無解，所以在線段上不存在點，使得平面，故C錯誤；因為，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有點到平面的距離即為到平面的距離，是定值，又的面積是定值，所以在線段上任取一點，三棱錐體積為定值，故D正確；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線過點，且在軸上的截距為在軸上的截距的兩倍，則直線的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】當縱截距為時，設直線方程為，代入點求得的值，當縱截距不為時，設直線的截距式方程，代入點求解.【詳解】①當直線在兩坐標軸上的截距均為時，設直線方程為，因為直線過點，所以，所以直線的方程為；②當直線在兩坐標軸上的截距均不為時，設直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，則直線的方程為，又因為直線過點，所以，解得：，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或，故答案為：y=2x或．13.在四面體中，，，，，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算進行求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以，所以.又，，所以，所以.又，所以．故答案為：30°14.在中，頂點，點在直線上，點在軸上，則周長的最小值為______.【答案】【解析】【分析】拆線段之和最值問題，利用對稱，將直線同側折線段化為直線異側兩定點間的折線段之和，由兩點之間線段最短可知.【詳解】設關于直線的對稱點為，關于軸的對稱點為，與的交點即為，與軸的交點即為.如圖，兩點之間線段最短可知，的長即為周長的最小值.設，則解得即，關于軸的對稱點為，故周長的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在梯形中，，，已知，，．（1）求點的坐標；（2）求梯形的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直線的位置關系及斜率公式計算即可；（2）法一、計算對角線長結合三角形面積公式求梯形面積即可；法二、利用兩點距離公式先計算梯形上下底長，再求一底邊所在直線，根據(jù)點到直線的距離公式計算梯形的高，利用梯形面積公式計算即可.【小問1詳解】設，由，得，即，由，得，即，所以，，即點的坐標為．【小問2詳解】方法一：，，設，又，所以梯形的面積；方法二：，，由，，得直線的方程為，點到直線的距離．所以梯形的面積．16.空間直角坐標系中，已知點，，，設，．（1）若與互相垂直，求的值；（2）求點到直線的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別求得與的坐標，再根據(jù)與互相垂直求解；（2）由求解.【小問1詳解】由題意知，，所以，．又與互相垂直，所以，解得．小問2詳解】由（1）知，，所以，所以點到直線的距離．17.如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量計算異面直線夾角及面面夾角即可.【小問1詳解】取的中點，連接，顯然，由正三棱柱的特征可知底面，所以底面，又底面，所以，因為是中點，易得，所以可以以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，，故異面直線的夾角余弦值為；【小問2詳解】由上可知，設面的一個法向量為，則，取，即，易知面的一個法向量為，由圖象可知二面角為鈍角，設其為，所以，則.18.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，且，，平面平面，．（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說用理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由面面垂直的性質定理可得平面，即可證明平面平面；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】證明：在中，，，由余弦定理，得，所以，即．因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．【小問2詳解】設，的中點分別為，，連接，，因為，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．因為，分別為，的中點，所以，又，所以，即，，兩兩互相垂直，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，B1,0,0，，，，設，則，所以．，，設m=x,y,z是平面的法向量，則即令，則，，即平面的一個法向量為．設直線與平面所成角為，又，則，即，解得．所以存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時．19.球面幾何在研究球體定位等問題有重要的基礎作用.球面上的線是彎曲的，不存在直線，連接球面上任意兩點有無數(shù)條曲線，它們長短不一，其中這兩點在球面上的最短路徑的長度稱為兩點間的球面距離.球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科.如圖1，球的半徑為，，，為球面上三點，曲面（陰影部分）叫做球面三角形.若設二面角，，分別為，，，則球面三角形的面積為.（1）若平面，平面，平面兩兩垂直，求球面三角形的面積；（2）將圖1中四面體截出得到圖2，若平面三角形為直角三角形，，設，，.①證明：；②延長與球交于點，連接，，若直線，與平面所成的角分別為，，且，，為的中點，為的中點，設平面與平面的夾角為，求的最小值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結合相應公式分析求解即可；（2）①根據(jù)題意結合余弦定理分析證明；②建系，利用空間向量求線面夾角，利用基本不等式可求正弦值的最小值.【小問1詳解】若平面，平面，平面兩兩垂直，有，所以球球